2024龙岩一中高一上学期第三次月考数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A. B. －
C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【详解】.
故选：B
3. 直角坐标平面上将函数（，）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数的图像恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的图像所过定点，再将定点按题中要求平移，从而得解.
【详解】因为（，）,
令，得，，
所以的图像过定点，
将定点向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得，
所以的图像恒过定点.
故选：A.
4. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性和零点的存在性定理，即可求得函数的零点所在的区间.
【详解】由题意，函数，可函数为定义域上的单调递减函数，
又由，即，
根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在的区间是.
故选：D.
5. 已知a＝0.63，b＝30.6，c＝lg30.6，则（ ）
A. a＜b＜cB. b＜a＜c
C. c＜a＜bD. c＜b＜a
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可．
【详解】因为0＜0.63＜0.60＝1，则0＜a＜1，
而b＝30.6＞30＝1，c＝lg30.6＜lg31＝0，
所以c＜a＜b．
故选：C
6. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（）
A. 185B. 180C. 119D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案．
【详解】设外弧长为，外弧半径为，内弧长为，内弧半径为，该扇面所在扇形的圆心角为,
∵扇形的弧长为，
∴，，
∵扇形的面积为，
∴该扇面画的面积为，
故选：C．
7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.
【详解】
设，则，即，故，
因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
故选：D.
8. 是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.
【详解】由，可得：.
又因为是定义在R上的偶函数，
则，且函数图象关于轴对称.
所以，即的周期为4.
作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在上的图象.
令
若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，
则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点.
所以，即，解得.
故答案为：C
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】解不等式，根据逻辑关系得出不等式所表示范围的包含关系，即可得出答案.
【详解】由，解得.设，
所以，设命题成立的一个必要不充分条件所表示的范围为，则，
由，且，故AD满足题意，
选项B，不满足；
选项C，不是真子集，不满足题意.
故选：AD.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，下面说法正确的有（ ）
A. 的图象关于轴对称
B. 的图象关于原点对称
C. 的值域为
D. ，且，恒成立
【答案】BC
【解析】
【分析】
判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D不正确；
故选：BC
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 在上为增函数
C. 点是函数的一个对称中心D. 方程仅有5个实数解
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，对称性以及周期性逐一判断选项即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，
由为偶函数，得，即，则，
即，于是，函数是周期为的周期函数，
对于A，当时，，，A错误；
对于B，在上单调递增，由，知图象关于点对称，
则上单调递增，即函数在上单调递增，因此在上单调递增，B正确；
对于C，由及，得，即，
因此函数图象关于点对称，C正确；
对于D，当时，，由函数图象关于点对称，
知当时，，则当时，，
由，知函数图象关于直线对称，则当时，，
于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，
方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，

观图知，与图象在上有且只有3个公共点，而当时，，即函数与图象在无公共点，所以方程仅有3个实数解，D错误.
故选：BC
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】结合正弦型函数图象的性质与的范围即可得.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，，解得，，
又，所以.
故答案为：.
14. 已知奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【解析】
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
15. 已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知为函数的最大值或最小值，所以，由，得到或，即可得的表达式，根据，即可验证值，代入正弦函数单调递增区间，化简整理，即可得答案.
【详解】由对恒成立知，，
得到或，
因为，所以或，
当时，，
此时，，
，不合题意，舍，
当 时，，
此时，，
，符合题意，
所以，
所以由
得，
所以的单调递增区间是.
故答案为：
16. 已知函数与函数，满足，当和在区间上单调性不同，则称区间为函数的“异动区间”.若区间是函数的“异动区间”，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】两函数图象关于轴对称，分，，，四种情况，结合函数图象和单调性，得到不等式，求出答案.
【详解】，
若，在上单调递增，
在上单调递减，满足要求，
若，画出与的图象，如下：

可以看出两函数图象关于轴对称，
要想是函数的异动区间，
则，解得，满足，
当时，，，画出两函数图象，

可以看出两函数图象在上单调性相同，不合要求，舍去，
当时，画出两函数图象，可以看出两函数图象关于轴对称，
要想是函数的异动区间，
故，解得，满足，

综上，的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）求值：.
（2）已知正数满足，求的值.
【答案】（1）3（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；
（2）根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：（1）原式.
（2）因，所以.
所以.
18. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求sinα和tanα的值
（2）若，化简并求值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义计算；
（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．
【小问1详解】
∵，由三角函数的定义得，；
【小问2详解】
∵，
∴.
19. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及；
（2）求函数的单调递增区间；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数周期公式即可求函数的最小正周期；
（2）根据三角函数单调性即可求函数的单调增区间；
【小问1详解】
对于函数，它的最小正周期为；；
【小问2详解】
令，，
求得，，即，．
所以，函数的单调递增区间是．
20. 函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最小值为，求的值
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可；
（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；
（3）利用对数函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
解：
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为：
【小问2详解】
解：
令，得：
即
解得：
因为
所以函数的零点为.
【小问3详解】
解：
且函数的最小值为
即，得
即.
21. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.
【答案】（1）
（2）选择函数模型②，
（3）961
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值.
（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式.
（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.
【小问1详解】
因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得.
【小问2详解】
由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为.
【小问3详解】
由（2）知
所以
即.
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
22. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为；②为奇函数，为偶函数；③（常数e是自然对数的底数，）.利用上述性质，解决以下问题：
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）解不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，再根据函数的奇偶性化简后，与原式联立方程组可求出，
（2）先判断的单调性，再由其单调性解不等式
【小问1详解】
由，得，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，
由，解得，
【小问2详解】
，
因为和在上均为增函数，
所以在上为增函数，
由，得，
所以，
所以，即，
令（），则，即，
解得（舍去），或，
所以，得，
所以不等式的解集为.15
20
25
30
105
110
105
100