第03讲 函数的概念与性质-【复习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第一册）

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【易错点总结】
函数的概念及其表示
1.函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
函数的基本性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
3.函数的奇偶性
三、函数的应用
1.函数的零点
(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
【考点剖析】
考点一：函数的概念及其表示
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数f(x)的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域是
故选：A.
2．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【详解】，则
故选：B
3．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，解得
故选：B
考点二：函数的基本性质
4．已知，且，那么（ ）
A．10B．C．D．
【答案】C
【详解】令，,
为奇函数，
由已知得，
由,得,∴
所以，
故选：C．
5．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为是上的减函数，故，故，
故选：C
6．若函数是奇函数，则使的的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，函数是奇函数，则，
即，可得，
则，有，解可得，
即函数的定义域为，
设，则，
，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，
若，即，解可得，
则，即，解得，
又由，则有，
即的取值范围为；
故选：A.
考点三：函数的综合应用
7．下列区间中，方程有解的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，则函数在上单调递增，
，，，
由零点存在定理可知，方程的解在区间内.
故选：B.
8．已知函数是定义域为的偶函数.当时，，若关于的方程，有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，作出函数的图象如下图所示：
由于关于的方程，有且只有个不同实数根，
则关于的二次方程必有两根，其中，且，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
9．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是
A．）B．
C．D．
【答案】D
【详解】是偶函数，，
即不等式等价于
，
是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，
在单调递减，
，
即，整理为： ，
，
解得：.
故选：D
【基础过关】
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．26B．20C．18D．16
【答案】C
【详解】由得，
所以当时，.
故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为
所以，
所以函数要有意义则：，
即，
即，
所以函数的定义域为：
故选：D.
3．设函数，则（ ）
A．B．C．3D．7
【答案】D
【详解】.
故选：D.
4．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数在上单调递增，
所以满足.
故选：A
5．若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】B
【详解】由函数为上的奇函数，
所以
且当时，，
所以.
故选：B.
6．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当时，，故，又因为，所以，排除C．因为，不恒等于0，且不恒等于，所以既不是奇函数也不是偶函数，排除B，D．
故选：A
7．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】作出函数的图象，如图所示，
对于，则有：
当，即时，则，即，记
对于，则或，且，
可得：的整数解集为或，
由题意可得：集合只有一个元素，即，则，
满足条件的整数的取值为；
当，即时，则，即，记，
对于，则或，且，
可得：的整数解集为或，
由题意可得：集合只有一个元素，即，则，
满足条件的整数的取值为；
综上所述：所有满足条件的整数的取值集合为.
故选：B.
8．函数，对 且，，则实数的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为对 且，，
所以函数在区间单调递减，函数的对称轴是，
所以，得.
故选：B
二、多选题
9．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域是RB．的值域是
C．若，则x的值为D．
【答案】BCD
【详解】A：函数的定义域为，所以本选项不正确；
B：当时，，
当时，，，所以有，
综上所述：的值域是，所以本选项正确；
C：当时，，不符合；
当时，，或不符合，
综上所述：当时，x的值为，所以本选项正确；
D：，所以本选项正确，
故选：BCD
10．德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：，以下关于狄利克雷函数的性质正确的有（ ）
A．B．的值域为
C．定义域为D．
【答案】ACD
【详解】由函数，可知函数定义域为，值域为，故C正确、B不正确；
当为有理数时，，；当为无理数时，，；所以当，，故A正确；
当为有理数时，为有理数，当为无理数时，为无理数，即，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
11．已知函数，，若的最大值为8，则实数a的值为______．
【答案】4
【详解】由或，又的最大值为8，，则.
故答案为：4
12．已知函数，若值域为，则实数c的范围是______.
【答案】
【详解】当x＝2时，，，
∵值域为，
∴当时，
由，得，此时，
由，得，解得x＝2或x＝－1，
作出图像：
有图像可得：要满足题意则：
综上，，即实数c的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1） ；（2）．
【详解】（1）令 ，．
因为，所以，则．
由题意可知：
即.
得，所以．
所以
（2）法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则
．
.
14．已知函数
(1)根据定义证明函数在区间上单调递增；
(2)任意都有成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明过程见解析；(2).
【详解】（1）设是上任意两个实数，且，则有，
，
因为，所以，
所以，
因此函数在区间上单调递增；
（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，
所以函数在时单调递增，
要想任意都有成立，只需，
所以实数m的取值范围为.
15．推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.经测算该公司每日处理厨余垃圾的成本（元）与日处理量（吨）之间的函数解析式可近似地表示为每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益.
(1)求日纯收益（元）关于日处理量（吨）的函数解析式；（纯收益=总收益-成本）
(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
【答案】(1)
(2)该公司每日处理的厨余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大.
【详解】（1）由题意可得
（2）当时，递增，可得的最大值为；
当时，，
当时，的最大值为1288.
，
该公司每日处理的厨余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大.
【能力提升】
一、单选题
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】函数的定义域为，函数中，，解得，
函数的定义域为．
故选：D
2．下列函数是奇函数，且在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】对于A，因为，所以为奇函数，
又与在上均为增函数，
根据“增+增=增”性质，得在上单调递增，所以A正确；
对于B，因为，所以为偶函数，故B错；
对于C，D同样可以判断均为偶函数，不符合题意.
故选：A
3．已知函数，则使成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题易知，函数为偶函数，且在单调递减，
所以不等式等价于，
从而有，即，解得或，
对应区间为
故选：C．
4．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】不妨设，，如图所示，，由 ，
故，，故.
故选：D
5．已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，
，
由函数的图象可知方程有四个不同的实根时，
设与的交点的横坐标为，
设，则，且，，
设与交点的横坐标为，则，
由得，，
，
.
故选：D.
二、填空题
6．设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
【答案】
【详解】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：
7．已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．
【答案】
【详解】设，则，则，
设，则，
则
，
则，则，
函数图象如下：
由，可得，或，
由，可得，或，或，
则仅有一根，又，，
则，解之得，
故答案为：.
三、解答题
8．已知函数.
(1)若函数在是增函数，求的取值范围；
(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
（1）
因为函数，所以对称轴为，
因为在是增函数，所以，解得
（2）
因为对于任意的，恒成立，
即在时恒成立，所以在时恒成立，
设，则对称轴为，即在时恒成立，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得（舍去），
故.
9．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2．
(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?
【答案】(1)
(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
【详解】（1）由题意可设，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，
所以
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，
则，
令，则，
当，即时，，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
10．设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
(1)
因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数， ，所以满足题意.
(2)
令，则由
得，
即得，故是奇函数．
(3)
，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称