人教版九年级下册28.1 锐角三角函数学案

这是一份人教版九年级下册28.1 锐角三角函数学案，共6页。学案主要包含了概念理解，学后反思等内容，欢迎下载使用。

1）初步了解锐角三角函数的意义。
2 ）理解正弦、余弦、正切的定义。
3 ）利用特殊角的正弦、余弦、正切值进行相关计算。
学习重点： 理解正弦、余弦、正切的定义。
学习难点： 利用特殊角的正弦、余弦、正切值进行相关计算。
学习过程
1）情景引入
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°
【问题一】为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
∵在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一边
∴BCAB= 12 而BC=35 m ∴AB=2BC=70 m
【问题二】如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 100m
【问题三】你发现了什么？
在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于12.
2）课堂探究
一、锐角三角函数-正弦
【探索一】纸上任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=45°，计算∠A的对边与斜边的比ACAB.
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°∴ ∠A=45
∴ Rt△ABC为等腰直角三角形
由勾股定理得 AB2=AC2+ BC2 则AB=2AC ∴ ACAB= 22
【探索二】任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A‘，那么BCAB与B'C'A'B'’有什么关系，你能解释一下吗？
∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C’∴BCB'C' = ABA'B' ∴BCAB = B'C'A'B'
[小结]在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值.
【概念理解】在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.即 sin A= ∠A所对的边斜边 = ac
二、锐角三角函数-余弦
【探索三】任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A‘，那么 ACAB 与 A'C'A'B' 有什么关系．你能解释一下吗？
∵ ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’∴ Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∴ACA'C' = ABA'B' ∴ACAB = A'C'A'B'
[小结]在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的邻边与斜边的比是一个固定值.
【概念理解】在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA.
即 cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc
三、锐角三角函数-正切
【探索四】任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A'，那么BCAC与B'C'A'C''有什么关系．你能解释一下吗？
∵ ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A‘∴ Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∴BCB'C' = ACA'C' ∴ BCAC = B'C'A'C'
[小结] 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与邻边的比是一个固定值.
【概念理解】在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。
即 tan A= ∠A所对的边邻边 = ab
[小结]对于锐角A的每一个确定的值，sinA、csA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
四、特殊角的三角函数
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
【练一练】
1．在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：在Rt△ABC中，
tan A=，
故选：D．
2．的值是（ ）．
A．1B．C．D．
【详解】解：2sin30°=2×=1故选：A
3．如图，木杆靠在垂直水平地面的墙上，杆子长是3米．若木杆与地面的夹角为，则木杆顶端B到地面的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【详解】解：∵，
∴，
在中：，
∴（米），故A正确．
故选：A．
4．已知，则锐角α的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴，
故选：A．
5．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°
∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠B＝∠ACD．
∴sinB＝sin∠ACD＝AD：AC＝2：3．
故选：A．
6．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（ ）
A．B．C．1D．
【详解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，
∴∠C=180°-105°-45°=30°，
∴
故选：A
7．如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为（ ）
A．B．C．2D．
【详解】解：如图，取网格点D，连接BD，
由网格图，可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：A．
8．已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，
∴．
∵随着的增大而减少，
∴ ．
又∵是锐角，
∴．
故选B．
9．计算：
【详解】解：原式=
．
10．如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：
(1)CD的长
(2)csB的值
（1）
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，，
∴；
（2）
解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴．
【学后反思】通过本节课的学习你，你收获了什么？