05导数及其应用-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）

这是一份05导数及其应用-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022上·广东珠海·高三校考期末）函数的递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021上·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021上·广东深圳·高三红岭中学校考期末）函数的极值点是（ ）
A． B． C．或D．
4．（2023上·广东河源·高三统考期末）已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022上·广东东莞·高三统考期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·广东珠海·高三统考期末）已知恰有三个不同的零点，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·广东揭阳·高三统考期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为2D．
8．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为时，对应的点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022上·广东佛山·高三统考期末）设函数的导函数是，且恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2023上·广东河源·高三统考期末）已知函数在点处的切线经过点，则的最小值为 .
11．（2023上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校考期末）已知函数，，若，则的最小值为 ．
12．（2022上·广东佛山·高三统考期末）已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， .若，则不等式的解集是 .
13．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）函数在处的切线方程为 .
14．（2022上·广东东莞·高三统考期末）设的导函数为，若关于对称，则 ．
15．（2022上·广东惠州·高三校考期末）已知，，且不等式成立，则 .
三、解答题
16．（2022上·广东汕头·高三统考期末）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)曲线上是否存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若对任意的，恒成立（，分别是，的导函数），求实数a的取值范围．
18．（2022上·广东东莞·高三统考期末）现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；
(2)若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
19．（2022上·广东珠海·高三统考期末）已知函数在区间内存在极值点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小．
参考答案：
1．C
【分析】利用导数与原函数单调性的关系进行求解即可.
【详解】，
由，
所以函数的递减区间为，
故选：C
2．D
【分析】分析可知函数在上有一个零点，则函数在上没有零点，由可得出，则直线与函数的图象无交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围.
【详解】当时，为增函数，为减函数，此时函数为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数在上有一个零点，
故函数在上只有一个零点，
由题意可知，函数在上没有零点.
当时，由可得，
即，即，
设，其中，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，，作出函数的图象如下图所示：

因为，则，故当时，即当时，
直线与函数的图象没有交点.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．B
【分析】求函数的导函数，再求其零点，分析导数在零点两侧的导数值符号，由此确定其极值点.
【详解】函数的定义域为，导函数为，
令，可得或，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取极小值，函数没有极大值，
所以函数的极值点是.
故选：B.
4．B
【分析】利用导数法得到函数在 单调递增，且函数为偶函数判断.
【详解】解：函数为偶函数，
又，当时，单调递增，
又函数为偶函数，，
，
且，
，
即.
故选：B.
5．A
【分析】由图象设函数式为，然后求导，利用，求解．
【详解】由题意设三次函数的解析式为，即，
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】由已知方程有三个不同的根，即方程或有三个不同根，利用导数分析函数与的性质，由此确定实数a的范围.
【详解】由，
得，即．
令，则，令可得，
当时，，当时，，
∴ 在单调递增，在单调递减，
所以，即仅有唯一的解．
依题意，方程有两个不同的解，即与有两个不同的交点，令，则，易得在单调递增，在单调速减，，画出的草图
观察图象可得，
故选：D．
7．B
【分析】根据题意，利用导数的几何意义、韦达定理，结合特殊值法即可求解.
【详解】设切点为，又，则切线的斜率
又 ，即有，整理得，
由于过点可作两条直线与函数相切
所以关于的方程有两个不同的正根，设为，则
，得 ，
，故B正确，A错误，
对于C，取，则，所以的最大值不可能为2，故C错误，
对于D，取，则，故D错误.
故选：B.
8．D
【分析】设，则，令，利用导数可得函数为增函数，即得.
【详解】设，则，
令，则，
设，则
所以在上为增函数，
故，即，
∴在上为增函数，
∴，即.
故选：D.
9．D
【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，求出结果.
【详解】设，则恒成立，所以单调递增，故，即，解得：，即.
故选：D
10．6
【分析】根据导函数几何意义求出切线方程，得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，则切点为，又，切线斜率为，
切线方程为，又点在切线上，，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：6.
11．
【分析】利用函数同构及函数单调性得到，问题转化为求（）的最小值，利用导函数，研究其单调性，求出最小值.
【详解】，则 ，因为，故，又当时，恒成立，即单调递增，所以，则，令（），，当时，，当时，，所以在处取得最小值，，的最小值为.
故答案为：
12．
【分析】构造函数 ，运用条件求出 的单调性，再根据函数 的奇偶性求解.
【详解】设 ，则 ，
在 时是单调递增的， ， 时 ， 时， ， ， ；
设 ，则 ， 是偶函数，
时， 的解是 ；
故答案为： .
13．
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】解：因为，
所以，
则 ，又 ，
所以 在处的切线方程为，
故答案为：
14．/0.5
【分析】首先求函数的导数，并求函数，利用辅助角公式化简，并代入对称中心，并利用诱导公式计算.
【详解】，所以，其中，，，
因为函数关于对称，所以，，
所以.
故答案为：
15．
【分析】将不等式整理为，设，利用导数可求得，根据可确定，，由此可得结果.
【详解】由得：，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
，，
又，，
，，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究不等式问题，解题关键是采用构造函数的方式，令，将不等式转化为的形式，通过对于最值的求解确定自变量的取值.
16．(1)答案见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）求定义域，求导，分情况分类讨论，得到的单调性；
（2）利用直线AB的斜率与曲线在点处的切线斜率相等，列出方程，化简整理得：，，再证明出，，恒成立，从而说明不存在这样的不同两点、.
【详解】（1）定义域为，
则，
当，即时，，
此时在上单调递增，
当时，此时，令得：，
令时，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，此时，令得：，
令时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，令，解得：，
令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，舍去，
此时，令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增.
（2），
在点处的切线斜率为，
因为、为函数曲线上的不同两点，故，
直线AB的斜率为，
令，
整理得：，
接下来证明，，恒成立，
不妨设，变形为，
即，令，则
构造，，
则恒成立，
故在上单调递增，
则，故，，恒成立，
从而不存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行.
【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明.
17．(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得单调性；
（2）时不等式成立，时，不等式变形为，然后引入函数，证明时，，从而得，由此可得的范围．
【详解】（1）的定义域是，
，
时，时，，时，，
的减区间是，增区间是；
时，由得或，
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是；
时，，恒成立，的增区间是，无减区间；
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是；
综上所述，时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；时，在区间和上是增函数，在区间上是减函数；时，在区间上是增函数；时，在区间和上是增函数，在区间是减函数；
（2），
，即，，
时，此不等式成立，
时，不等式变形为，
设，则，
令，则，时，，即，所以单调递增，所以，即，
所以单调递增，所以时，，
所以时，，，∴，
所以，．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数范围问题的两种思路：一是用分离参数法，转化为求新函数的最值，从而得出参数范围，二是直接求函数的最值，由这个最值满足的不等关系求得参数范围．
18．(1)
(2)使用B型号炮弹，理由见解析
【分析】（1）根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于的不等式，解之即可；
（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.
【详解】（1）因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），
则，
即，则，即，则，
又，故，
所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于.
（2）在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，则（服从二项分布），，
记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
，
，
因为，所以，
则
，
令，则，
令，即，则，得，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，则，
故，即，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率的大小.
19．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）求导后构造函数，研究其值域进而求出实数k的取值范围；（2）结合第一问先得到在上递减，在上递增，从而证明出存在唯一的使．再证明出，由函数单调性得到.
【详解】（1）函数在区间内存在极值点，则在有零点，且在零点两边符号相反，
由题意，，
令，，在恒成立，所以在区间内单调递增，且，，且当时，，，可知，即．
（2）要证在区间内存在唯一的使，
只需证在上有唯一零点，
则．
由（1）可知，在上递减，在上递增，
又因为，，即在上递增，
综上，在上递减，在上递增，
而，，故在上存在唯一零点，
故存在唯一的使．
由（1）知，
∴，，
则，，
，
令，则在恒成立，所以在上单调递增，则，则，，
所以，即有，在上递增，
则，所以．
【点睛】导函数研究函数零点问题，要先研究函数的单调性，通常情况下要对要研究的函数进行变形，另外特别注意一些特殊点，往往是解题的突破口.