初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形一课一练

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形一课一练，共7页。试卷主要包含了用反证法证明“若，则”，应假设，已知，用反证法证明等内容，欢迎下载使用。

（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（ ）
A．∠A=50°,∠B=60° B．∠A=50°,∠B=100°C．∠A+∠B=90° D．∠A+12∠B=90°
2．用反证法证明“若，则”，应假设（ ）
A． B． C．≤ D．≥
3．如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是( )
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
5．如图是由8个全等的长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰三角形的点P的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

第5题图 第7题图 第8题图 第9题图
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．用反证法证明AB≠AC时，首先假设________成立．
7．如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为_____．
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若BE+CF＝20，则EF＝_____．
9．一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处，它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的距离为_______．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．用反证法证明：
已知：如图，点D是△ABC内一点。
求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形。
11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，∠BAD＝∠CBE．求证：BD＝CD．
12．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．并说明理由.
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
试题解析
1．D
【解析】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+12∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选：D．
2．C
【解析】反证法的一般步骤是先假设结论不成立，故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2⩽b2，
故选：C.
3．B
【解析】可依据题意线作出图形，结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A，利用“等角对等边”可得其为等腰三角形．
解：如图，
DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∴∠B=∠A，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
4．A
【解析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．
解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设∠B≥90°；
那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°
所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
所以因此假设不成立．∴∠B＜90°；
原题正确顺序为：③④①②．
故选A．
5．D
【解析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．
解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6.
故选D.
6．AB=AC
【解析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 由此可得用反证法证明AB≠AC时，首先假设AB=AC成立．
7．30cm．
【解析】解：∵∠ABD=76°，∠C=38°，∴∠D=∠ABD﹣∠C=76°﹣38°=38°，∴∠C=∠D，∴BD=BC=30cm．故答案为：30cm．
8．20
【解析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF的长．
解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
即BE=DE，DF=FC，
EF=DE+DF=BE+FC=20．
故答案为：20
9．80海里
【解析】∠NPM=∠M，推出NP=MN，求出MN即可．
解：如图，
∠NPM=180°-70°-40°=70°，
∵向北的方向线是平行的，
∴∠M=70°，
∴∠NPM=∠M，
∴NP=MN=40海里×2=80海里，
故答案为：80海里．
10．证明见解析
【解析】先假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，得∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°，与已知矛盾，故可得证.
证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，
则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，
∴∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°，
这与∠ADB+∠BDC+∠ADC=360°矛盾.
∴假设不成立.
∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形.
11．证明见解析
【解析】想办法证明∠ABC=∠ACB，即可推出AB=AC，理由等腰三角形的性质即可解决问题.
证明：∵AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABC＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，
∵∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD．
12．（1）答案见解析 （2）△EOB、△FOC 存在 （3）答案见解析
【解析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB,
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO,
即EO=EB，FO=FC,
∴EF=EO+OF=BE+CF;
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
(3)△EOB和FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC.理由如下:
同(1)可证得△EOB是等腰三角形;
∵EO// BC,
∴∠FOC=∠OCG
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG,
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形
∴EF=EO-FO=BE-FC