04幂函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份04幂函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2020上·上海青浦·高一统考期末）幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022上·上海宝山·高一校考期末）关于幂函数及其图象，有下列四个命题：其中正确的命题个数是（ ）
①其图象一定不通过第四象限；②当时，函数是增函数；
③当时，其图象关于直线对称；④的图象与的图象至少有两个交点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定经过和
B．幂函数的图象一定关于y轴或原点对称
C．幂函数的图象一定不经过第四象限
D．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点
5．（2022上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021下·上海徐汇·高一统考期末）幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021上·上海闵行·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）在下列函数中，既是偶函数，又在区间上是严格增函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数
10．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 .
11．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）已知幂函数的图像过原点，则 .
12．（2024上·上海·高一校考期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数为 .
13．（2024上·上海·高一校考期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为 .
14．（2024上·上海·高一校考期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ．
三、解答题
15．（2021上·上海青浦·高一统考期末）已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”.
(1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；
(2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
(3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
16．（2023上·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知幂函数，写出函数定义域，奇偶性，单调区间，值域，零点，并做出大致图像．
17．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数.
(1)求f（x）的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.
【详解】幂函数定义域为，且，
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
又当时单调递减，则在上单调递增，
故符合题意的只有C.
故选：C
2．B
【分析】利用幂函数的性质可判断①，举例可判断②③④.
【详解】对于①，因为时，幂函数，所以其图象一定不通过第四象限，故正确；
对于②，当时，如时，在上不是增函数，故错误；
对于③，当时，如时，在其图象不关于直线对称，故错误；
对于④，当时，与联立解得，其图象交点为，
只有1个交点，故错误.
故选：B.
3．D
【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．
【详解】对于A，指数函数是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，令，定义域为，
∵，则为奇函数，
而在单调递减，在定义域上不单调，故B错误；
对于C，的定义域为，故为非奇非偶函数，且在上是增函数，故C错误；
对于D，令，其在定义域上单调递增，且，
所以为奇函数，故D正确；
故选：D
4．C
【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，函数的图象不经过点，所以A不正确；
对于B，是非奇非偶函数，所以B不正确；
对于C，对于幂函数，当时，一定成立，
所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C正确；
对于D，，则令，解得：或或，
所以幂函数和有三个交点，所以D不正确.
故选：C.
5．D
【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性结合选项即可求解.
【详解】对于A，是偶函数，故不符合，
对于B，为非奇非偶函数，故不符合，
对于C,在上是减函数，故不符合
对于D，奇函数，同时又在上是增函数，符合要求，
故选：D.
6．B
【分析】根据幂函数的图象与性质，结合指数变化时的规律即可求解.
【详解】对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减，
根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ，
因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限，
在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，
所以的图象位于和之间，所以经过卦限，
所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，
故选：B
7．B
【解析】利用基本初等函数求值域，对选项逐一判断即得结果.
【详解】A选项中，值域为，不满足题意；
B选项中，值域为，满足题意；
C选项中，值域为，不满足题意；
D选项中，对勾函数，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故值域为，不满足题意.
故选：B.
8．A
【解析】根据幂函数的性质判断．
【详解】由幂函数性质知BC是奇函数，AD是偶函数，在上D递增，A递减，因此在上A递增，D递减．
故选：A．
9．
【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解.
【详解】由题意可得：，解得或，
若，则在上是严格减函数，不合题意；
若，则在上是严格增函数，符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
10．
【分析】求出函数在时的值域，根据给定条件确定当时的取值集合，再分类讨论求解即得.
【详解】函数在上单调递增，函数值集合为，
由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含
当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意，
当时，，函数值集合为，不符合题意，
当时，在上单调递增，函数值集合为，
由，得，解得，由，得，因此，
所以的取值范围是.
故答案为：
11．2
【分析】由幂函数的概念求出或，再利用幂函数的图象性质进行验证即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，其图像不过原点，应舍去，
当， 其图像过原点．
故答案为：2.
12．，
【分析】设幂函数，将点代入，即可求解.
【详解】由题意，设幂函数，
则，解得，
所以.
故答案为：
13．
【分析】利用幂函数的单调性即可得解.
【详解】因为幂函数在上是严格减函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】利用幂函数的定义和性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或.
又因为在上严格单调递减，所以，解得，故而.
而且当时，是偶函数，符合题意，从而实数m的值为.
故答案为：.
15．(1)是，证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1），由，得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可解决；（3）由题得，不妨设，得，又，即可解决.
【详解】（1）由题知，函数，定义域为，
所以，
不妨设，
因为，
所以，
所以，
所以是利普希兹条件函数
（2）若函数是“利普希兹条件函数”，
则对于定义域上任意两个，
均有成立，
不妨设，则恒成立，
因为，
所以，
所以的最小值为．
（3）由题意得在上恒成立，
即，
不妨设，
所以，
因为，
所以，
所以.
16．答案见解析．
【分析】描点法作出函数图象，根据图象得出函数的性质．
【详解】列表：
描点，用光滑曲线连接各点，得函数图象，如图，
函数定义域是R，函数为偶函数（因为图象关于轴对称），
增区间是，减区间是，值域是，零点是．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式；
（2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可.
【详解】（1）因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数，
则在区间上单调递减，所以，解得，
又因为，所以或2，
当或2时，不是偶函数，舍去；
当时，是偶函数，合题意，所以.
（2）对任意实数，不等式恒成立，
即在上恒成立，
设，，
因为在上单调递减，所以，
所以，即.
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