2024年高考第一轮复习数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第07讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）（原卷版+解析）

这是一份2024年高考第一轮复习数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第07讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）（原卷版+解析），共48页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，解答题等内容，欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
1.函数的单调性
（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有
，那么就说函数在区间上是减函数.
（3）【特别提醒】
①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．
②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
2.函数的最值
（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
= 1 \* GB3 ①对于任意的，都有； = 2 \* GB3 ②存在，使得.
那么，我们称是函数的最大值.
（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
= 1 \* GB3 ①对于任意的，都有； = 2 \* GB3 ②存在，使得.
那么，我们称是函数的最小值.
（3）函数最值存在的两个结论
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【常用结论】
1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．
2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．
6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．
二、题型分类精讲
题型一 函数单调性的判断与证明
策略方法 1.定义法证明函数单调性的步骤
2.判断函数单调性的四种方法
(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．
3.证明函数单调性的两种方法
(1)定义法；(2)导数法．
【典例1】设函数，指出在上的单调性，并用定义法证明你的结论．
【题型训练】
一、单选题
1．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A．B．
C．D．
2．设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
3．若，则函数在上的值域是______________．
4．对于函数定义域内的任意且，给出下列结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确结论为：
三、解答题
5．根据定义证明函数在区间上单调递增.
6．已知函数.
(1)求的解析式;
(2)判断并证明函数在上的单调性.
7．设对任意的有，且当时，.
(1)求证是上的减函数；
(2)若，求在上的最大值与最小值.
题型二 求函数的单调区间
策略方法 求复合函数单调区间的一般步骤
(1)求函数的定义域(定义域先行)．
(2)求简单函数的单调区间．
(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
【典例1】已知函数
(1)画出函数图象
(2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.
【题型训练】
一、单选题
1．函数，的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）
A．和B．
C．D．
二、填空题
4．函数的单调减区间为___________.
5．函数的单调增区间是___________.
三、解答题
6．已知二次函数的最小值为1，且满足，，点在幂函数的图像上．
(1)求和的解析式；
(2)定义函数试画出函数的图象，并求函数的定义域、值域和单调区间．
7．已知函数．（其中）
(1)求函数的单调增区间；
(2)若对任意，使得恒成立，求实数a的取值范围．
8．已知函数（a为正常数），且函数与的图象在y轴上的截距相等．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调递增区间；
题型三 复合函数的单调性
策略方法 集合运算三步骤
【典例1】函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
2．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数则的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．函数的单调递减区间是____________.
5．已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.
6．已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.
三、解答题
7．已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)判断函数在上的单调性．
8．已知函数
(1)若，求的定义域.
(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围.
题型四 函数单调性的应用
策略方法 1．比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
2．求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．
3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．
【典例1】已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．已知函数与在区间上都是减函数，那么__________.
11．已知函数,在为单调函数，则实数a的取值范围为______．
12．已知函数，则不等式的解集是_________．
13．奇函数f(x)是定义域为(－1，1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)>0，则a的取值范围是________．
三、解答题
14．已知函数，其中为常数.
(1)该函数在严格单调，求的取值范围；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
15．设，其中．
(1)若函数是奇函数，求的值；
(2)若函数在上是严格减函数，求的取值范围．
16．已知函数，且为奇函数．
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)解不等式：．
题型五 函数的最值（值域）
策略方法 求函数最值的五种常用方法
【典例1】已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【典例2】函数在时有最大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.
【题型训练】
一、单选题
1．函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．以上都不对
2．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A．B．C．D．
3．，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．若，则函数在上的值域是______________．
5．正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
6．写出使不等式恒成立的一个实数的值__________．
7．已知，对恒成立，则实数的取值范围_______．
三、解答题
8．已知二次函数，且关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
9．已知函数．
(1)若，解关于的方程.
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
①函数单调性的判断与证明
②求函数的单调区间
③复合函数的单调性
④函数单调性的应用
⑤函数的最值（值域）
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第07讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1.函数的单调性
（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有
，那么就说函数在区间上是减函数.
（3）【特别提醒】
①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．
②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
2.函数的最值
（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
= 1 \* GB3 ①对于任意的，都有； = 2 \* GB3 ②存在，使得.
那么，我们称是函数的最大值.
（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
= 1 \* GB3 ①对于任意的，都有； = 2 \* GB3 ②存在，使得.
那么，我们称是函数的最小值.
（3）函数最值存在的两个结论
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【常用结论】
1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．
2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．
6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．
二、题型分类精讲
题型一 函数单调性的判断与证明
策略方法 1.定义法证明函数单调性的步骤
2.判断函数单调性的四种方法
(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．
3.证明函数单调性的两种方法
(1)定义法；(2)导数法．
【典例1】设函数，指出在上的单调性，并证明你的结论．
【答案】在上单调递增，证明见解析
【分析】设定义域内，再计算的正负判断即可.
【详解】在上单调递增，证明如下：
，取，则
.
因为，则，，得
，所以，在上单调递增.
【题型训练】
一、单选题
1．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可.
【详解】因为，当时；当时；
所以函数在实数上单调递增，又，所以.
故选：A
2．设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.
【详解】若函数是R上的单调递减函数，则，反之不成立，所以是的的充分不必要条件．
故选：A
二、填空题
3．若，则函数在上的值域是______________．
【答案】
【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.
【详解】，
任取，，且，
则，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，，
所以函数在上的值域是.
故答案为：.
4．对于函数定义域内的任意且，给出下列结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确结论为：__．
【答案】（2）（3）（4）
【分析】举反例否定（1）；利用幂的运算性质判断（2）；利用幂函数单调性判断（3）；利用求差法比较二者的大小判断（4）.
【详解】（1）当时，，
则，故错误；
（2），故正确；
（3）函数为增函数，则，故正确；
（4）由可得，
又则
则，故正确
故（2）（3）（4）正确．
故答案为:（2）（3）（4）
三、解答题
5．根据定义证明函数在区间上单调递增.
【答案】证明见解析
【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可.
【详解】，，且，有
.
由，，得，，所以，，
又由，得，于是，即.
所以，函数在区间上单调递增.
6．已知函数.
(1)求的解析式;
(2)判断并证明函数在上的单调性.
【答案】(1)
(2)单调递增,证明见解析
【分析】(1)根据代入即可求得的解析式;
(2)先判断的单调性,再利用单调性的定义证明即可.
【详解】（1）解:由题意得,
解得,
;
（2）在上单调递增,证明如下:
设任意,
则
由,
得,
,
即,
故在上单调递增.
7．设对任意的有，且当时，.
(1)求证是上的减函数；
(2)若，求在上的最大值与最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由递推关系得、，利用单调性定义证明结论即可；
（2）由（1）知在上单调递减，结合递推关系和奇偶性求最值即可.
【详解】（1）令，则有，
令，则，
设且，则，
因为时，所以，
所以是上的减函数.
（2）由（1）：是上的减函数，所以在上单调递减，
又，，
所以.
题型二 求函数的单调区间
策略方法 求复合函数单调区间的一般步骤
(1)求函数的定义域(定义域先行)．
(2)求简单函数的单调区间．
(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
【典例1】已知函数
(1)画出函数图象
(2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.
【答案】(1)图象见解析；
(2)增区间为和，减区间为.
【分析】（1）根据绝对值的性质，结合二次函数的性质作出图象即可；
（2）利用数形结合思想，结合函数单调区间的定义进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以该函数的图象如下图所示：
（2）由（1）中的函数图象可知，该函数的增区间为和，
减区间为.
【题型训练】
一、单选题
1．函数，的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.
【详解】解：函数对称轴为，开口向上，
所以函数，的单调减区间为.
故选：D
2．函数的单调增区间是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案
【详解】解：由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
故选：C
3．如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）
A．和B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意,分析函数y=f (x)和y=f(x)的单调区间，结合“可变函数”的定义分析可得答案.
【详解】因为的单调递减区间为，
在和上为增函数，
所以的“可变区间”为和，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定以及应用，关键是理解“可变函数”,“可变区间”的含义，属于中档题.
二、填空题
4．函数的单调减区间为___________.
【答案】和
【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解.
【详解】，由于函数的单调减区间为和.
故函数的单调减区间为和.
故答案为：和
5．函数的单调增区间是___________.
【答案】和
【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可.
【详解】当时，，此时开口向上，对称轴为，因为，所以在上单调递增；当时，，此时开口向下，对称轴为，因为，所以在单调递增；
故答案为：和
三、解答题
6．已知二次函数的最小值为1，且满足，，点在幂函数的图像上．
(1)求和的解析式；
(2)定义函数试画出函数的图象，并求函数的定义域、值域和单调区间．
【答案】(1)；
(2)作图见解析；定义域为，的单调递增区间为，单调减区间是，的值域为
【分析】（1）设二次函数，，由待定系数法求解即可；
（2）由（1）结合题意求出，画出函数图象求出函数的定义域、值域和单调区间.
【详解】（1）设二次函数，．
因为的最小值为1，所以；因为，所以；
因为，所以．所以．
将点代入，求得，所以，．
（2）分别画出函数和的图象，观察图象可得，
因为所以
所以，函数的定义域为
作出函数的图象如下：
由图象得，的单调递增区间为，单调减区间是．
的值域为．
7．已知函数．（其中）
(1)求函数的单调增区间；
(2)若对任意，使得恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）由题意得：，由分段函数的性质以及二次函数的单调性即可求解；
（2）由（1）可以对参数进行分类讨论，当时，需要讨论与大小关系，结合二次函数的图像和性质，分别求出函数的最值，列出关于的不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）
因为
所以函数为上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，即其单调增区间为和．
（2）因为，
①当时，，由（1）可知在上为增函数，所以满足题设，
②当时，由（1）可知，需要讨论与大小关系，
（ⅰ）当时，函数为上为增函数，在上为减函数，
所以最大值为，最小值在两端点取，
所以又，
所以，
（ⅱ）当时，函数为上为增函数，在上为减函数，
在上为增函数，
又，
所以最大值为，最小值在或处取，
所以，
又，
所以，
综上所述，．
8．已知函数（a为正常数），且函数与的图象在y轴上的截距相等．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调递增区间；
【答案】(1)； (2)；
【详解】（1）由得，又，所以；
（2），
时，，它在上是增函数，
时，，它在上是增函数，
所以函数的增区间是；
题型三 复合函数的单调性
策略方法 集合运算三步骤
【典例1】函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解.
【详解】，函数有意义，则有，得或，
设，则当时，u关于x单调递减，当时，u关于x单调递增，
又因为函数在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知的单调递减区间为．
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求解.
【详解】令，解得的定义域为
在上递增，在上递减，函数在上为增函数
函数的单调增区间为
故选：D
2．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数与的单调性相反；
又因为单调递减，
所以需在上单调递增.
函数的对称轴为，所以只需要，
故选:A.
3．已知函数则的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，根据，转换后得到，根据复合函数的单调性，可求得的单调性，进而可得正确选项.
【详解】函数，则
根据复合函数的单调性，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，只有A符合.
故选：A.
二、填空题
4．函数的单调递减区间是____________.
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性原则即可由的单调性进行求解.
【详解】令，解得，
则的定义域为，
记，由于的对称轴为，
故其在上单调递减，而在定义域内单调递增，
由复合函数单调性的原则可知：在单调递减，
故答案为：.
5．已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的取值范围.
【详解】已知在上是严格减函数，
由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有，
又函数在上最小值，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
6．已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.
【答案】或
【分析】先明确且可看作由函数复合而成，分类讨论和，根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范围.
【详解】由题意可知且可看作由函数复合而成，
当时，为R上的增函数，
若函数且在区间上单调递减，
需满足在上单调递减，即；
当时，为R上的递减函数，
若函数且在区间上单调递减，
需满足在上单调递增，即，则，
故实数a的取值范围是或.
故答案为：或.
三、解答题
7．已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)判断函数在上的单调性．
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增
【分析】（1）由奇函数的定义可知对于定义域内任意有恒成立，由此即可求出答案；
（2）设，由函数单调性的定义易知在单调递减，利用复合函数的单调性判断“同增异减”，则说明函数在上单调递增.
【详解】（1）∵函数为奇函数，
∴恒成立，即，
∴，
则，则恒成立，解得．
当时，，舍去；
当时，，满足题意．
故．
（2）由（1）知，
设，
任取，，且，
．
∵，∴，
又∵,，，
∴
∴函数在上单调递减．
又函数在上单调递减，
∴函数在上单调递增．
8．已知函数
(1)若，求的定义域.
(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，，结合解不等式即可；
（2）分，两种情况讨论，由复合函数单调性以及函数定义域，分析即得解.
【详解】（1）由题意，，
故函数的定义域为
（2）当时，在是减函数，在是增函数.
在上是减函数，
且
当时，在是增函数，在是增函数.
函数在是增函数.
在是减函数，，恒成立.
时，在是减函数.综上，在时，在上是减函数
题型四 函数单调性的应用
策略方法 1．比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
2．求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．
3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．
【典例1】已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】的对称轴为，
若在上单调递增，则，解得，
若在上单调递减，则，解得，
所以实数k的取值范围为.
故选：D.
【典例2】已知函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由，求得，再判断其单调性，然后由，利用其单调性求解.
【详解】解：因为函数，且，
当时，，解得，
当时，，解得（舍去），
所以，
当时，单调递增；
当时，，单调递增，且，
所以在R上递增，
因为，
所以，即，
解得，故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.
【详解】在单调递增，充分性成立，
若时在单调递增，但是不满足，所以必要性不成立.
故选：A
2．若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即可求得的取值范围.
【详解】令，则，则，对称轴为，则函数的单调递减区间为，因为为减函数，且在上单调递增，所以，则解得.
所以实数的范围为.
故选：A
3．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据单调区间是定义域的子集可知：在上恒成立，然后再将原函数看成一个对数和一个一次函数的复合函数，根据复合函数的单调性特性可得答案.
【详解】依题意在上恒成立且，
又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.
故选：B
4．已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用增函数的定义求解即可.
【详解】对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
5．已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和单调性得到，解得答案.
【详解】函数是定义域为的减函数，因，
故，解得，
故选：C
6．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，可得函数是偶函数，且在区间上是增函数，然后将问题转化为含绝对值的一次不等式来求解即可.
【详解】函数的图象关于y轴对称，为偶函数，，
∴不等式可变为，
偶函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
∴，解得.
故选：B.
7．已知偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，故在单调递增，所以不等式等价于，即解出即可.
【详解】因为的定义域为，且对于任意
均有成立，
可得在单调递减，
又函数为偶函数，
所以在单调递增，
所以等价于，
所以，
即，
即，
解得：，
所以实数的取值范围是：，
故选：C.
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.
【详解】为偶函数，且在上递减.
∵，
∴，
∵，，∴且，∴.
故选：B
9．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质和函数单调性的性质化简不等式求不等式的解集.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以当时，，
所以不等式可化为，
又在上单调递增，
所以，且，
解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
二、填空题
10．已知函数与在区间上都是减函数，那么__________.
【答案】.
【分析】二次函数在区间单减，则区间在二次函数的减区间范围内，从而求得的范围；反比例型函数在区间单调递减，得，取交集即可.
【详解】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，
是反比例型函数，若在区间是减函数，则，所以.
所以与在区间上都是减函数，a的取值范围为.
故答案为:.
11．已知函数,在为单调函数，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】由，得为单调递增函数，从而得在为单调递增函数，列出不等式组求解即可.
【详解】解：因为当时，，单调递增，
又因为在为单调函数，
所以在为单调递增函数，
所以，
解得.
所以实数a的取值范围为：
故答案为：
12．已知函数，则不等式的解集是_________．
【答案】
【分析】由解析式可判断得在上单调递减，然后结合题意和单调性定义列出不等式组求解即可.
【详解】当时，，单调递减，且；
当时，，单调递减，且；
故可知在上单调递减，
因此．
故答案为：.
13．奇函数f(x)是定义域为(－1，1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)>0，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先利用奇函数的性质，不等式变形为，再结合函数的单调性，列不等式，即可求解.
【详解】f(x)为奇函数，f(2a－1)>－f(a－1)，
∴f(2a－1)>f(1－a)，，解得.
故答案为：
三、解答题
14．已知函数，其中为常数.
(1)该函数在严格单调，求的取值范围；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求出结果；
（2）分离参数转化为求函数的最大值，即可求出结果；
【详解】（1）由题意知或，解得或，
所以的取值范围为.
（2）任意的恒成立，
即对任意的恒成立
因办在上单调递增，
所以，
令，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，
所以，所以，即实数的取值范围是.
15．设，其中．
(1)若函数是奇函数，求的值；
(2)若函数在上是严格减函数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数定义可知，由此可构造方程求得结果；
（2）根据单调性定义可知对任意，恒成立，由此可整理得到，根据可求得的取值范围.
【详解】（1）为奇函数，，
又，，解得：.
（2）设，
在上为严格减函数，恒成立，
即，
，，即，
，，，即的取值范围为.
16．已知函数，且为奇函数．
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)解不等式：．
【答案】(1)函数单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得参数a的值，判断函数单调性，利用单调性定义可证明函数的单调性；
（2）利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式.
【详解】（1）因为函数，定义域为R，且为奇函数，
则，得，
当时，
对于任意实数x，，
∴，即当时，为奇函数；
为单调递减函数，
证明：设，则
，
，即，，
∴，即函数在定义域上单调递减；
（2）因为在定义域上单调递减且为奇函数，
由不等式可得，∴，
∴，即的解集为.
题型五 函数的最值（值域）
策略方法 求函数最值的五种常用方法
【典例1】已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
【典例2】函数在时有最大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值．
【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，
所以函数，解得，，
所以．
故选：C．
【典例3】已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.
【答案】
【分析】令，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.
【详解】原不等式即 ① ，令，，则，
将代入①式，则有，
对一切恒成立，对恒成立，
即，根据二次函数的性质，在时单调递增，故，
所以，又为正的常数，则的最大值为.
故答案为：
【题型训练】
一、单选题
1．函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．以上都不对
【答案】B
【分析】令，则，然后根据对勾函数的单调性可得答案.
【详解】令，则，
因为在上单调递增，
所以当时取得最小值，
故选：B
2．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出的导函数,即， 令，可得x的值，讨论函数的极值及单调性，结合在区间上的最大值为28，即可求出k的取值范围.
【详解】因为，所以，
令，解得，
所以在和时，，在时，，
所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，
则在内单调递增，所以在内，最大；
在时单调递减，所以在内，最大；
在时单调递增，所以在内，最大；
因为，且在区间上的最大值为28，
所以，即k的取值范围是，
故选：A.
3．，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求出两个函数在上的值域，然后由条件可得的值域是值域的子集，即可建立不等式求解.
【详解】函数，
因为，所以在的值域为，
函数在的值域为，
因为对任意的，存在，使，
所以，
所以，解得．
故选：A．
二、填空题
4．若，则函数在上的值域是______________．
【答案】
【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.
【详解】，
任取，，且，
则，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，，
所以函数在上的值域是.
故答案为：.
5．正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.
【详解】解析：由题，
则，
∴，
解得:．
故答案为：.
6．写出使不等式恒成立的一个实数的值__________．
【答案】不少于的任意一个实数
【分析】对不等式全分离,即恒成立,只需,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果.
【详解】解:因为恒成立,
所以,即只需,
因为,所以,
故只需即可.
故答案为: 不少于的任意一个实数
7．已知，对恒成立，则实数的取值范围_______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于，对恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析求解.
【详解】若，则，
令，则，
可得，整理得，
故原题意等价于，对恒成立，
∵在上单调递增，则，
∴，解得，
即实数的取值范围.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：
对，，等价于；
对，，等价于.
三、解答题
8．已知二次函数，且关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；
（2）换元，根据恒成立问题利用参变分离可得对时恒成立，再结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：方程的两根为，且
则，解得，
故.
（2）由（1）可得，
令，则对时恒成立，
故对时恒成立，
∵，当且仅当，即时成立，
∴，即实数m的取值范围为.
9．已知函数．
(1)若，解关于的方程.
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到函数解析式，再解方程即可；
（2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意，，则，
由可整理得，则可得或，
或；
（2）若在上恒成立，则在上恒成立，整理得在上恒成立，
令，由，则，
又令，，所以是上的减函数，
所以，
故实数的取值范围为.
①函数单调性的判断与证明
②求函数的单调区间
③复合函数的单调性
④函数单调性的应用
⑤函数的最值（值域）