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2023-2024学年海南省儋州市洋浦中学高二上学期期中数学试题（B卷）含答案
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这是一份2023-2024学年海南省儋州市洋浦中学高二上学期期中数学试题（B卷）含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率.
【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为；
②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为.
综上，直线的斜率为或.
故选：C.
2．两条平行直线与之间的距离（ ）
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】先根据两条直线平行求参，再根据平行线间距离公式计算求解.
【详解】由已知两条直线平行，得，所以，
所以直线可化为，则两平行线间的距离.
故选：C.
3．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可求得结果.
【详解】由可知，
根据向量减法的坐标运算法则可得，
即.
故选：C
4．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（ ）
A．，2B．，4C．，2D．，4
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解.
【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，
所以圆的圆心和半径分别为，2.
故选：C.
5．为圆上任意一点，且点．则的最大值为（ ）
A．5B．9C．8D．7
【答案】D
【分析】得到圆心和半径，进而求出的最大值为，得到答案.
【详解】圆变形为，
其圆心为，半径为，
则的最大值为.
故选：D
6．若椭圆的离心率为，则（ ）
A．3或B．C．3或D．或
【答案】C
【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可.
【详解】若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，
若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，综上，或.
故选：C
7．方程的化简结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ，
根据 ，所以椭圆方程为.
故选：C.
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ）
A．4B．8C．14D．18
【答案】D
【分析】根据椭圆面积公式及斜率之积建立a，b方程并求出，再利用，从而可确定不可能取值.
【详解】因为椭圆的面积为，所以，即，
设，则，所以，
所以点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，
解得，，则，
又，即
故的值不可能为18.
故选：D
二、多选题
9．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相离
【答案】AC
【分析】根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确；
对于B中，由直线，可化为，
令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确；
对于C中，由圆心坐标为和定点，可得，
根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，
则最短弦长为，所以C正确；
对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确.
故选：AC.
10．已知空间中三点、、，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】CD
【分析】由空间向量的坐标运算即可判断AB，由空间向量夹角坐标公式，即可判断C，由平面法向量的计算公式，即可判断D.
【详解】对于A选项，，，因为，则、不共线，A错；
对于B选项，与同向的单位向量为，B错；
对于C选项，，，
所以，与夹角的余弦值是，C对；
对于D选项，设为平面的法向量，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，D对.
故选：CD.
11．下列命题正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过两个不同的点的直线都可以用方程表示
C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D．方程不一定表示圆
【答案】BCD
【分析】根据直线方程的性质和圆的标准方程的性质逐项判断.
【详解】对于A：经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示，
斜率不存在时，用方程来表示，故A选项错误；
对于B：经过两个不同的点的直线有两种情况：
当时，直线方程为，整理得；
当时，直线方程为，即方程成立.
综上所述，经过两个不同的点的直线都可以用方程表示，故B选项正确；
对于C：当直线在x轴和y轴上截距为0时，可设直线方程为，
直线过，则所求直线方程为；
当直线在x轴和y轴上截距不为0时，可设直线方程为，即，
直线过，则所求直线方程为.
综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故C选项正确；
对于D：化为，
所以该方程时才表示圆，故D选项正确.
故选：BCD.
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ）
A．曲线有两条对称轴
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D．四叶草面积小于
【答案】BCD
【分析】通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断A，利用基本不等式及距离公式判断B，设出曲线中第一象限的点，利用基本不等式即可求出矩形面积最大值判断C，由该曲线在以原点为圆心，半径为的圆内，故面积小于圆的面积判断D.
【详解】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
综上可知：有四条对称轴，错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，
取等号时，所以最大距离为，正确；
对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为，
因为，所以，所以，
取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确；
对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部，
因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．直线被圆所截得的弦长是 ．
【答案】6
【分析】判断出直线过圆心即可.
【详解】
即圆心为 半径为3，而直线
过定点即过圆心，
故直线被圆所截得的弦长即为直径6.
故答案为：6
14．在直角坐标系xOy中，直线l：，以O为圆心的圆与直线l相切.将圆O向右平移一个单位得圆C，则圆C的标准方程为
【答案】
【分析】通过直线与圆相切可得圆O的方程，通过平移规则可得圆C的标准方程.
【详解】因为圆O与直线l：相切，
所以圆O的半径，
即圆O的方程为，
将圆O向右平移一个单位得圆C的标准方程为，
故答案为：.
15．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【答案】
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】
由题可知在的同侧，
设点关于直线的对称点为，
则，解得即．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，
所以直线的方程为，
设将军在河边饮马的地点为，
则即为与的交点，
，解得，
所以．
故答案为：
16．椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）．在平面直角坐标系中，将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”，则“斜椭圆”的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义与性质结合基本不等式计算即可.
【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点，
由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，
短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，
由基本不等式可得，
所以，解得，
当且仅当时成立，当且仅当时，成立，
所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，
所以椭圆离心率为，
故答案为：
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为，离心率为；
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的焦点在轴和上，分类讨论，即可求解；
（2）设椭圆的标准方程为，根据题意求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，椭圆的长轴长为，离心率为，
可得，可得，则，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为.
综上，椭圆的方程为或.
（2）解：由题意，设椭圆的标准方程为，
如图所示，为椭圆的一个焦点，分别为短轴的两个端点，且焦距为，
则为一等腰直角三角形，所以，所以，
故所求椭圆的标准方程为.
18．已知点和圆为圆上的动点.
(1)求的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的坐标，利用代入法求得的轨迹方程.
（2）设的中点为，连接，利用勾股定理列方程，化简求得线段中点的轨迹方程.
【详解】（1）设点，
，整理得，
点在圆上，
，
整理得点的轨迹方程为.
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，连接，则，
，
.
故线段中点的轨迹方程为.
19．直线，圆.
(1)求出定点的坐标.当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程；
(2)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将直线化为，令即可求解；当与垂直时，直线被圆截得的弦最短，根据即可求解；
（2）方法1：当时，有最大值，此时面积有最大值；方法2：根据垂径定理与点到直线的距离公式将面积转化为关于点到直线的距离的方程，利用二次函数的最值问题即可求解.
【详解】（1）由题意知可化为，
故，解得，即直线恒过定点，
因为，
所以圆的圆心为，半径，
如图所示：
，
当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，，
，即；
（2）方法1，
，且为钝角，
当时有最大值，即面积有最大值，
此时，与垂直，，，
，即；
方法2，
设圆心到直线的距离为，则，
，
当时有最大值，
由，，解得，
，
.
20．已知直线过椭圆的一个顶点和一个焦点.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线l与C交于，两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，得到，，求得则，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线l为，联立方程组，得到，，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为.
因为直线过点和，所以，，
则，所以椭圆C的方程为.
（2）解：由题可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，，
因为，可得，
整理可得，解得或（负值舍去），所以，
故直线l的方程为或.
21．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
(1)设平面的法向量为，求的值;
(2)求异面直线与 所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解；
（2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）．
【详解】（1）由题可知，
，
则即
解得 ；
（2），
∴，
又，
∴，
故异面直线与所成角的余弦值为．
22．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，证明出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（2）设，，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求出的值，即可求出的值.
【详解】（1）解：连接，∵，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，菱形中，，所以是正三角形，
∴．∴、、两两垂直．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为.
（2）解：由题意可知，平面的一个法向量为，
，，
设，，
则，
∵直线与平面所成的角为，
，
整理可得，解得，
所以，．
一、单选题
1．已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率.
【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为；
②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为.
综上，直线的斜率为或.
故选：C.
2．两条平行直线与之间的距离（ ）
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】先根据两条直线平行求参，再根据平行线间距离公式计算求解.
【详解】由已知两条直线平行，得，所以，
所以直线可化为，则两平行线间的距离.
故选：C.
3．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可求得结果.
【详解】由可知，
根据向量减法的坐标运算法则可得，
即.
故选：C
4．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（ ）
A．，2B．，4C．，2D．，4
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解.
【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，
所以圆的圆心和半径分别为，2.
故选：C.
5．为圆上任意一点，且点．则的最大值为（ ）
A．5B．9C．8D．7
【答案】D
【分析】得到圆心和半径，进而求出的最大值为，得到答案.
【详解】圆变形为，
其圆心为，半径为，
则的最大值为.
故选：D
6．若椭圆的离心率为，则（ ）
A．3或B．C．3或D．或
【答案】C
【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可.
【详解】若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，
若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，综上，或.
故选：C
7．方程的化简结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ，
根据 ，所以椭圆方程为.
故选：C.
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ）
A．4B．8C．14D．18
【答案】D
【分析】根据椭圆面积公式及斜率之积建立a，b方程并求出，再利用，从而可确定不可能取值.
【详解】因为椭圆的面积为，所以，即，
设，则，所以，
所以点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，
解得，，则，
又，即
故的值不可能为18.
故选：D
二、多选题
9．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相离
【答案】AC
【分析】根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确；
对于B中，由直线，可化为，
令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确；
对于C中，由圆心坐标为和定点，可得，
根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，
则最短弦长为，所以C正确；
对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确.
故选：AC.
10．已知空间中三点、、，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】CD
【分析】由空间向量的坐标运算即可判断AB，由空间向量夹角坐标公式，即可判断C，由平面法向量的计算公式，即可判断D.
【详解】对于A选项，，，因为，则、不共线，A错；
对于B选项，与同向的单位向量为，B错；
对于C选项，，，
所以，与夹角的余弦值是，C对；
对于D选项，设为平面的法向量，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，D对.
故选：CD.
11．下列命题正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过两个不同的点的直线都可以用方程表示
C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D．方程不一定表示圆
【答案】BCD
【分析】根据直线方程的性质和圆的标准方程的性质逐项判断.
【详解】对于A：经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示，
斜率不存在时，用方程来表示，故A选项错误；
对于B：经过两个不同的点的直线有两种情况：
当时，直线方程为，整理得；
当时，直线方程为，即方程成立.
综上所述，经过两个不同的点的直线都可以用方程表示，故B选项正确；
对于C：当直线在x轴和y轴上截距为0时，可设直线方程为，
直线过，则所求直线方程为；
当直线在x轴和y轴上截距不为0时，可设直线方程为，即，
直线过，则所求直线方程为.
综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故C选项正确；
对于D：化为，
所以该方程时才表示圆，故D选项正确.
故选：BCD.
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ）
A．曲线有两条对称轴
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D．四叶草面积小于
【答案】BCD
【分析】通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断A，利用基本不等式及距离公式判断B，设出曲线中第一象限的点，利用基本不等式即可求出矩形面积最大值判断C，由该曲线在以原点为圆心，半径为的圆内，故面积小于圆的面积判断D.
【详解】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
综上可知：有四条对称轴，错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，
取等号时，所以最大距离为，正确；
对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为，
因为，所以，所以，
取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确；
对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部，
因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．直线被圆所截得的弦长是 ．
【答案】6
【分析】判断出直线过圆心即可.
【详解】
即圆心为 半径为3，而直线
过定点即过圆心，
故直线被圆所截得的弦长即为直径6.
故答案为：6
14．在直角坐标系xOy中，直线l：，以O为圆心的圆与直线l相切.将圆O向右平移一个单位得圆C，则圆C的标准方程为
【答案】
【分析】通过直线与圆相切可得圆O的方程，通过平移规则可得圆C的标准方程.
【详解】因为圆O与直线l：相切，
所以圆O的半径，
即圆O的方程为，
将圆O向右平移一个单位得圆C的标准方程为，
故答案为：.
15．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【答案】
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】
由题可知在的同侧，
设点关于直线的对称点为，
则，解得即．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，
所以直线的方程为，
设将军在河边饮马的地点为，
则即为与的交点，
，解得，
所以．
故答案为：
16．椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）．在平面直角坐标系中，将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”，则“斜椭圆”的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义与性质结合基本不等式计算即可.
【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点，
由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，
短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，
由基本不等式可得，
所以，解得，
当且仅当时成立，当且仅当时，成立，
所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，
所以椭圆离心率为，
故答案为：
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为，离心率为；
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的焦点在轴和上，分类讨论，即可求解；
（2）设椭圆的标准方程为，根据题意求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，椭圆的长轴长为，离心率为，
可得，可得，则，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为.
综上，椭圆的方程为或.
（2）解：由题意，设椭圆的标准方程为，
如图所示，为椭圆的一个焦点，分别为短轴的两个端点，且焦距为，
则为一等腰直角三角形，所以，所以，
故所求椭圆的标准方程为.
18．已知点和圆为圆上的动点.
(1)求的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的坐标，利用代入法求得的轨迹方程.
（2）设的中点为，连接，利用勾股定理列方程，化简求得线段中点的轨迹方程.
【详解】（1）设点，
，整理得，
点在圆上，
，
整理得点的轨迹方程为.
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，连接，则，
，
.
故线段中点的轨迹方程为.
19．直线，圆.
(1)求出定点的坐标.当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程；
(2)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将直线化为，令即可求解；当与垂直时，直线被圆截得的弦最短，根据即可求解；
（2）方法1：当时，有最大值，此时面积有最大值；方法2：根据垂径定理与点到直线的距离公式将面积转化为关于点到直线的距离的方程，利用二次函数的最值问题即可求解.
【详解】（1）由题意知可化为，
故，解得，即直线恒过定点，
因为，
所以圆的圆心为，半径，
如图所示：
，
当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，，
，即；
（2）方法1，
，且为钝角，
当时有最大值，即面积有最大值，
此时，与垂直，，，
，即；
方法2，
设圆心到直线的距离为，则，
，
当时有最大值，
由，，解得，
，
.
20．已知直线过椭圆的一个顶点和一个焦点.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线l与C交于，两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，得到，，求得则，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线l为，联立方程组，得到，，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为.
因为直线过点和，所以，，
则，所以椭圆C的方程为.
（2）解：由题可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，，
因为，可得，
整理可得，解得或（负值舍去），所以，
故直线l的方程为或.
21．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
(1)设平面的法向量为，求的值;
(2)求异面直线与 所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解；
（2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）．
【详解】（1）由题可知，
，
则即
解得 ；
（2），
∴，
又，
∴，
故异面直线与所成角的余弦值为．
22．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，证明出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（2）设，，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求出的值，即可求出的值.
【详解】（1）解：连接，∵，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，菱形中，，所以是正三角形，
∴．∴、、两两垂直．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为.
（2）解：由题意可知，平面的一个法向量为，
，，
设，，
则，
∵直线与平面所成的角为，
，
整理可得，解得，
所以，．
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