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期末冲刺满分攻略北师大版数学七年级上册专题十四--探索数与式的规律（试题解析）
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1．（3分）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．10110B．10115C．8092D．8093
【答案】D
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意可知，第一个正方形涂有阴影的小正方形有5个，第二个则有9，第三个则有13个，一次类推第四个，应该是左右两边的正方形各有4个阴影正方形，中间两个正方形共用小阴影正方形有3个，中间两个正方形非共用的正方形各有3个，总数为4+3+3+3+4=17个，其规律为4+（n−2）×3+（n−1）+4=4n+1，当n为2023时，带入上式，4×2023+1=8093；
故答案为D：.
【分析】根据图形来探索规律分析.
2．（3分）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，第5个图，…；若用an表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则1a1+1a2+1a3+…+1a2023＝（ ）
A．40442023B．40422023C．20211011D．20231012
【答案】D
【知识点】代数式求值；探索图形规律
【解析】【解答】解： 根据题目所给的图形，可得 a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，a4=1+2+3+4=10，……，an =1+2+3+……+n=n(n+1)2，那么1a1=11×(1+1)2=21×2，1a2=12×(2+1)2=22×3，1a3=13×(3+1)2=23×4，……，1a2023=12023×(2023+1)2=22023×2024；
1a1+1a2+1a3+……+1a2023=21×2+22×3+23×4+……+22023×2024=2（11×2+12×3+13×4+……+12023×2024）
=2（1−12+12−13+13−14+……+12023−12024）=2（1−12024）=2×20232024=20231012
故答案为：D.
【分析】解决本题的关键是：高斯求和公式an =1+2+3+……+n=n(n+1)2，裂项11×2+12×3+13×4+……+12023×2024=1−12+12−13+13−14+……+12023−12024.
3．（3分）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个2n的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为19=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，32可以写为二进制数字100000，因为32＝32＝1×25+0×24+0×23+0×22+0×21+0×20，则十进制数字70是二进制下的（ ）
A．4位数B．5位数C．6位数D．7位数
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；进位制及应用（奥数类）
【解析】【解答】解： 70＝1×26+0×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20=1000110，转化为2进制之后为7位数
故答案为：D.
【分析】将一个十进制的数表示成二进制的数，关键是将一个十进制的数表示成几个2的幂之和，然后按次数从高到低依次排列，从而转化为二进制的数.
4．（3分）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，依次类推，则12+14+18+⋅⋅⋅+126的值是（ ）
A．1516B．3132C．6364D．127128
【答案】D
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 根据题意可知，边长为1的正方形纸片的面积为1.
部分①是整体面积的一半，即12；
部分②是部分①面积的一半，即14=122；
依此规律可知，12+14+18+...+126为部分①到⑥的面积之和
由正方形纸片分割成7个部分，可知12+14+18+...+126=1−127=127128.
故答案为：D.
【分析】根据图形规律，得到部分⑦的面积为127，整个正方形的面积减去部分⑦的面积即可求得结果.
5．（3分）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（ ）
A．2n−1根B．2n根C．2n+1根D．(12)n+1根
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，
∴第一次捏合2根细面条，第二次捏合22根细面条；第三次捏合23根细面条
…
∴第n次捏合2n根细面条.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知第一次捏合2根细面条，第二次捏合22根细面条；第三次捏合23根细面条…根据此规律可得到第n次捏合细面条的数量.
6．（3分）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1、P2、P3⋅⋅⋅Pn在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达P12的位置．
A．595B．666C．630D．703
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：点P从0跳动1+2+3=6个单位长度，到达P1；
跳动1+2+3+4+5+6=21个单位长度，到达P2，
∴跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为n×3，
∴P12应该跳动的次数为12×3=36，
∴点P从0跳动1+2+3+4+⋯+35+36=666，
故答案为：B．
【分析】根据题干中的计算方法可得点P从0跳动1+2+3+4+⋯+35+36=666。
7．（3分）如图所示运算程序中，若开始输入的x值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2021次输出的结果是（ ）
A．1B．6C．3D．4
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3，
∵2021为奇数，
∴第2021次输出的结果为6，
故答案为：B．
【分析】先求出规律，再求解即可。
8．（3分）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2023，则m的值是（ ）
A．46B．45C．44D．43
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
∴从23到m3的奇数的个数为： 2+3+4+⋯+m=(m+2)(m−1)2，
∵2n+1=2023，
∴n=1011，
∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数，
∵(44+2)(44−1)2=989，(45+2)(45−1)2=1034，
∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=45．
故答案为：B．
【分析】先求出规律，再求解即可。
9．（3分）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当正六边形在转动第一周的过程中，A、F、E、D、C、B分别对应的点为0、1、2、3、4、5，
∴6次一循环，
∵2021÷6=336……5，
∴数轴上2021这个数所对应的点是B点．
故答案为：B．
【分析】根据图象可得：每6次一循环，再利用2021÷6=336……5，可得数轴上2021这个数所对应的点是B点。
10．（3分）一组数据排列如下：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…
按此规律，某行最后一个数是148，则此行的所有数之和是（ ）
A．9801B．9603C．9025D．8100
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
∴3n﹣2＝148，
解得：n＝50，
因此第50行最后一个数是148，
∴此行的数之和为50+51+52+…+147+148＝ (50+148)(148−50+1)2
=9801，
故答案为：A．
【分析】每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，从而得出第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，据此建立方程求出最后一个数是148在第50行，再求出其行各数之和即可.
二、填空题(共6题；共18分)
11．（3分）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列顺序，2023应在点 处．
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：通过观察。从1开始到4，从5到8，位置上每四个数一次循环，2023÷4=505……3，故2023应处在3这个数字的位置，对应的字母为B；
故答案为：B.
【分析】根据数字位置的变化规律，分析出每四个一次循环，再将2023除以4，可以得出2023所处的位置，再观察其对应位置的字母.
12．（3分）已知x1，x2，x3，⋯，x20都是非零有理数，若y1=|x1|x1，则y1等于1或−1；若y2=|x1|x1+|x2|x2，则y2等于2或−2或0；若y20=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+⋯+|x20|x20，则y20所有可能等于的值的绝对值之和等于 ．
【答案】220
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵y2=x1x1+x2x2，则y2=±2或0，
y4=x1x1+x2x2+x3x3+x4x4，则y4=±4或±2或0，
y6=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x6x6，则y6=±6或±4或±2或0，
∴y20=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x20x20，则y20=±20或±18或±16…或±4或±2或0，
∴y20所有可能等于的值的绝对值之和等于2×(2+4++6+…+20）=220.
故答案为：220.
【分析】根据绝对值的意义，从20个数的符号进行讨论，都相同时，有一个不相同时，有两个不相同时，……有十个不相同时，得出y20的所有有可能的取值，然后再计算绝对值之和，即可得出答案.
13．（3分）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是 ．
【答案】16
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个庚烷分子结构式中“H”的个数是4，
第2个庚烷分子结构式中“H”的个数是6=4+2×1，
第3个庚烷分子结构式中“H”的个数是8=4+2×2，
…
第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是4+2×6=16，
故答案为：16.
【分析】先求出前3个庚烷分子结构式中“H”的个数，找出规律，第n个庚烷分子结构式中“H”的个数为2(n-1)+4=2n+2，根据规律即可得出答案.
14．（3分）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第1次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6；按照这种规律移动下去，至少移动次 后该点到原点的距离不小于41．
【答案】27
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意知，第1次点A向左移动3个单位长度至点 A1 ，则 A1 表示的数为1-3=-2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点 A2 ，则 A2 表示的数为-3+6=4；
第3次从点 A2 向左移动9个单位长度至点 A3 ，则 A3 表示的数为4-9=-5=-2-3×1；
第4次从点 A3 向右移动12个单位长度至点A4 ，则A4 表示的数为-5+12=7=4+3×1；
第5次从点 A4 向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8=-2-3×2；
第6次从点A6向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为-8+18=10=4+3×2；
⋯；
根据规律可知，第2n+1次移动时，An表示的数为-2-3n；第2n次移动时，An表示的数为4+3（n-1）.
令-2-3n=-41. 解得n=13. 所以2n+1=27. 所以至少移动27次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：27.
【分析】根据序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3即可求解．
15．（3分）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第(1)个图案中有2个正方形，第(2)个图案中有5个正方形，第(3) 个图案中有8个正方形……则第n个图案中有 个正方形．
【答案】3n- 1
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第1个图形中正方形的个数2=3×1-1，
第2个图形中正方形的个数5=3×2-1，
第3个图形中正方形的个数8=3×3-1，
∴第n个图形中正方形的个数（3n-1），
故答案为：3n-1.
【分析】 观察图形，得出前几个图形的正方形个数的变化规律，得出正方形的个数为序数的3倍与1的差，即可得出答案.
16．（3分）一组数据按如下规律排列：a1=1×2×3，a2=2×3×4，a3=3×4×5，……．如果3ma8=1a8−1a7，那么m= ．
【答案】−17
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a1=1×2×3，a2=2×3×4，a3=3×4×5，……
∴a7=7×8×9，a8=8×9×10，
∴3m8×9×10=18×9×10−17×8×9，
解得：m=−17；
故答案为−17．
【分析】根据3ma8=1a8−1a7，可得3m8×9×10=18×9×10−17×8×9，再求出m=−17即可。
三、计算题(共8题；共72分)
17．（6分）阅读下列内容，然后解答问题：
因为： 11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14…19×10=19−110
所以： 11×2+12×3+13×4+…+19×10
=(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(19−110)
=1−12+12−13+13−14+…+19−110
=1−110=910
问题：计算：
（1）（2分）11×2+12×3+13×4+…+12015×2016+12016×2017
（2）（2分）11×3+13×5+15×7
（3）（2分）11×3+13×5+15×7+…+12015×2017
【答案】（1）解：原式 =(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(12015−12016)+(12016−12017)
=12−13+13−14+…+12015−12016+12016−12017
=1 −12017
= 20162017
（2）解：原式= 12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)
=12(1−13+13−15+15−17)
=12(1−17)
= 37
（3）解：原式 =12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯+12(12015−12017)
=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12015−12017)
=12(1−12017)
= 10082017
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据阅读材料，利用拆项法将其变形，然后计算即可；
（2）根据阅读材料，利用拆项法将其变形，然后计算即可.
18．（10分）将正整数1，2，3，4，5，6，7，…，排成如图所示的数表．
（1）（4分）根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列；
（2）（2分）数表中第n行第1列的数是 ，并求出第n行所有数的和（用含n的式子表示）；
（3）（4分）如图，“T”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为S1，S2．
①猜想S1，S2之间的关系 ▲ ；
②任意平移“T”字型的位置，S1与S2之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明．
【答案】（1）15；2
（2）7n−6
（3）解：①S1+6=S2；
②成立，理由如下：
设竖列第1个数为x，则竖列其余两个数分别为：x+7，x+14，
横行的三个数分别为：x+4，x+5，x+6，
∴S1=x+4+x+5+x+6=3x+15，S2=x+x+7+x+14=3x+21，
又.3x+15+6=3x+21，
∴S1+6=S2．
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：每一行有7个数，即每一行最后一个数为7n，
∵100÷7=14⋯2，
∴数100位于第15行，第2列，
故答案为：15，2.
（2）由（1）知第n-1行的最后一个数为7n−1，则第n行第一个数为7n−6，
∴第n行的所有数的和为：7n−6+7n−5+7n−4+7n−3+7n−2+7n−1+7n=49n−21，
故答案为：7n−6，49n−21.
（3）①∵S1=10+11+12=33，S2=6+13+20=39，
∴S1+6=S2，
故答案为：S1+6=S2.
【分析】（1）根据数表可知每一行有7个数，即每一行最后一个数为7n，进而利用100÷7=14⋯2，进而即可求解；
（2）由（1）知第n-1行的最后一个数为7n−1，则第n行第一个数为7n−6，进而可求出第n行的每一个数，即可求出第n行所有数的和；
（3）①根据题目已给的数据进行猜想即可；
②设竖列第1个数为x，则竖列其余两个数分别为：x+7，x+14，横行的三个数分别为：x+4，x+5，x+6，在分别计算出S1，S2即可求解.
19．（8分）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）（1分）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 ；
（2）（3分）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下(单位：秒) ：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第 次滚动后，大圆离原点最远？
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程为 ？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是 ？(结果保留π)
（3）（4分）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【答案】（1）-4π
（2）6；40π；20π
（3）设时间为t秒，
分四种情况讨论：
①当两圆同向右滚动，由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数： 2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，2πt-πt=9π，2t-t=9，t=9，2πt=18π，πt=9π ，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π．
②当两圆同向左滚动，由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：-2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：-πt，-πt+2πt=9π，-t+2t=9，t=9，-2πt=-18π，-πt=-9π ，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-18π、-9π ．
③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，同理得：2πt-(-πt)=9π，3t=9，t=3，2πt=6π，-π1=-3π ，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、-3π ．
④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，同理得： πt-(-2πt)=9π ，t=3，πt=3π，-2πt=-6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-6π、3π．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)C大=2πR=4π，
∴大圆沿数轴向左滚动1周后与数轴重合的点所表示的数是−4π.
故答案为：−4π.
(2)①第一次：−1×2π=−2π；
第二次：−1+2×2π=2π；
第三次：−1+2−4×2π=−6π；
第四次：−1+2−4−2×2π=−10π；
第五次：−1+2−4−2+3×2π=−4π；
第六次：−1+2−4−2+3−8×2π=−20π，
∴ 第6次滚动后，大圆离原点最远.
故答案为：6.
②−1+2+−4+−2+3+−8×2π=20×2π=40π；
由①得两圆与数轴重合的点之间的距离是20π.
故答案为：40π；20π.
【分析】(1)半径为2的大圆滚动一周的距离为4π，因此大圆沿数轴向左滚动1周后与数轴重合的点所表示的数是−4π.
(2)①分别计算每次滚动后大圆与数轴重合的点表示的数，即可得到第6次滚动后，大圆离原点最远.
②计算大圆滚动的总时长，再通过路程公式求得大圆运动的路程；由①得两圆与数轴重合的点之间的距离是20π.
(3)对大圆与小圆的滚动方向进行分类讨论：①当两圆同向右滚动，大圆与数轴重合的点所表示的数： 2πt，小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，由两圆与数轴重合的点之间相距9π可得此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π；②当两圆同向左滚动，大圆与数轴重合的点所表示的数：-2πt，小圆与数轴重合的点所表示的数：-πt，故此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-18π、-9π ；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、-3π ；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-6π、3π．
20．（8分）将图1中的菱形剪开得到图2，则图2中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，则图3中共有7个菱形，…如此剪下去，请结合图形解决问题
（1）（2分）按图示规律填写下表：
（2）（2分）按照这种方式剪下去，则第n个图中共有 个菱形．
（3）（4分）按照这种方式剪下去，则第2017个图中共有 个菱形．
【答案】（1）10；13
（2）（3n﹣2）
（3）6049
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）按图示规律填写下表：
（2.）第1个图形有菱形1个，
第2个图形有菱形4=1+3个，
第3个图形有菱形7=1+3×2个，
第4个图形有菱形10=1+3×3个，
…，
第n个图形有菱形1+3（n﹣1）=（3n﹣2）个，
故答案为：（3n﹣2）．（3）第2017个图中共有菱形的个数为3×2017﹣2=6049，
故答案为：6049．
【分析】（1）观察图形可知，每剪开一次多出3个菱形，然后写出前4个图形中菱形的个数，进而得出答案；（2）根据（1）中规律写出第n个图形中的菱形的个数的表达式；（3）将n=2017，代入求得问题即可．
21．（8分）阅读下列材料：
①11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯
②11×3=12×(1−13)，13×5=12×(13−15)，15×7=12×(15−17)⋯
③11×4=13×(1−14)，14×7=13×(14−17)，17×10=13×(17−110)⋯
（1）（2分）写出①组中的第6个等式： ，第n个等式： ；
（2）（2分）写出②组的第n个等式： ；
（3）（4分）利用由①②③组中你发现的等式规律计算：
21×5+25×9+29×13+⋯+2405×401．
【答案】（1）16×7=16−17；1n(n+1)=1n−1n+1
（2）1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)
（3）解：原式=2×(11×5+15×9+19×13+⋯+1401×405)
=2×[14×(1−15)+14×(15−19)+14×(19−113)⋯14×(1401−1405)]
=2×14×(1−15+15−19+19−113+⋯+1401−1405)
=12×(1−1405)
=202405
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①组中的第6个等式为：16×7=16−17，第n个等式为：1nn+1=1n−1n+1，
故答案为：16×7=16−17；1nn+1=1n−1n+1；
（2）②组的第n个等式为：12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
故答案为：12n−12n+1=1212n−1−12n+1；
【分析】（1）观察各式，得出规律，根据规律即可得出答案；
（2）观察各式，得出规律，根据规律即可得出答案；
（3）先逆用乘法分配律提出公因式2把原式变形，再利用③的规律变形，再逆用乘法分配律提出公因式14把原式变形，从而计算括号内的部分，最后计算乘法即可得出答案.
22．（10分）阅读下面材料：
在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时，我们发现，从第一个数开始，后面的每个数与它的前面一个数的差都是一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外我们还可以用下面的分式来计算，设它的和为S，则S=n⋅(a1+an)2（其中n表示数的个数，a1表示第一个数，an表示最后一个数），那么2+5+8+11+14+17+20+23+26+29=10×(2+29)2=155.
用上面的知识解答下面的问题
某集团公司决定将下属的一个分公司对外招商，有符合条件的两家企业A、B分别拟定上缴利润方案如下：
A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元.
B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元.
（1）（4分）如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包，总公司获利多？
（2）（6分）如果承包n年，请用含n的式子分别表示两家企业上缴的总金额（单位：万元）.
【答案】（1）解：企业A4年上缴的利润为1+2+3+4=10（万元），
企业B4年上缴的利润为0.3+0.6+0.9+⋯⋯+2.4=10.8（万元），
∴企业B比企业A上缴的利润多0.8万元，故应承包给企业B，总公司获利多.
（2）解：企业A承包n年上缴的利润为1+2+3+⋯⋯+n=n(n+1)2（万元），企业B承包n年上缴的利润为0.3+0.6+0.9+⋯⋯+0.3×2n=2n×(0.3+0.3×2n)2=0.3n(1+2n)=(0.6n2+0.3n)（万元）.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由题意列式表达两个企业的上缴利润，承包4年：甲上缴利润1+2+3+4=10万元；
乙上缴利润0.3+0.6+0.9+1.2+1.5+1.8+2.1+2.4=10.8万元，比较即可得出结论；
（2）列式表达两个企业的上缴利润，运用上面公式整理．
根据题意，分别列式表示出两个企业n年上缴的利润，然后根据材料中提供的计算方法，求解即可．
23．（12分）探究题．
用棋子摆成的“T”字形图如图所示：
（1）（3分）填写表：
（2）（2分）写出第n个“T”字形图案中棋子的个数（用含n的代数式表示）；
（3）（3分）第20个“T”字形图案共有棋子多少个？
（4）（4分）计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数．（提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？）
【答案】（1）11；14；32
（2）解：第n个“T”字形图案中棋子的个数为：5+3（n﹣1）=3n+2个棋子
（3）解：第19个“T”字需要59个棋子，第20个T子需要62个棋子
（4）解：故第1个图案与第20个图案共有5+62=67个棋子；
第2个图案与第19个图案共有8+59=67个棋子；
第3个图案第18个图案共有11+56=67个棋子，
故前20个“T“字形图形案中棋子的总个数为67×10=670个棋子
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
摆成第1个“T”字需要5个棋子；
摆成第2个“T”字需要8个棋子，8﹣5=3；
摆成第3个“T”字需要11个棋子，11﹣8=3；
摆成第4个“T”字需要14个棋子，14﹣11=3；
…
摆成第10个“T”字需要32个棋子；
…
由此可得出规律：摆成第n个“T”字需要5+3（n﹣1）=3n+2个棋子．
填写表：
【分析】根据图形中每个图案中棋子的个数，8﹣5=3、11﹣8=3、14﹣11=3可得出规律：每一个图形中棋子的个数比上一个图形中棋子的个数多3，所以第n个图案中，棋子的个数为5+3（n﹣1）．
24．（10分）观察下列数表
根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为多少．
（1）（4分）第n行与第n列的交叉点上的数应为多少．（用含正整数n的式子表示）
（2）（6分）计算左上角2×2的正方形里所有数字之和，即： 1−2 −23 在数表中任取几个2×2的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论．
【答案】（1）解：第1行与第1列的交叉点上的数是1，
第2行与第2列的交叉点上的数是3=2×2﹣1，
第3行与第3列的交叉点上的数是5=2×3﹣1，
第4行与第4列的交叉点上的数是7=2×4﹣1，
所以，第6行与第6列的交叉点上的数是2×6﹣1=11；
第n行与第n列的交叉点上的数应为（2n﹣1）
（2）解：1+（﹣2）+（﹣2）+3=4+（﹣4）=0，
设2×2的正方形左上角的数是n（n＞0），则左下角的数是﹣（n+1），右上角的数是﹣（n+1），右下角的数是（n+2），
所以，四个数的和是n﹣（n+1）﹣（n+1）+（n+2）=2n+2﹣2n﹣2=0，
设2×2的正方形左上角的数是n（n＜0），则左下角的数是﹣n+1，右上角的数是﹣n+1，右下角的数是n﹣2，
所以，四个数的和是n+（﹣n+1）+（﹣n+1）+（n﹣2）=0，
结论：任取2×2的正方形上的四个数字的和都是0．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）总结第n行与第n列的交叉点上的数的特点，并用代数式表示。
（2）用代数式表示数表中任意一个2×2的正方形中的4个数字，并计算他们的和，即可得出的结论．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
2、试卷题量分布分析
3、试卷难度结构分析
4、试卷知识点分析
图
1
2
3
4
5
…
菱形个数
1
4
7
…
图
1
2
3
4
5
…
菱形个数
1
4
7
10
13
…
图形序号
①
②
③
④
…
⑩
每个图案中棋子个数
5
8
…
图形序号
①
②
③
④
…
⑩
每个图案中棋子个数
5
8
11
14
…
32
总分：120分
分值分布
客观题（占比）
42.0(35.0%)
主观题（占比）
78.0(65.0%)
题量分布
客观题（占比）
14(58.3%)
主观题（占比）
10(41.7%)
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题
10(41.7%)
30.0(25.0%)
填空题
6(25.0%)
18.0(15.0%)
计算题
8(33.3%)
72.0(60.0%)
序号
难易度
占比
1
普通
(50.0%)
2
困难
(50.0%)
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
一元一次方程的实际应用-行程问题
8.0(6.7%)
19
2
整式的加减运算
10.0(8.3%)
18
3
有理数的乘方法则
3.0(2.5%)
3
4
有理数混合运算的实际应用
8.0(6.7%)
19
5
探索图形规律
38.0(31.7%)
1,2,4,11,13,15,20,23
6
探索数与式的规律
82.0(68.3%)
3,5,6,7,8,9,10,12,14,16,17,18,19,21,22,24
7
进位制及应用（奥数类）
3.0(2.5%)
3
8
代数式求值
3.0(2.5%)
2
9
绝对值及有理数的绝对值
3.0(2.5%)
12
10
数轴及有理数在数轴上的表示
11.0(9.2%)
14,19
11
有理数的加减乘除混合运算的法则
24.0(20.0%)
17,21,22
1．（3分）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．10110B．10115C．8092D．8093
【答案】D
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意可知，第一个正方形涂有阴影的小正方形有5个，第二个则有9，第三个则有13个，一次类推第四个，应该是左右两边的正方形各有4个阴影正方形，中间两个正方形共用小阴影正方形有3个，中间两个正方形非共用的正方形各有3个，总数为4+3+3+3+4=17个，其规律为4+（n−2）×3+（n−1）+4=4n+1，当n为2023时，带入上式，4×2023+1=8093；
故答案为D：.
【分析】根据图形来探索规律分析.
2．（3分）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，第5个图，…；若用an表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则1a1+1a2+1a3+…+1a2023＝（ ）
A．40442023B．40422023C．20211011D．20231012
【答案】D
【知识点】代数式求值；探索图形规律
【解析】【解答】解： 根据题目所给的图形，可得 a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，a4=1+2+3+4=10，……，an =1+2+3+……+n=n(n+1)2，那么1a1=11×(1+1)2=21×2，1a2=12×(2+1)2=22×3，1a3=13×(3+1)2=23×4，……，1a2023=12023×(2023+1)2=22023×2024；
1a1+1a2+1a3+……+1a2023=21×2+22×3+23×4+……+22023×2024=2（11×2+12×3+13×4+……+12023×2024）
=2（1−12+12−13+13−14+……+12023−12024）=2（1−12024）=2×20232024=20231012
故答案为：D.
【分析】解决本题的关键是：高斯求和公式an =1+2+3+……+n=n(n+1)2，裂项11×2+12×3+13×4+……+12023×2024=1−12+12−13+13−14+……+12023−12024.
3．（3分）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个2n的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为19=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，32可以写为二进制数字100000，因为32＝32＝1×25+0×24+0×23+0×22+0×21+0×20，则十进制数字70是二进制下的（ ）
A．4位数B．5位数C．6位数D．7位数
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；进位制及应用（奥数类）
【解析】【解答】解： 70＝1×26+0×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20=1000110，转化为2进制之后为7位数
故答案为：D.
【分析】将一个十进制的数表示成二进制的数，关键是将一个十进制的数表示成几个2的幂之和，然后按次数从高到低依次排列，从而转化为二进制的数.
4．（3分）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，依次类推，则12+14+18+⋅⋅⋅+126的值是（ ）
A．1516B．3132C．6364D．127128
【答案】D
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 根据题意可知，边长为1的正方形纸片的面积为1.
部分①是整体面积的一半，即12；
部分②是部分①面积的一半，即14=122；
依此规律可知，12+14+18+...+126为部分①到⑥的面积之和
由正方形纸片分割成7个部分，可知12+14+18+...+126=1−127=127128.
故答案为：D.
【分析】根据图形规律，得到部分⑦的面积为127，整个正方形的面积减去部分⑦的面积即可求得结果.
5．（3分）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（ ）
A．2n−1根B．2n根C．2n+1根D．(12)n+1根
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，
∴第一次捏合2根细面条，第二次捏合22根细面条；第三次捏合23根细面条
…
∴第n次捏合2n根细面条.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知第一次捏合2根细面条，第二次捏合22根细面条；第三次捏合23根细面条…根据此规律可得到第n次捏合细面条的数量.
6．（3分）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1、P2、P3⋅⋅⋅Pn在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达P12的位置．
A．595B．666C．630D．703
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：点P从0跳动1+2+3=6个单位长度，到达P1；
跳动1+2+3+4+5+6=21个单位长度，到达P2，
∴跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为n×3，
∴P12应该跳动的次数为12×3=36，
∴点P从0跳动1+2+3+4+⋯+35+36=666，
故答案为：B．
【分析】根据题干中的计算方法可得点P从0跳动1+2+3+4+⋯+35+36=666。
7．（3分）如图所示运算程序中，若开始输入的x值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2021次输出的结果是（ ）
A．1B．6C．3D．4
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3，
∵2021为奇数，
∴第2021次输出的结果为6，
故答案为：B．
【分析】先求出规律，再求解即可。
8．（3分）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2023，则m的值是（ ）
A．46B．45C．44D．43
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
∴从23到m3的奇数的个数为： 2+3+4+⋯+m=(m+2)(m−1)2，
∵2n+1=2023，
∴n=1011，
∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数，
∵(44+2)(44−1)2=989，(45+2)(45−1)2=1034，
∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=45．
故答案为：B．
【分析】先求出规律，再求解即可。
9．（3分）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当正六边形在转动第一周的过程中，A、F、E、D、C、B分别对应的点为0、1、2、3、4、5，
∴6次一循环，
∵2021÷6=336……5，
∴数轴上2021这个数所对应的点是B点．
故答案为：B．
【分析】根据图象可得：每6次一循环，再利用2021÷6=336……5，可得数轴上2021这个数所对应的点是B点。
10．（3分）一组数据排列如下：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…
按此规律，某行最后一个数是148，则此行的所有数之和是（ ）
A．9801B．9603C．9025D．8100
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
∴3n﹣2＝148，
解得：n＝50，
因此第50行最后一个数是148，
∴此行的数之和为50+51+52+…+147+148＝ (50+148)(148−50+1)2
=9801，
故答案为：A．
【分析】每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，从而得出第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，据此建立方程求出最后一个数是148在第50行，再求出其行各数之和即可.
二、填空题(共6题；共18分)
11．（3分）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列顺序，2023应在点 处．
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：通过观察。从1开始到4，从5到8，位置上每四个数一次循环，2023÷4=505……3，故2023应处在3这个数字的位置，对应的字母为B；
故答案为：B.
【分析】根据数字位置的变化规律，分析出每四个一次循环，再将2023除以4，可以得出2023所处的位置，再观察其对应位置的字母.
12．（3分）已知x1，x2，x3，⋯，x20都是非零有理数，若y1=|x1|x1，则y1等于1或−1；若y2=|x1|x1+|x2|x2，则y2等于2或−2或0；若y20=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+⋯+|x20|x20，则y20所有可能等于的值的绝对值之和等于 ．
【答案】220
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵y2=x1x1+x2x2，则y2=±2或0，
y4=x1x1+x2x2+x3x3+x4x4，则y4=±4或±2或0，
y6=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x6x6，则y6=±6或±4或±2或0，
∴y20=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x20x20，则y20=±20或±18或±16…或±4或±2或0，
∴y20所有可能等于的值的绝对值之和等于2×(2+4++6+…+20）=220.
故答案为：220.
【分析】根据绝对值的意义，从20个数的符号进行讨论，都相同时，有一个不相同时，有两个不相同时，……有十个不相同时，得出y20的所有有可能的取值，然后再计算绝对值之和，即可得出答案.
13．（3分）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是 ．
【答案】16
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个庚烷分子结构式中“H”的个数是4，
第2个庚烷分子结构式中“H”的个数是6=4+2×1，
第3个庚烷分子结构式中“H”的个数是8=4+2×2，
…
第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是4+2×6=16，
故答案为：16.
【分析】先求出前3个庚烷分子结构式中“H”的个数，找出规律，第n个庚烷分子结构式中“H”的个数为2(n-1)+4=2n+2，根据规律即可得出答案.
14．（3分）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第1次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6；按照这种规律移动下去，至少移动次 后该点到原点的距离不小于41．
【答案】27
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意知，第1次点A向左移动3个单位长度至点 A1 ，则 A1 表示的数为1-3=-2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点 A2 ，则 A2 表示的数为-3+6=4；
第3次从点 A2 向左移动9个单位长度至点 A3 ，则 A3 表示的数为4-9=-5=-2-3×1；
第4次从点 A3 向右移动12个单位长度至点A4 ，则A4 表示的数为-5+12=7=4+3×1；
第5次从点 A4 向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8=-2-3×2；
第6次从点A6向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为-8+18=10=4+3×2；
⋯；
根据规律可知，第2n+1次移动时，An表示的数为-2-3n；第2n次移动时，An表示的数为4+3（n-1）.
令-2-3n=-41. 解得n=13. 所以2n+1=27. 所以至少移动27次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：27.
【分析】根据序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3即可求解．
15．（3分）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第(1)个图案中有2个正方形，第(2)个图案中有5个正方形，第(3) 个图案中有8个正方形……则第n个图案中有 个正方形．
【答案】3n- 1
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第1个图形中正方形的个数2=3×1-1，
第2个图形中正方形的个数5=3×2-1，
第3个图形中正方形的个数8=3×3-1，
∴第n个图形中正方形的个数（3n-1），
故答案为：3n-1.
【分析】 观察图形，得出前几个图形的正方形个数的变化规律，得出正方形的个数为序数的3倍与1的差，即可得出答案.
16．（3分）一组数据按如下规律排列：a1=1×2×3，a2=2×3×4，a3=3×4×5，……．如果3ma8=1a8−1a7，那么m= ．
【答案】−17
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a1=1×2×3，a2=2×3×4，a3=3×4×5，……
∴a7=7×8×9，a8=8×9×10，
∴3m8×9×10=18×9×10−17×8×9，
解得：m=−17；
故答案为−17．
【分析】根据3ma8=1a8−1a7，可得3m8×9×10=18×9×10−17×8×9，再求出m=−17即可。
三、计算题(共8题；共72分)
17．（6分）阅读下列内容，然后解答问题：
因为： 11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14…19×10=19−110
所以： 11×2+12×3+13×4+…+19×10
=(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(19−110)
=1−12+12−13+13−14+…+19−110
=1−110=910
问题：计算：
（1）（2分）11×2+12×3+13×4+…+12015×2016+12016×2017
（2）（2分）11×3+13×5+15×7
（3）（2分）11×3+13×5+15×7+…+12015×2017
【答案】（1）解：原式 =(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(12015−12016)+(12016−12017)
=12−13+13−14+…+12015−12016+12016−12017
=1 −12017
= 20162017
（2）解：原式= 12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)
=12(1−13+13−15+15−17)
=12(1−17)
= 37
（3）解：原式 =12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯+12(12015−12017)
=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12015−12017)
=12(1−12017)
= 10082017
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据阅读材料，利用拆项法将其变形，然后计算即可；
（2）根据阅读材料，利用拆项法将其变形，然后计算即可.
18．（10分）将正整数1，2，3，4，5，6，7，…，排成如图所示的数表．
（1）（4分）根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列；
（2）（2分）数表中第n行第1列的数是 ，并求出第n行所有数的和（用含n的式子表示）；
（3）（4分）如图，“T”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为S1，S2．
①猜想S1，S2之间的关系 ▲ ；
②任意平移“T”字型的位置，S1与S2之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明．
【答案】（1）15；2
（2）7n−6
（3）解：①S1+6=S2；
②成立，理由如下：
设竖列第1个数为x，则竖列其余两个数分别为：x+7，x+14，
横行的三个数分别为：x+4，x+5，x+6，
∴S1=x+4+x+5+x+6=3x+15，S2=x+x+7+x+14=3x+21，
又.3x+15+6=3x+21，
∴S1+6=S2．
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：每一行有7个数，即每一行最后一个数为7n，
∵100÷7=14⋯2，
∴数100位于第15行，第2列，
故答案为：15，2.
（2）由（1）知第n-1行的最后一个数为7n−1，则第n行第一个数为7n−6，
∴第n行的所有数的和为：7n−6+7n−5+7n−4+7n−3+7n−2+7n−1+7n=49n−21，
故答案为：7n−6，49n−21.
（3）①∵S1=10+11+12=33，S2=6+13+20=39，
∴S1+6=S2，
故答案为：S1+6=S2.
【分析】（1）根据数表可知每一行有7个数，即每一行最后一个数为7n，进而利用100÷7=14⋯2，进而即可求解；
（2）由（1）知第n-1行的最后一个数为7n−1，则第n行第一个数为7n−6，进而可求出第n行的每一个数，即可求出第n行所有数的和；
（3）①根据题目已给的数据进行猜想即可；
②设竖列第1个数为x，则竖列其余两个数分别为：x+7，x+14，横行的三个数分别为：x+4，x+5，x+6，在分别计算出S1，S2即可求解.
19．（8分）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）（1分）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 ；
（2）（3分）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下(单位：秒) ：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第 次滚动后，大圆离原点最远？
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程为 ？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是 ？(结果保留π)
（3）（4分）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【答案】（1）-4π
（2）6；40π；20π
（3）设时间为t秒，
分四种情况讨论：
①当两圆同向右滚动，由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数： 2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，2πt-πt=9π，2t-t=9，t=9，2πt=18π，πt=9π ，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π．
②当两圆同向左滚动，由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：-2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：-πt，-πt+2πt=9π，-t+2t=9，t=9，-2πt=-18π，-πt=-9π ，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-18π、-9π ．
③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，同理得：2πt-(-πt)=9π，3t=9，t=3，2πt=6π，-π1=-3π ，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、-3π ．
④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，同理得： πt-(-2πt)=9π ，t=3，πt=3π，-2πt=-6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-6π、3π．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)C大=2πR=4π，
∴大圆沿数轴向左滚动1周后与数轴重合的点所表示的数是−4π.
故答案为：−4π.
(2)①第一次：−1×2π=−2π；
第二次：−1+2×2π=2π；
第三次：−1+2−4×2π=−6π；
第四次：−1+2−4−2×2π=−10π；
第五次：−1+2−4−2+3×2π=−4π；
第六次：−1+2−4−2+3−8×2π=−20π，
∴ 第6次滚动后，大圆离原点最远.
故答案为：6.
②−1+2+−4+−2+3+−8×2π=20×2π=40π；
由①得两圆与数轴重合的点之间的距离是20π.
故答案为：40π；20π.
【分析】(1)半径为2的大圆滚动一周的距离为4π，因此大圆沿数轴向左滚动1周后与数轴重合的点所表示的数是−4π.
(2)①分别计算每次滚动后大圆与数轴重合的点表示的数，即可得到第6次滚动后，大圆离原点最远.
②计算大圆滚动的总时长，再通过路程公式求得大圆运动的路程；由①得两圆与数轴重合的点之间的距离是20π.
(3)对大圆与小圆的滚动方向进行分类讨论：①当两圆同向右滚动，大圆与数轴重合的点所表示的数： 2πt，小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，由两圆与数轴重合的点之间相距9π可得此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π；②当两圆同向左滚动，大圆与数轴重合的点所表示的数：-2πt，小圆与数轴重合的点所表示的数：-πt，故此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-18π、-9π ；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、-3π ；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，两圆与数轴重合的点所表示的数分别为-6π、3π．
20．（8分）将图1中的菱形剪开得到图2，则图2中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，则图3中共有7个菱形，…如此剪下去，请结合图形解决问题
（1）（2分）按图示规律填写下表：
（2）（2分）按照这种方式剪下去，则第n个图中共有 个菱形．
（3）（4分）按照这种方式剪下去，则第2017个图中共有 个菱形．
【答案】（1）10；13
（2）（3n﹣2）
（3）6049
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）按图示规律填写下表：
（2.）第1个图形有菱形1个，
第2个图形有菱形4=1+3个，
第3个图形有菱形7=1+3×2个，
第4个图形有菱形10=1+3×3个，
…，
第n个图形有菱形1+3（n﹣1）=（3n﹣2）个，
故答案为：（3n﹣2）．（3）第2017个图中共有菱形的个数为3×2017﹣2=6049，
故答案为：6049．
【分析】（1）观察图形可知，每剪开一次多出3个菱形，然后写出前4个图形中菱形的个数，进而得出答案；（2）根据（1）中规律写出第n个图形中的菱形的个数的表达式；（3）将n=2017，代入求得问题即可．
21．（8分）阅读下列材料：
①11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯
②11×3=12×(1−13)，13×5=12×(13−15)，15×7=12×(15−17)⋯
③11×4=13×(1−14)，14×7=13×(14−17)，17×10=13×(17−110)⋯
（1）（2分）写出①组中的第6个等式： ，第n个等式： ；
（2）（2分）写出②组的第n个等式： ；
（3）（4分）利用由①②③组中你发现的等式规律计算：
21×5+25×9+29×13+⋯+2405×401．
【答案】（1）16×7=16−17；1n(n+1)=1n−1n+1
（2）1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)
（3）解：原式=2×(11×5+15×9+19×13+⋯+1401×405)
=2×[14×(1−15)+14×(15−19)+14×(19−113)⋯14×(1401−1405)]
=2×14×(1−15+15−19+19−113+⋯+1401−1405)
=12×(1−1405)
=202405
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①组中的第6个等式为：16×7=16−17，第n个等式为：1nn+1=1n−1n+1，
故答案为：16×7=16−17；1nn+1=1n−1n+1；
（2）②组的第n个等式为：12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
故答案为：12n−12n+1=1212n−1−12n+1；
【分析】（1）观察各式，得出规律，根据规律即可得出答案；
（2）观察各式，得出规律，根据规律即可得出答案；
（3）先逆用乘法分配律提出公因式2把原式变形，再利用③的规律变形，再逆用乘法分配律提出公因式14把原式变形，从而计算括号内的部分，最后计算乘法即可得出答案.
22．（10分）阅读下面材料：
在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时，我们发现，从第一个数开始，后面的每个数与它的前面一个数的差都是一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外我们还可以用下面的分式来计算，设它的和为S，则S=n⋅(a1+an)2（其中n表示数的个数，a1表示第一个数，an表示最后一个数），那么2+5+8+11+14+17+20+23+26+29=10×(2+29)2=155.
用上面的知识解答下面的问题
某集团公司决定将下属的一个分公司对外招商，有符合条件的两家企业A、B分别拟定上缴利润方案如下：
A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元.
B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元.
（1）（4分）如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包，总公司获利多？
（2）（6分）如果承包n年，请用含n的式子分别表示两家企业上缴的总金额（单位：万元）.
【答案】（1）解：企业A4年上缴的利润为1+2+3+4=10（万元），
企业B4年上缴的利润为0.3+0.6+0.9+⋯⋯+2.4=10.8（万元），
∴企业B比企业A上缴的利润多0.8万元，故应承包给企业B，总公司获利多.
（2）解：企业A承包n年上缴的利润为1+2+3+⋯⋯+n=n(n+1)2（万元），企业B承包n年上缴的利润为0.3+0.6+0.9+⋯⋯+0.3×2n=2n×(0.3+0.3×2n)2=0.3n(1+2n)=(0.6n2+0.3n)（万元）.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由题意列式表达两个企业的上缴利润，承包4年：甲上缴利润1+2+3+4=10万元；
乙上缴利润0.3+0.6+0.9+1.2+1.5+1.8+2.1+2.4=10.8万元，比较即可得出结论；
（2）列式表达两个企业的上缴利润，运用上面公式整理．
根据题意，分别列式表示出两个企业n年上缴的利润，然后根据材料中提供的计算方法，求解即可．
23．（12分）探究题．
用棋子摆成的“T”字形图如图所示：
（1）（3分）填写表：
（2）（2分）写出第n个“T”字形图案中棋子的个数（用含n的代数式表示）；
（3）（3分）第20个“T”字形图案共有棋子多少个？
（4）（4分）计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数．（提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？）
【答案】（1）11；14；32
（2）解：第n个“T”字形图案中棋子的个数为：5+3（n﹣1）=3n+2个棋子
（3）解：第19个“T”字需要59个棋子，第20个T子需要62个棋子
（4）解：故第1个图案与第20个图案共有5+62=67个棋子；
第2个图案与第19个图案共有8+59=67个棋子；
第3个图案第18个图案共有11+56=67个棋子，
故前20个“T“字形图形案中棋子的总个数为67×10=670个棋子
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
摆成第1个“T”字需要5个棋子；
摆成第2个“T”字需要8个棋子，8﹣5=3；
摆成第3个“T”字需要11个棋子，11﹣8=3；
摆成第4个“T”字需要14个棋子，14﹣11=3；
…
摆成第10个“T”字需要32个棋子；
…
由此可得出规律：摆成第n个“T”字需要5+3（n﹣1）=3n+2个棋子．
填写表：
【分析】根据图形中每个图案中棋子的个数，8﹣5=3、11﹣8=3、14﹣11=3可得出规律：每一个图形中棋子的个数比上一个图形中棋子的个数多3，所以第n个图案中，棋子的个数为5+3（n﹣1）．
24．（10分）观察下列数表
根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为多少．
（1）（4分）第n行与第n列的交叉点上的数应为多少．（用含正整数n的式子表示）
（2）（6分）计算左上角2×2的正方形里所有数字之和，即： 1−2 −23 在数表中任取几个2×2的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论．
【答案】（1）解：第1行与第1列的交叉点上的数是1，
第2行与第2列的交叉点上的数是3=2×2﹣1，
第3行与第3列的交叉点上的数是5=2×3﹣1，
第4行与第4列的交叉点上的数是7=2×4﹣1，
所以，第6行与第6列的交叉点上的数是2×6﹣1=11；
第n行与第n列的交叉点上的数应为（2n﹣1）
（2）解：1+（﹣2）+（﹣2）+3=4+（﹣4）=0，
设2×2的正方形左上角的数是n（n＞0），则左下角的数是﹣（n+1），右上角的数是﹣（n+1），右下角的数是（n+2），
所以，四个数的和是n﹣（n+1）﹣（n+1）+（n+2）=2n+2﹣2n﹣2=0，
设2×2的正方形左上角的数是n（n＜0），则左下角的数是﹣n+1，右上角的数是﹣n+1，右下角的数是n﹣2，
所以，四个数的和是n+（﹣n+1）+（﹣n+1）+（n﹣2）=0，
结论：任取2×2的正方形上的四个数字的和都是0．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）总结第n行与第n列的交叉点上的数的特点，并用代数式表示。
（2）用代数式表示数表中任意一个2×2的正方形中的4个数字，并计算他们的和，即可得出的结论．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
2、试卷题量分布分析
3、试卷难度结构分析
4、试卷知识点分析
图
1
2
3
4
5
…
菱形个数
1
4
7
…
图
1
2
3
4
5
…
菱形个数
1
4
7
10
13
…
图形序号
①
②
③
④
…
⑩
每个图案中棋子个数
5
8
…
图形序号
①
②
③
④
…
⑩
每个图案中棋子个数
5
8
11
14
…
32
总分：120分
分值分布
客观题（占比）
42.0(35.0%)
主观题（占比）
78.0(65.0%)
题量分布
客观题（占比）
14(58.3%)
主观题（占比）
10(41.7%)
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题
10(41.7%)
30.0(25.0%)
填空题
6(25.0%)
18.0(15.0%)
计算题
8(33.3%)
72.0(60.0%)
序号
难易度
占比
1
普通
(50.0%)
2
困难
(50.0%)
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
一元一次方程的实际应用-行程问题
8.0(6.7%)
19
2
整式的加减运算
10.0(8.3%)
18
3
有理数的乘方法则
3.0(2.5%)
3
4
有理数混合运算的实际应用
8.0(6.7%)
19
5
探索图形规律
38.0(31.7%)
1,2,4,11,13,15,20,23
6
探索数与式的规律
82.0(68.3%)
3,5,6,7,8,9,10,12,14,16,17,18,19,21,22,24
7
进位制及应用（奥数类）
3.0(2.5%)
3
8
代数式求值
3.0(2.5%)
2
9
绝对值及有理数的绝对值
3.0(2.5%)
12
10
数轴及有理数在数轴上的表示
11.0(9.2%)
14,19
11
有理数的加减乘除混合运算的法则
24.0(20.0%)
17,21,22
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