还剩12页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2023-2024学年上海市上海师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题含答案
展开
这是一份2023-2024学年上海市上海师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．双曲线焦点坐标为 .
【答案】
【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出焦点坐标即得.
【详解】双曲线化为，因此双曲线半焦距，
所以双曲线焦点坐标为.
故答案为：
2．若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，化简可得双曲线的标准方程.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则设所求双曲线的方程为，
点的坐标代入双曲线的方程，则有，即双曲线的方程为，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
3．椭圆的长轴长为 ．
【答案】
【分析】将原方程改写为椭圆的标准方程，利用椭圆的性质即可.
【详解】依题意是椭圆方程，即 ，
∴ ，
， ，
，长轴的长为 = ；
故答案为：.
4．与椭圆有相同的焦点且以为渐近线的双曲线方程 ．
【答案】
【详解】试题分析：∵椭圆的焦点为（5，0）（-5，0），
故双曲线中的c=5，且满足，=25，∴=9，=16，所求双曲线方程为．
【解析】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质．
点评：基础题，理解椭圆、双曲线的几何性质，注意布列a,b,c的方程．
5．双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ .
【答案】/-0.5
【分析】由点到直线距离公式及得到，结合，求出.
【详解】由于双曲线在左支位于渐近线之间，故，
因为，故，
又，故.
故答案为：
6．如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】利用点在双曲线上及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.
【详解】设，，则，解得，
∴.
在中，，则①.
由双曲线的定义，得②.
由①②得.
∵，
∴，即.
∴.
∴双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
7．已知圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线的几何性质可知圆C的圆心的横坐标为4，进而求出圆心坐标，利用两点坐标求距离公式计算即可.
【详解】由双曲线的方程知，顶点坐标为，焦点坐标为，
又圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，
所以圆C的圆心的横坐标为4．将代入，
解得，故圆心坐标为，
所以圆心到中心（0，0）的距离为.
故答案为：
8．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是
【答案】
【分析】求出焦点坐标，设出（），利用向量的数量积的坐标表示和椭圆方程表达出，结合的取值范围，得到的取值范围.
【详解】由，，解得：，所以，不妨令，，因为P是椭圆E上任一设点，设（），则，即，其中，因为，所以，，所以的取值范围是.
故答案为：
9．已知双曲线与双曲线号（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】易知两个双曲线的焦距相等，分别求出四边形的面积，再利用基本不等式求的最大值；
【详解】易知两个双曲线的焦距相等．
由题设得，
当且仅当时，不等式取“=”，故的最大值为．
故答案为：
10．已知实数满足，，，则的最大值是 .
【答案】12
【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值.
【详解】因为，，
可设，且，
可得在圆上，且，
又因为，
且为到直线的距离，
所以所求最大值可看作是到直线的距离的和的最大值,可知在直线的下方，
取的中点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
则为梯形的中位线，，
又因为，则，
且到直线的距离为，可得，
所以，
故的最大值为.
故答案为：12.
.
11．点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过题意，可判断点的轨迹为双曲线，求出双曲线的方程，再通过比值关系求出范围.
【详解】设点，由题意，即①，
三点不共线，，
因为，
，所以点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上，
②，
①代入②，解得：，
，，，
解得：，即的取值范围是.
故答案为：.
12．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④
【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.
【详解】设点P的坐标为：P（x，y），
依题意，有：，
整理，得：，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、单选题
13．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据双曲线方程的特点，利用直接法进行判断即可得解.
【详解】若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选:.
14．公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ）
A．到两点距离相等的点的轨迹是直线
B．到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆
C．到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆
D．到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线
【答案】D
【分析】判断到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断.
【详解】对于A，到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，正确；
对于B，以为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则，设动点，由题意知,
即 ，化简为，
即此时点的轨迹为圆，B正确；
对于C，不妨设动点P到两点距离之和等于5 ，即，由于，
故到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以为焦点的椭圆，C正确；
对于D，设动点P到两点距离之差等于3 ，即,由于，
故到两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B侧的一支，D错误，
故选：D
15．若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积．
【详解】由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得：
，解得：，
则，故A项正确.
故选：A.
16．如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】B
【分析】利用中位线和双曲线的定义转化，，再利用直线与圆相切，得到，从而得到答案.
【详解】因为点分别是和的中点，所以，
，
连结，因为是圆的切线，则，
在中，，
.
故选：B
【点睛】本题考查直线与圆，双曲线的位置关系，几何性质，综合性较强，本题的关键是数形结合分析问题，转化与化归的能力，属于中档题型.
三、解答题
17．（1）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程及两条渐近线的夹角；
（2）若双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，实轴长为8，求双曲线方程.
【答案】（1）顶点，焦点，渐近线：，夹角（或）；（2）答案见解析
【分析】（1）将双曲线化为标准方程可求出双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程，设设渐近线与轴的夹角为，有二倍角的正切公式可求出两条渐近线的夹角；
（2）由双曲线的一条渐近线方程讨论或，设出双曲线的方程，再由实轴长为8，解出，即可得出答案.
【详解】（1）由可得：，则，
顶点，焦点，渐近线：，
则设渐近线与轴的夹角为，
则，则两条渐近线的夹角为，
，
所以条渐近线的夹角为（或）.
（2）因为双曲线的一条渐近线方程为，
当时，，
因为实轴长为8，，解得：，
即双曲线方程： ，
当时，，
因为实轴长为8，，解得：，
即双曲线方程： .
故双曲线方程为或.
18．试讨论方程所表示的曲线.
【答案】答案见解析
【分析】考虑的系数为0，的系数为0，两者系数均不为0时，结合椭圆，圆，双曲线的方程特征得到不等式，求出不同的范围下，方程所表示的曲线.
【详解】当时，变形为，解得，
此时方程所表示的是两条平行直线；
当时，变形为，解得，
此时方程所表示的是两条平行直线；
当时，变形为，此时方程无解，
此时不表示任何曲线
当且时，变形为，
若，解得或，
故当时，方程所表示的曲线是椭圆；
当，即时，方程所表示的曲线是圆；
当，解得或，
故当时，方程所表示的曲线是双曲线；
若，解得，即时，不表示任何曲线，
综上：或，方程所表示的是两条平行直线；
当时，方程所表示的曲线是椭圆；
即时，方程所表示的曲线是圆；
当时，方程所表示的曲线是双曲线；
时，不表示任何曲线.
19．已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可分析得点，，在双曲线上，把三点坐标代入双曲线方程，联立即可求解；
（2）设出直线的方程为，并与双曲线方程联立，再设出，的坐标，求出直线的方程，利用韦达定理化简即可证明．
【详解】（1）由题意可知点，两点关于原点对称，所以，一定在双曲线上，
而，因为，但，所以点不在双曲线上，
所以点，，在双曲线上，则，解得，，
所以双曲线方程为；
（2）证明：设直线的方程为，代入双曲线方程可得：，
设，，，，则，则，，
所以直线的方程为：，即，
令，则，
由，，得，
所以，
综上，直线过定点．
20．已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两圆都外切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点，求的取值范围．
【答案】解：(1)(2)
【分析】（1）圆与圆和圆都相外切，得到，满足双曲线的定义，得到轨迹方程；
（2）直线与双曲线联立，得到，从而表示出，得到其范围，注意讨论斜率存在和不存在的情况.
【详解】（1）设动圆的半径为
因为圆与圆和圆都相外切，
所以，
所以，
满足双曲线的定义，所以的轨迹为双曲线的右支，
所以，
，
所以点的轨迹方程为
（2）设过的直线为
因为直线与双曲线右支有两个交点
由得
设
由，
解得
当直线斜率不存在时，，
所以
所以
综上，.
21．双曲线：上一点到左，右两焦点距离的差为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设，是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，
求的面积；
（3）过作直线交双曲线于，两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析．
【分析】（1）先由点到两焦点距离求出，再把点代入曲线方程求出，从而写出曲线方程；
（2）不妨设点在第一象限．由题意得，解得，
再用余弦定理求出，转化为，求出三角形面积；
（3）若四边形为矩形，易得，分直线垂直于轴和不垂直于轴进行讨论，
联立直线与曲线的韦达定理求解.
【详解】（1）因为点到左，右两焦点距离的差为，
所以，，又因为点在：上
所以 ，所以，所以双曲线的方程为：.
（2）不妨设在第一象限，则，解得
所以 ，所以
所以的面积.
（3）因为，所以四边形为平行四边形，
若四边形为矩形，则，
当直线垂直轴，则，，不满足题意．
当直线斜率存在，设为，联立，
得
因为，所以无解，
故不存在直线，使为矩形．
一、填空题
1．双曲线焦点坐标为 .
【答案】
【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出焦点坐标即得.
【详解】双曲线化为，因此双曲线半焦距，
所以双曲线焦点坐标为.
故答案为：
2．若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，化简可得双曲线的标准方程.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则设所求双曲线的方程为，
点的坐标代入双曲线的方程，则有，即双曲线的方程为，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
3．椭圆的长轴长为 ．
【答案】
【分析】将原方程改写为椭圆的标准方程，利用椭圆的性质即可.
【详解】依题意是椭圆方程，即 ，
∴ ，
， ，
，长轴的长为 = ；
故答案为：.
4．与椭圆有相同的焦点且以为渐近线的双曲线方程 ．
【答案】
【详解】试题分析：∵椭圆的焦点为（5，0）（-5，0），
故双曲线中的c=5，且满足，=25，∴=9，=16，所求双曲线方程为．
【解析】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质．
点评：基础题，理解椭圆、双曲线的几何性质，注意布列a,b,c的方程．
5．双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ .
【答案】/-0.5
【分析】由点到直线距离公式及得到，结合，求出.
【详解】由于双曲线在左支位于渐近线之间，故，
因为，故，
又，故.
故答案为：
6．如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】利用点在双曲线上及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.
【详解】设，，则，解得，
∴.
在中，，则①.
由双曲线的定义，得②.
由①②得.
∵，
∴，即.
∴.
∴双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
7．已知圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线的几何性质可知圆C的圆心的横坐标为4，进而求出圆心坐标，利用两点坐标求距离公式计算即可.
【详解】由双曲线的方程知，顶点坐标为，焦点坐标为，
又圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，
所以圆C的圆心的横坐标为4．将代入，
解得，故圆心坐标为，
所以圆心到中心（0，0）的距离为.
故答案为：
8．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是
【答案】
【分析】求出焦点坐标，设出（），利用向量的数量积的坐标表示和椭圆方程表达出，结合的取值范围，得到的取值范围.
【详解】由，，解得：，所以，不妨令，，因为P是椭圆E上任一设点，设（），则，即，其中，因为，所以，，所以的取值范围是.
故答案为：
9．已知双曲线与双曲线号（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】易知两个双曲线的焦距相等，分别求出四边形的面积，再利用基本不等式求的最大值；
【详解】易知两个双曲线的焦距相等．
由题设得，
当且仅当时，不等式取“=”，故的最大值为．
故答案为：
10．已知实数满足，，，则的最大值是 .
【答案】12
【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值.
【详解】因为，，
可设，且，
可得在圆上，且，
又因为，
且为到直线的距离，
所以所求最大值可看作是到直线的距离的和的最大值,可知在直线的下方，
取的中点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
则为梯形的中位线，，
又因为，则，
且到直线的距离为，可得，
所以，
故的最大值为.
故答案为：12.
.
11．点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过题意，可判断点的轨迹为双曲线，求出双曲线的方程，再通过比值关系求出范围.
【详解】设点，由题意，即①，
三点不共线，，
因为，
，所以点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上，
②，
①代入②，解得：，
，，，
解得：，即的取值范围是.
故答案为：.
12．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④
【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.
【详解】设点P的坐标为：P（x，y），
依题意，有：，
整理，得：，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、单选题
13．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据双曲线方程的特点，利用直接法进行判断即可得解.
【详解】若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选:.
14．公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ）
A．到两点距离相等的点的轨迹是直线
B．到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆
C．到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆
D．到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线
【答案】D
【分析】判断到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断.
【详解】对于A，到两点距离相等的点的轨迹是连线的垂直平分线，正确；
对于B，以为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则，设动点，由题意知,
即 ，化简为，
即此时点的轨迹为圆，B正确；
对于C，不妨设动点P到两点距离之和等于5 ，即，由于，
故到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以为焦点的椭圆，C正确；
对于D，设动点P到两点距离之差等于3 ，即,由于，
故到两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B侧的一支，D错误，
故选：D
15．若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积．
【详解】由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得：
，解得：，
则，故A项正确.
故选：A.
16．如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】B
【分析】利用中位线和双曲线的定义转化，，再利用直线与圆相切，得到，从而得到答案.
【详解】因为点分别是和的中点，所以，
，
连结，因为是圆的切线，则，
在中，，
.
故选：B
【点睛】本题考查直线与圆，双曲线的位置关系，几何性质，综合性较强，本题的关键是数形结合分析问题，转化与化归的能力，属于中档题型.
三、解答题
17．（1）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程及两条渐近线的夹角；
（2）若双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，实轴长为8，求双曲线方程.
【答案】（1）顶点，焦点，渐近线：，夹角（或）；（2）答案见解析
【分析】（1）将双曲线化为标准方程可求出双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程，设设渐近线与轴的夹角为，有二倍角的正切公式可求出两条渐近线的夹角；
（2）由双曲线的一条渐近线方程讨论或，设出双曲线的方程，再由实轴长为8，解出，即可得出答案.
【详解】（1）由可得：，则，
顶点，焦点，渐近线：，
则设渐近线与轴的夹角为，
则，则两条渐近线的夹角为，
，
所以条渐近线的夹角为（或）.
（2）因为双曲线的一条渐近线方程为，
当时，，
因为实轴长为8，，解得：，
即双曲线方程： ，
当时，，
因为实轴长为8，，解得：，
即双曲线方程： .
故双曲线方程为或.
18．试讨论方程所表示的曲线.
【答案】答案见解析
【分析】考虑的系数为0，的系数为0，两者系数均不为0时，结合椭圆，圆，双曲线的方程特征得到不等式，求出不同的范围下，方程所表示的曲线.
【详解】当时，变形为，解得，
此时方程所表示的是两条平行直线；
当时，变形为，解得，
此时方程所表示的是两条平行直线；
当时，变形为，此时方程无解，
此时不表示任何曲线
当且时，变形为，
若，解得或，
故当时，方程所表示的曲线是椭圆；
当，即时，方程所表示的曲线是圆；
当，解得或，
故当时，方程所表示的曲线是双曲线；
若，解得，即时，不表示任何曲线，
综上：或，方程所表示的是两条平行直线；
当时，方程所表示的曲线是椭圆；
即时，方程所表示的曲线是圆；
当时，方程所表示的曲线是双曲线；
时，不表示任何曲线.
19．已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可分析得点，，在双曲线上，把三点坐标代入双曲线方程，联立即可求解；
（2）设出直线的方程为，并与双曲线方程联立，再设出，的坐标，求出直线的方程，利用韦达定理化简即可证明．
【详解】（1）由题意可知点，两点关于原点对称，所以，一定在双曲线上，
而，因为，但，所以点不在双曲线上，
所以点，，在双曲线上，则，解得，，
所以双曲线方程为；
（2）证明：设直线的方程为，代入双曲线方程可得：，
设，，，，则，则，，
所以直线的方程为：，即，
令，则，
由，，得，
所以，
综上，直线过定点．
20．已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两圆都外切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点，求的取值范围．
【答案】解：(1)(2)
【分析】（1）圆与圆和圆都相外切，得到，满足双曲线的定义，得到轨迹方程；
（2）直线与双曲线联立，得到，从而表示出，得到其范围，注意讨论斜率存在和不存在的情况.
【详解】（1）设动圆的半径为
因为圆与圆和圆都相外切，
所以，
所以，
满足双曲线的定义，所以的轨迹为双曲线的右支，
所以，
，
所以点的轨迹方程为
（2）设过的直线为
因为直线与双曲线右支有两个交点
由得
设
由，
解得
当直线斜率不存在时，，
所以
所以
综上，.
21．双曲线：上一点到左，右两焦点距离的差为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设，是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，
求的面积；
（3）过作直线交双曲线于，两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析．
【分析】（1）先由点到两焦点距离求出，再把点代入曲线方程求出，从而写出曲线方程；
（2）不妨设点在第一象限．由题意得，解得，
再用余弦定理求出，转化为，求出三角形面积；
（3）若四边形为矩形，易得，分直线垂直于轴和不垂直于轴进行讨论，
联立直线与曲线的韦达定理求解.
【详解】（1）因为点到左，右两焦点距离的差为，
所以，，又因为点在：上
所以 ，所以，所以双曲线的方程为：.
（2）不妨设在第一象限，则，解得
所以 ，所以
所以的面积.
（3）因为，所以四边形为平行四边形，
若四边形为矩形，则，
当直线垂直轴，则，，不满足题意．
当直线斜率存在，设为，联立，
得
因为，所以无解，
故不存在直线，使为矩形．
相关试卷
2023-2024学年上海师范大学附属中学闵行分校高二上学期期中数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年上海师范大学附属中学闵行分校高二上学期期中数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期12月月考数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷： 这是一份上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
