人教版七年级数学上册常考提分精练 期末难点特训（二）和几何图形有关的压轴题（原卷版+解析版）

这是一份人教版七年级数学上册常考提分精练 期末难点特训（二）和几何图形有关的压轴题（原卷版+解析版），共37页。试卷主要包含了阅读材料并完成下面的问题等内容，欢迎下载使用。

1．将两块直角三角板的顶点A叠在一起，已知∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中，保持∠BAC始终在∠DAE的内部．
(1)如图①，若∠BAD＝25°，求∠CAE的度数．
(2)如图①，∠BAE与∠CAD有什么数量关系，请说明理由．
(3)如图②，若AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，问在旋转过程中，∠MAN的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围．
2．如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为 （直接填空）；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，请你直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系： ．
3．如图①，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将一把含有45°角的直角三角板的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使得∠MOB＝90°，此时∠CON角度为 度；
（2）将上述直角三角板从图1绕点O按逆时针旋转到图③的位置，当ON恰好平分∠AOC时，求∠AOM的度数；
（3）若这个直角三角板绕点O按逆时针旋转到斜边ON在∠AOC的内部时（ON与OC、OA不重合），试探究∠AOM与∠CON之间满足什么等量关系，并说明理由．
4．如图，已知，OC是内部的一条射线，过点O作射线OD，使.
（1）若，则=_______;
（2）若，则=________;
（3）当绕着点O旋转时，+是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由.
5．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，
（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC= °，∠NOB= °．
（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（ 必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．
6．如图，已知，且、满足等式，射线从处绕点以度秒的速度逆时针旋转．
（1）试求∠AOB的度数．
（2）如图，当射线从处绕点开始逆时针旋转，同时射线从处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？
（3）如图，若射线为的平分线，当射线从处绕点开始逆时针旋转，同时射线从射线处以度秒的速度绕点顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求．
7．如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B’处；将三角形NAE沿EN折叠，点A落在点A’处.
（1）若，，用直尺、量角器画出射线EB’与EA’；
（2）若，，求的度数；
（3）若，，用含的代数式表示的度数.
8．将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB=∠DBE=90°，∠ABC=60°）按不同的位置摆放.
（1）如图1，若边BD，BA在同一直线上，则∠EBC= ；
（2）如图2，若∠EBC=165°，那么∠ABD= ；
（3）如图3，若∠EBC=120°，求∠ABD的度数．
9．阅读材料并完成下面的问题：
小华遇到这样的一个问题；如图（1），已知锐角，画一条射线，使与互为余角．
聪明的小华这样画出射线：
①如图（2），先用直角三角板画出；
②再用量角器画出的角平分线，则与互为余角
(1)当锐角大小发生变化时，请证明与互为余角
(2)类比小华的画图方法，在图（3）中画所有符合条件的射线，使与互为补角（保留画图痕迹，不写面法）；
(3)若，射线平分，平分，若，请直接写出的度数为____________（用含的式子表示）
10．如图，点O为直线AB上一点，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的直角顶点与O重合，绕着点O顺时针旋转（OC、OD不与AB重合），射线OE平分∠AOC，∠BOD＝α．（本题中所有角均小于180°）
(1)如图1，直接写出∠DOE的度数为 （用含α的式子表示）；
(2)如图2，试判断∠BOC与∠DOE的数量关系，并说明理由；
(3)在直角三角板COD绕点O旋转过程中（OD到达OA前停止旋转），∠BOC与∠DOE始终保持（2）中的数量关系吗？判断并说明理由．
11．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．
（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝ ．
（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由；
（3）如图3．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值 ．
12．如图，直线CD与EF相交于点O，将一直角三角尺AOB的直角顶点与点O重合．
（1）如图1，若，试说明；
（2）如图2，若，OB平分．将三角尺以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒．
①，当t为何值时，直线OE平分；
②当，三角尺AOB旋转到三角POQ（A、B分别对应P、Q）的位置，若OM平分，求的值．
13．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．
（1）如图1，，当平分时，求的度数．
（2）如图2，若，且，求（用表示）．
（3）若，点在射线上，若射线绕点顺时针旋转（），，平分，当时，求的值．
14．【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
【理解运用】
（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】
（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
15．已知如图，线段
（1）若，则_______________；
（2）如图，，为内部的一条射线，是四等分线，且，求的值；
（3）如图，，射线绕着点从开始以度/秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）．
期末难点特训（二）和几何图形有关的压轴题
1．将两块直角三角板的顶点A叠在一起，已知∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中，保持∠BAC始终在∠DAE的内部．
(1)如图①，若∠BAD＝25°，求∠CAE的度数．
(2)如图①，∠BAE与∠CAD有什么数量关系，请说明理由．
(3)如图②，若AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，问在旋转过程中，∠MAN的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围．
【答案】(1)35°；
(2)∠BAE+∠CAD=120°；
(3)不变，∠MAN=60°，证明见详解．
【分析】（1）根据角的和差计算即可；
（2）利用角的和计算即可；
（3）利用角平分线得出∠BAM=，∠CAN=，∠MAN=∠CAN+∠BAC+∠BAM转化为即可．
(1)
解：∵∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，∠BAD＝25°，
∴∠CAE=∠DAE-∠BAD-∠BAC=90°-25°-30°=35°；
(2)
解：∠BAE+∠CAD=120°
∵∠BAE+∠BAD=90°，∠CAD=∠BAC+∠BAD=30°+∠BAD，
∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+30°+∠BAD=30°+90°=120°；
(3)
解：不变，∠MAN=60°
∵AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，
∴∠BAM=，∠CAN=，
∴∠MAN=∠CAN+∠BAC+∠BAM，
=30°++，
=，
，
，
．
【点睛】本题考查三角板中角度计算，余角性质，角的和差，角平分线有关计算，掌握三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算是解题关键．
2．如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为 （直接填空）；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，请你直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系： ．
【答案】（1）15°；（2），理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数；
（2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
【详解】解：（1）由已知得，
又是直角，平分，
，
故答案为：15°；
（2）；
理由：是直角，平分，
，
则得，
所以得：；
（3）；
理由：平分，
，
则得，
所以得：．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、旋转性质及角的计算，解题的关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．
3．如图①，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将一把含有45°角的直角三角板的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使得∠MOB＝90°，此时∠CON角度为 度；
（2）将上述直角三角板从图1绕点O按逆时针旋转到图③的位置，当ON恰好平分∠AOC时，求∠AOM的度数；
（3）若这个直角三角板绕点O按逆时针旋转到斜边ON在∠AOC的内部时（ON与OC、OA不重合），试探究∠AOM与∠CON之间满足什么等量关系，并说明理由．
【答案】（1）75；（2）15°；（3）或，理由详见解析．
【分析】（1）图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，根据∠MOB＝90°，∠MON＝45°，∠AOC＝60°，可得∠COM＝30°，进而求解；
（2）直角三角板从图①绕点O按逆时针旋转到图③的位置，根据ON恰好平分∠AOC时，得，进而求解；
（3）分两种情况（OM在∠AOC的外部或OM在∠AOC的内部），分别讨论求解．
【详解】解：（1）图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，
∵∠MOB＝90°，∠MON＝45°
∠AOC＝60°，
∴∠COM＝30°，
∴∠CON＝∠COM+∠MON＝75°，
所以，此时∠CON角度为75°．
故答案为75；
（2）直角三角板从图①绕点O按逆时针旋转到图③的位置，
∵ON恰好平分∠AOC时，
∴，
∴．
答：∠AOM的度数为15°；
（3）∠AOM与∠CON之间满足：或
理由如下：
当OM在∠AOC的外部时，
∵
所以．
当OM在∠AOC的内部时
【点睛】本题考查旋转的性质、角的计算、角平分线的定义，综合性较强，灵活运用所学知识是解本题的关键．
4．如图，已知，OC是内部的一条射线，过点O作射线OD，使.
（1）若，则=_______;
（2）若，则=________;
（3）当绕着点O旋转时，+是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）会发生改变，见解析
【分析】（1）根据题意求出的度数，再根据角的和与差即可得出答案；
（2）根据已知可得出，即可得出答案；
（3）分有一边在内部及两边都在外求+是否相等.
【详解】（1），
（2）,
.
（3）若绕着点O旋转时，+会发生变化，理由如下：
若有一边在内部
若两边都在外，如图
,
若绕着点O旋转时，+会发生变化.
【点睛】本题考查了角的和与差运算，结合图像得出角之间的关系是解题的关键.
5．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，
（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC= °，∠NOB= °．
（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（ 必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．
【答案】解：（1）50，40；（2）β=2α﹣40°;（3）不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40°.
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC=50°，再由角平分线的定义计算∠BOM=100°，根据角的差可得∠BON的度数；
（2）同理先计算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根据∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；
（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根据∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可．
【详解】（1）如图1，
∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC=∠BOC=50°，
∴∠BOM=100°，
∵∠MON=40°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，
（2）β=2α-40°，理由是：
如图1，∵∠AOC=α，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON，
∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°；
（3）不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40°，
理由是：如图2，
∵∠AOC=α，∠NOB=β，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
∵∠BOM=∠MON+∠BON，
∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，
答：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40.
【点睛】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出注意利用数形结合的思想，熟练掌握角的和与差的关系．
6．如图，已知，且、满足等式，射线从处绕点以度秒的速度逆时针旋转．
（1）试求∠AOB的度数．
（2）如图，当射线从处绕点开始逆时针旋转，同时射线从处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？
（3）如图，若射线为的平分线，当射线从处绕点开始逆时针旋转，同时射线从射线处以度秒的速度绕点顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）根据非负数的性质求得m＝140，n＝20，即可得到结果；
（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ＝10°，则∠AOQ＝x°，∠BOP＝4x°．分①当射线OP与射线OQ相遇前，②当射线OP与射线OQ相遇后，两种情况，分别列方程求解即可；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE＝4t°，先根据角平分线的定义可得∠COD的度数，即可求得∠BOD的度数，再根据即可求得∠COE的度数，从而得到∠DOE、∠BOE的度数，求出时间t，再列方程求x即可．
【详解】解：（1）∵，
∴3m−420＝0且2n−40＝0，
∴m＝140，n＝20，
∴∠AOC＝140°，∠BOC＝20°，
∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝160°；
（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ＝10°，则∠AOQ＝x°，∠BOP＝4x°，
①当射线OP与射线OQ相遇前有：∠AOQ＋∠BOP＋∠POQ＝∠AOB＝160°，
即：x＋4x＋10＝160，
解得：x＝30；
②当射线OP与射线OQ相遇后有：∠AOQ＋∠BOP−∠POQ＝∠AOB＝160°，
即：x＋4x−10＝160，
解得：x＝34，
答：当他们旋转30秒或34秒时，使得∠POQ＝10°；
（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE＝4t°，
∵OD为∠AOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠COD＋∠BOC＝70°＋20°＝90°，
∵，
∴∠COE＝×90°＝40°，则∠DOE＝70°－40°＝30°，∠BOE＝20°＋40°＝60°，
∴4t＝60，
解得：t＝15，
∴15x＝30，
解得：x＝2．
【点睛】本题考查了非负数的性质、角的和差计算以及一元一次方程的应用，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
7．如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B’处；将三角形NAE沿EN折叠，点A落在点A’处.
（1）若，，用直尺、量角器画出射线EB’与EA’；
（2）若，，求的度数；
（3）若，，用含的代数式表示的度数.
【答案】（1）作图见解析；（2）30°；（3）∠A'EB'=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．
【分析】（1）根据已知作图即可；
（2）由折叠的性质得到∠AEN=∠A'EN，∠BEM=∠B'EM，根据平角的定义得到2∠AEN+2∠BEM+∠A'EB'=180°，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论：①当α+β≤90°时，②当α+β＞90°时．
【详解】（1）如图：
（2）由折叠的性质得：∠AEN=∠A'EN，∠BEM=∠B'EM．
∵2∠AEN+2∠BEM+∠A'EB'=180°，
∴∠A'EB'=180°－2(∠AEN+∠BEM)=180°－2(45°+30°)=30°；
（3）分两种情况讨论：
①当α+β≤90°时，如图1，由（2）可知：∠A'EB'=180°－2(∠AEN+∠BEM)=180°－2(α+β)；
②当α+β＞90°时，如图2，类似可得：∠A'EB'=2(∠AEN+∠BEM)－180°=2(α+β)－180°．
综上所述：∠A'EB'=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，正确的识别图形是解答本题的关键．
8．将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB=∠DBE=90°，∠ABC=60°）按不同的位置摆放.
（1）如图1，若边BD，BA在同一直线上，则∠EBC= ；
（2）如图2，若∠EBC=165°，那么∠ABD= ；
（3）如图3，若∠EBC=120°，求∠ABD的度数．
【答案】（1）150°；（2）15°；（3）30°.
【分析】（1）由∠EBC=∠DBE+∠ABC，可得结果；
（2）由∠ABD=∠CBE-∠ABC-∠DBE，可得结果；
（3）由∠ABD=∠ABC+∠DBE-∠EBC可得结果．
【详解】解：根据题意可知，
（1）∠EBC=∠DBE+∠ABC=90°+60°=150°；
故答案为150°；
（2）∠ABD=∠CBE-∠ABC-∠DBE=165°-90°-60°=15°；
故答案为15°；
（3）∠ABD=∠ABC+∠DBE-∠EBC=90°+60°-120°=30°．
∴∠ABD的度数为：30°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，数形结合是解答此题的关键．
9．阅读材料并完成下面的问题：
小华遇到这样的一个问题；如图（1），已知锐角，画一条射线，使与互为余角．
聪明的小华这样画出射线：
①如图（2），先用直角三角板画出；
②再用量角器画出的角平分线，则与互为余角
(1)当锐角大小发生变化时，请证明与互为余角
(2)类比小华的画图方法，在图（3）中画所有符合条件的射线，使与互为补角（保留画图痕迹，不写面法）；
(3)若，射线平分，平分，若，请直接写出的度数为____________（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）只需要证明即可证明结论；
（2）仿照题意进行作图即可；
（3）分OF在∠GOE的内部和外部两种情况进行讨论求解即可；
（1）
解：∵平分，
∴
又
∴．
∴，
∴与互为余角
（2）
解：如图2-1所示，先用直尺延长AO，然后用量角器量出∠BOG的角平分线OD，则∠BOD和∠AOD互补；
如图2-2所示，先用直尺延长BO，然后用量角器量出∠AOG的角平分线OD，则∠BOD和∠AOD互补；
（3）
解：如图3-1所示，当OF在∠GOE内部时，
∵，
∴，
∵射线平分，平分，
∴，
∴；
如图3-2所示，当OF在∠GOE外部时，
∵，
∴，
∵射线平分，平分，
∴，
∴；
如图3-3所示，当OF在∠GOE外部时，
∵，
∴，
∵射线平分，平分，
∴，
∴；
综上所述，或
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的计算，熟知角平分线的定义是解题的关键．
10．如图，点O为直线AB上一点，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的直角顶点与O重合，绕着点O顺时针旋转（OC、OD不与AB重合），射线OE平分∠AOC，∠BOD＝α．（本题中所有角均小于180°）
(1)如图1，直接写出∠DOE的度数为 （用含α的式子表示）；
(2)如图2，试判断∠BOC与∠DOE的数量关系，并说明理由；
(3)在直角三角板COD绕点O旋转过程中（OD到达OA前停止旋转），∠BOC与∠DOE始终保持（2）中的数量关系吗？判断并说明理由．
【答案】(1)135°﹣
(2)2∠DOE+∠BOC＝360°，理由见解析
(3)∠BOC与∠DOE不会始终保持，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义进行求解即可；
（2）分别求出∠BOC与∠DOE即可得到答案；
（3）如图，分别求出∠BOC与∠DOE即可得到答案．
（1）
∵∠AOB＝180°，∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°
∵∠BOD＝α，
∴∠AOC＝90°﹣α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝（90°﹣α），
∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝（90°﹣α）+90°＝135°﹣．
故答案为：135°﹣；
（2）
解：2∠DOE+∠BOC＝360°，
理由如下：
∵∠COD＝90°，∠BOD＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∴∠AOC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∵OE平分∠AOC，
∴
∴∠DOE＝∠COD+∠EOC＝90°+（90°+α）＝135°+，
∴，
∴2∠DOE+∠BOC＝360°；
（3）
解：∠BOC与∠DOE不会始终保持（2）中的数量关系，理由如下：
如图所示，∵，，
∴，
∴，
∵OE平分∠AOC，
∴，
∴，
∴，
∴∠BOC与∠DOE不会始终保持（2）中的数量关系．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
11．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．
（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝ ．
（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由；
（3）如图3．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值 ．
【答案】（1）60°或80°或40°．；（2）的值是定值，定值为2；（3）12秒或秒．
【分析】（1）根据“二倍角线”的概念分三种情况讨论，分别求解即可；
（2）根据角平分线的定义得到，然后由∠DOB＝2∠BOC进一步得到，设，根据题意分别表示出和，即可求出的值；
（3）首先根据∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出，根据题意分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，
；
当时，
∵，
∵，解得：；
当时，
∵，
∵，解得：；
故答案为：60°或80°或40°．
（2）∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，
又∵∠DOB＝2∠BOC，，
∴，
∴设，
∴
∴的值是定值2；
（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，
又∵，，
∴，
∴，
∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，，
∴，
将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），
∴当时，在内部，
∵，
，
，
∴当时，，解得：，舍去，
当时，，解得：，舍去，
当时，，解得：，舍去
当时，此时在内部，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：应舍去，
当时，此时在内部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，
当 时，此时在内部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，应舍去，
综上所述，t的值为12秒或秒．
【点睛】此题考查了新定义角度问题，角平分线有关计算，解题的关键是正确分析题目中角度之间的等量关系，分情况讨论列出方程求解．
12．如图，直线CD与EF相交于点O，将一直角三角尺AOB的直角顶点与点O重合．
（1）如图1，若，试说明；
（2）如图2，若，OB平分．将三角尺以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒．
①，当t为何值时，直线OE平分；
②当，三角尺AOB旋转到三角POQ（A、B分别对应P、Q）的位置，若OM平分，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①或；②
【分析】（1）根据垂直的性质即可求解；
（2）①分当OE平分时，和OF平分时根据旋转的特点求出旋转的角度即可求解；
②根据，可知OP在内部，根据题意作图，分别表示出， ，故可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
（2）①∵OB平分，，
∴．
情况1：当OE平分时，
则旋转之后，
∴OB旋转的角度为，
∴，．
情况2：当OF平分时，同理可得，OB旋转的角度为，
∴，．
综上所述，或．
②∵，
∴OP在内部，如图所示，
由题意知，，
∴，∵OM平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查角度的综合判断与求解，解题的关键是根熟知垂直的性质、角平分线的性质及角度的和差关系．
13．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．
（1）如图1，，当平分时，求的度数．
（2）如图2，若，且，求（用表示）．
（3）若，点在射线上，若射线绕点顺时针旋转（），，平分，当时，求的值．
【答案】（1）50°；（2）；（3）168或72．
【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠BOC和∠EOC，再利用角的和差即可求得∠BOE；
（2）先根据已知数量关系求得∠DOE，再利用角的和差即可得出结论；
（3）设，分①若在的内部，②当在射线的两侧时两种情况，利用角的和差列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，平分，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，，
∴，
∴；
（3）①如图，若在的内部
设 则依题意有：
，
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
又，
∴，
∴；
②当在射线的两侧时如图
设，则依题意有，
∵，，
∴，
又平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴综上所述顺时针旋转的角度为168或72．
【点睛】本题考查邻补角的有关计算，角平分线的有关计算，角的和差，一元一次方程的应用．（3）中能分类讨论画出图形，结合图形利用角的和差列出方程是解题关键．
14．【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
【理解运用】
（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】
（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．
【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．
【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，
∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，
∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ
∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=2α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有
，，
①当时，如图：
∴，
解得：；
②当，即时，如图：
∴，
解得：；
③当，如图：
∴，
解得：；
④当，如图：
∵，，
∴，
解得：；
∵的最大值为：，
∴不符合题意，舍去；
综合上述，t=，4，5秒．
【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
15．已知如图，线段
（1）若，则_______________；
（2）如图，，为内部的一条射线，是四等分线，且，求的值；
（3）如图，，射线绕着点从开始以度/秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）．
【答案】（1）或；（2）80°；（3）当或时，为定值80°．
【分析】（1）分两种情形，当OC在∠AOB内部时，先求得∠AOC，再用∠AOB-∠AOC即得∠BOC；当OC在∠AOB外部时，同样先求得∠AOC，再用∠AOB+∠AOC即得∠BOC；
（2）设，据题意依次用表示出∠COM、∠NOM、∠AOM，再表示出∠AON，然后用表示出化简即得答；
（3）按ON和OM的不同位置分四种情形进行讨论．记OM转过的角度为，第一种情形，当时，用依次表示出∠MOB、∠COM，据“是四等分线，且”表示出∠AON，最后用表示出化简，若结果不含，则就是定值，否则不是定值；其它三种情形是：①当、②当且ON在∠COA之外、③当且ON在∠COA之内，也同第一种情形类似分别进行处理．
【详解】（1）分两种情形：
当OC在∠AOB内部时，如下图1-1
∵
∴
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=40°-10°=30°；
第二种情形，当OC在∠AOB外部时，如下图1-2
∵
∴
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=40°+20°=60°．
综上所述∠BOC=30°或60°．
（2）解：如图2，
设
∵是四等分线且
∠NOM=3x°
∴，
又
∴
∴
∴
即
（3）记OM转过的角度为，分四种情形讨论：
第一种情形，当时（此时，）
如下图3-1
由∠MOB=得∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=20°+40°-=60°-，
∵是四等分线且
∴
∴
∴当时，为定值80°；
第二种情形，当时，（此时）
如下图3-2
由∠MOB=得∠COM=∠MOB –(∠COA+∠AOB) =-(20°+40°)= -60°
∵是四等分线且
∴
∴
∴当时，不是定值；
第三种情形，当且ON在∠COA外时（此时，）如下图3-3
由∠MOB=360°-得∠COM=∠MOB +（∠COA+∠AOB) =360°-+(20°+40°)=420°- ，
∵是四等分线且
∴
得，
所以得当时，不为定值．
第四种情形，当且ON在角∠COA内或与OA重合时（此时）如下图3-4
由∠MOB=360°-得∠COM=∠MOB +（∠COA+∠AOB) =360°-+(20°+40°)=420°- ，
∵是四等分线且
∴∴
∴
∴当时，为定值80°．
综上讨论得当或时，为定值80°．
【点睛】此题考查角平分线的概念及角的和差，当OM绕点O旋转时，会引起图形质的变化分清情况进行讨论是关键．