2023-2024学年安徽省宿州市、市示范高中高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省宿州市、市示范高中高一（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={x∈N|−1≤x≤3}，集合A满足∁UA={0,1}，则A=( )
A. {0,1}B. {2,3}C. {−1,2,3}D. {1,2,3}
2.命题“∃x∈(0,1)，x2−x<0”的否定是( )
A. ∃x∉(0,1)，x2−x≥0B. ∃x∈(0,1)，x2−x≥0
C. ∀x∉(0,1)，x2−x<0D. ∀x∈(0,1)，x2−x≥0
3.若幂函数f(x)=(m2−2m−2)⋅xm在(0,+∞)单调递减，则f(2)=( )
A. 8B. 3C. −1D. 12
4.如果函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是
( )
A. [−3,+∞)B. (−∞,−3]C. (−∞,5]D. [3,+∞)
5.函数y=x−2x−1的图象是( )
A. B.
C. D.
6.“a>b”是“a>|b|”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=(1−2m)x+3m,x<1x2,x≥1的值域为R，则m的取值范围是( )
A. [0,12)B. [−1,12)C. (0,12)D. (−∞,12)
8.已知函数f(x)=x+1,x≥0−2x−1,x<0，若a[f(a)−f(−a)]>0，则实数a的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. (0,2]∪[−2,0)
C. (2,+∞)∪(−∞,−2]D. (0,2)∪(−2,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x|x2−9=0}，则下列式子表示正确的有( )
A. 3∈AB. {−3}∈AC. ⌀⊆AD. {3,−3}⊆A
10.对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若abc2，则a>b
C. 若a>0>b，则aba>b，ac−a11.已知正数a，b满足a+b=1，则( )
A. ab的最大值为14B. 1a+1b的最小值为4
C. a+ b的最小值为 2D. a−1b的最大值为−1
12.设函数f(x)=x2+bx+c满足f(0)=1，f(−3−x)=f(x)，则下列结论正确的是( )
A. 1−b+c<0B. ∀x∈R，f(x)≥−x−3
C. 若a≥1，则∀x∈R，f(x)≥axD. 若∀x>0，kf(x)≥x，则k≥15
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=−x2+2，则f(−1)= ______ ．
14.函数f(x)=1 2x−x2的定义域为______．
15.已知A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2−ax+a−1=0}，若A∪B=A，则a= ______ ．
16.最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，径隅(弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是______ 米.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|0≤x<4}，B={x|0(1)求A∩B；
(2)若集合M={x|x+a>0}，满足M⊆(∁RB)，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知a，b，c均为正实数．
(1)若a>b，试比较a2−b2a2+b2与a−ba+b的大小；
(2)求证：b+c−aa+c+a−bb+a+b−cc ≥3．
19.(本小题12分)
已知命题“∀x∈R，都有x2+(a−2)x+a4>0成立”为真命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设不等式x2−(2m+1)x+m(m+1)>0的解集为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=xx2−1，x∈(−1,1)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并证明；
(2)求证：f(x)在(−1,1)上是减函数；
(3)解不等式：f(x−1)+f(x)<0．
21.(本小题12分)
某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表所示．
(1)求用户每月缴纳水费y(单位：元)与每月用水量x(单位：m3)的函数关系式；
(2)随着生活水平的提高，人们对生活的品质有了更高的要求，经验表明，当居民用水量在一定范围内时，若随性用水，用水量增加，生活越方便；若时刻想着节约用水，生活也会麻烦.数据表明，人们的“幸福感指数”K与缴纳水费y及“生活麻烦系数”M存在以下关系：K=My(其中M(x)=1x2)，当某居民用水量在(12,18]时，求该居民“幸福感指数”K的最大值及此时的用水量．
22.(本小题12分)
已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x+1，且f(x)的图象经过点A(−2,4)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=af(x)+(2a−1)x+1，试判断是否存在整数a，使得函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为3.若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(3)设函数h(x)=f(x)+1f(x)−mx+mx+2，若不等式h(x)≥0对任意的x∈(1,3]恒成立求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为U={x∈N|−1≤x≤3}={0,1,2,3}，
又∁UA={0,1}，
所以A={2,3}．
故选：B．
首先用列举法表示出全集，再根据补集的定义计算可得．
本题主要考查了补集的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【解析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为特称量词命题，则命题“∃x∈(0,1)，x2−x<0”的否定∀x∈(0,1)，x2−x≥0．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证m是否满足题意．
【解答】
解：函数f(x)=(m2−2m−2)xm为幂函数，
则m2−2m−2=1，解得m=−1或m=3，
当m=−1时，f(x)=x−1，在(0,+∞)上单调递减，满足题意，
当m=3时，f(x)=x3，在(0,+∞)上单调递增，不满足题意，
所以m=−1，
所以f(x)=1x，
所以f(2)=12，
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的单调性，研究的基本思路是：先明确开口方向，对称轴，然后研究对称轴与区间的相对位置．
先由f(x)=x2+2(a−1)x+2得到其对称，再由f(x)在区间(−∞,4]上是减函数，则对称轴在区间的右侧，所以有1−a≥4，计算得到结果．
【解答】
解：∵f(x)=x2+2(a−1)x+2的对称轴为x=1−a，
∵f(x)在区间(−∞,4]上是减函数，开口向上，
则只需1−a≥4，
即a≤−3．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识点是函数的图象，属于一般题．
将函数y=x−2x−1的解析式变形后，可得函数y=x−2x−1的图象是由函数y=−1x的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，易得到结论．
【解答】
解：函数y=x−2x−1=−1x−1+1的图象是由函数y=−1x的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，
故函数y=x−2x−1在区间(−∞,1)和(1,+∞)上都单调递增；
分析四个答案中的图象易得只有B中的图象符合要求；
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：若a>b，取a=2，b=−3，推不出a>|b|，若a>|b|，则必有a>b．
所以a>b是a>|b|的必要非充分条件．
故选：B．
在本题解决中用到了不等式的基本性质，及举特例的方法．
本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：当x≥1时，x2≥1；
当x<1时，f(x)=(1−2m)x+3m，
要使f(x)的值域为R，则需1−2m>0(1−2m)×1+3m≥1，
解得0≤m<12，
所以m的取值范围是[0,12)．
故选：A．
根据函数的值域求得m的正确答案．
本题主要考查分段函数的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：当a=0时，0>0不成立．
当a>0时，f(a)=a+1，f(−a)=−2(−a)−1=2a−1，
所以a×(a+1−2a+1)=a(−a+2)>0，a(a−2)<0，解得0当a<0时，f(a)=−2a−1，f(−a)=−a+1，
所以a×(−2a−1+a−1)=a×(−a−2)<0，a(a+2)>0，解得−2综上，a的取值范围是(−2,0)∪(0,2)．
故选：D．
对a进行分类讨论，通过解不等式求得a的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查元素与集合，集合与集合间关系的判定，是基础题．
由元素与集合，集合与集合间关系的判定逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：A={x|x2−9=0}={−3,3}．
对于A，3是集合A中的元素，3∈A，故A正确；
对于B，{−3}是集合，{−3}⊆A，故B错误；
对于C，⌀⊆A，故C正确；
对于D，{3,−3}⊆A，故D正确．
故选：ACD．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，∵a0，b−a>0，∴1a−1b=b−aab>0，即1a>1b，故A错误，
对于B，∵ac2>bc2，c2>0，∴a>b，故B正确，
对于C，∵a>0>b，∴a2>ab，故C正确，
对于D，取c=−1，a=−2，b=−3，则ac−a=−2，bc−b=−32，且−2<−32，故D错误，
故选：BC．
利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于选项A，正实数a，b满足a+b=1，由基本不等式得ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等号，则A正确；
对于选项B，1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2 ab⋅ba=4，当且仅当a=b=12时取等号，则B正确；
对于选项C，( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+a+b=2，当且仅当a=b=12时取等号，即 a+ b≤ 2，则C错误；
对于选项D，a=1−b>0，则0a−1b=1−b−1b=1−(b+1b)≤1−2 b⋅1b=−1，
当且仅当b=1b，即b=1时取等号，显然等号无法取到，故D错误．
故选：AB．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：f(0)=c=1，
∵−b2=−32，
∴b=3，
∴f(x)=x2+3x+1，
对于A，1−b+c<0，故A正确；
对于B，(x+2)2=x2+4x+4=x2+3x+1+x+3≥0，
故对于∀x∈R，f(x)≥−x−3，故B正确；
对于C，∀x∈R，f(x)≥ax等价于x2+(3−a)x+1≥0恒成立，
故(3−a)2−4≤0，解得1≤a≤5，故C错误；
对于D，∀x>0，kf(x)≥x等价于k(x2+3x+1)≥x，
∴k≥xx2+3x+1=1x+1x+3，
∵x+1x+3≥5，
∴k≥15，当且仅当x=1x即x=1时，等号成立．
故选：ABD．
对于A，根据f(0)=1，f(−3−x)=f(x)求出b、c，即可求解．
对于B，根据(x+2)2≥0化简得解；
对于C，根据判别式小于等于0计算即可；
对于D，∀x>0，kf(x)≥x等价于k≥1x+1x+3，借助基本不等式计算得解．
本题主要考查二次函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=−x2+2，
所以f(−1)=f(1)=−12+2=1．
故答案为：1．
根据偶函数的性质计算可得．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】(0,2)
【解析】解：由2x−x2>0，解得0故函数f(x)的定义域为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
解不等式2x−x2>0即得出函数f(x)的定义域．
本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】2或3
【解析】解：∵A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，B={x|x2−ax+a−1=0}={x|[x−(a−1)](x−1)=0}≠⌀
又A∪B=A，则B⊆A
若B中方程仅有一解则有B={1}，即a−1=1，解之：a=2符合题意
若B中方程有两解，则有B={1,2}，即：1+2=a1×2=a−1Δ>0，解之：a=3
综上可知：a的值为a=2或a=3．
故答案为：a=2或a=3
求出集合A，利用A∪B=A，推出B是A的子集，B是空集，B={1}，B={2}，B={1,2}时分别求出a的值即可．
本题是中档题，考查集合之间的基本运算，考查分类讨论思想，是易错题，常考题．
16.【答案】4+2 2
【解析】解：设直角三角形框架的直角边为a，b，a，b为正实数，
则12ab=2，即ab=4，a>0，b>0，
所以a+b+ a2+b2≥2 ab+ 2ab=4+2 2，
当且仅当a=b=2时等号成立．
故答案为：4+2 2．
利用基本不等式、勾股定理求得正确答案．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵A={x|0≤x<4}，B={x|0∴A∩B={x|0(2)集合M={x|x>−a}，
∵B={x|0∴∁RB={x|x≤0或x>2}，
又∵M⊆(∁RB)，
∴−a≥2，
∴a≤−2，所以实数a的取值范围是(−∞,−2]．
【解析】(1)根据集合交集的运算求解即可；
(2)先求∁RB，然后根据包含关系列不等式来求得a的取值范围．
本题主要考查集合的基本运算，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵a>0，b>0，
∴a2+b2∴1a2+b2>1(a+b)2，
∴a+ba2+b2>1a+b，
又∵a>b，∴a−b>0，
∴(a+b)(a−b)a2+b2>a−ba+b，即a2−b2a2+b2>a−ba+b；
(2)证明：b+c−aa+c+a−bb+a+b−cc=(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)−3，
∴a>0，b>0，c>0，
∴ba+ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，
∴b+c−aa+c+a−bb+a+b−cc−3≥3，当且仅当“a=b=c”时等号成立．
【解析】(1)根据不等式的性质判断出两者的大小关系．
(2)利用基本不等式证得不等式成立．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵∀x∈R，x2+(a−2)x+a4>0成立，
∴Δ=(a−2)2−a<0，即a2−5a+4<0，解得1∴A=(1,4)．
(2)由x2−(2m+1)x+m(m+1)>0，即(x−m)[x−(m+1)]>0，
∵m+1>m，解得x>m+1或x∴B={x|xm+1}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴m+1≤1或m≥4，即m≤0或m≥4．
∴实数m的取值范围是(−∞,0]∪[4,+∞)．
【解析】(1)由Δ<0计算可得；
(2)首先求出集合B，依题意可得A⊆B，从而得到m+1≤1或m≥4，解得即可．
本题考查二次不等式的解法，属于基础题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)是奇函数．证明如下：
∵x∈(−1,1)关于原点对称，且f(−x)=−xx2−1=−f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)证明：任意−1则f(x1)−f(x2)=x1x12−1−x2x22−1=x1(x22−1)−x2(x12−1)(x12−1)(x22−1)
=x1x2(x2−x1)+(x2−x1)(x12−1)(x22−1)=(x1x2+1)(x2−x1)(x12−1)(x22−1)，
当0≤x10显然成立，
当−10显然成立，
当−10，
综上有x1x2+1>0，
∵−10，x12−1<0，x22−1<0．
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(−1,1)上是减函数．
(3)由(1)(2)可知不等式f(x−1)+f(x)<0⇔f(x−1)<−f(x)=f(−x)，
∴−1−x⇒012⇒12∴不等式的解集为{x|12【解析】(1)根据函数的奇偶性进行证明．
(2)根据函数单调性的定义进行证明．
(3)根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得不等式的解集．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当0≤x≤12时，y=2.5x；
当12当x>18时，y=66+(x−18)×9=9x−96，
∴y与x的函数关系式为y=2.5x,0≤x≤126x−42,1218；
(2)由题意得当x∈(12,18]时，K=6x−42x2=−42x2+6x，
令t=1x，则t∈[118,112),
∴K=−42t2+6t=−42(t−114)2+314，
∴当t=114，即x=14时，K取得最大值314，
故居民“幸福感指数”K的最大值为314，此时用水量为14m3．
【解析】(1)根据已知条件，分段求解函数关系式，即可得出答案；
(2)根据题意写出K与x的关系式，再求其最大值，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，f(x+1)−f(x)=2x+1，
∴f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c=2ax+a+b=2x+1，
∴2a=2a+b=1，解得a=1b=0，
∴f(x)=x2+c，
又图象过点A(−2,4)，则f(−2)=4+c=4，解得c=0，
∴f(x)=x2；
(2)由(1)得f(x)=x2，则g(x)=ax2+(2a−1)x+1，x∈[0,1]，
①当a=0时，g(x)=−x+1在[0,1]上单调递减，g(x)max=g(0)=1≠3，不符合题意；
②当a<0时，函数g(x)的对称轴为x=1−2a2a=12a−1<0，图象开口向下，
∴函数g(x)在[0,1]上单调递减，g(x)max=g(0)=1≠3，不符合题意；
③当a>0时，函数g(x)的图象开口向上，对称轴为x=12a−1，g(x)的最大值在x=0或x=1处取得，
∵g(0)=1≠3，
∴当g(x)max=g(1)=3a=3，
∴a=1成立，
综上所述，存在整数a=1，使得函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为3；
(3)由(1)得f(x)=x2，则h(x)=x2+1x2−mx+mx+2=(x−1x)2−m(x−1x)+4，
令t=x−1x，
∵x∈(1,3]，∴t∈(0,83],
不等式h(x)≥0对任意的x∈(1,3]恒成立，转化为t2−mt+4≥0对任意的t∈(0,83]恒成立，
∴m≤t+4t在t∈(0,83]上恒成立，即m≤(t+4t)min，
∵t+4t≥2 t×4t=4，当且仅当t=4t，即t=2时等号成立，
∴m≤4，
故实数m的取值范围是(−∞,4]．
【解析】(1)由题意设f(x)=ax2+bx+c，根据已知条件求得a，b，c，即可得出答案；
(2)由(1)得f(x)=x2，则g(x)=ax2+(2a−1)x+1，x∈[0,1]，对a进行分类讨论，结合二次函数的性质，求解即可得出答案；
(3)由(1)得f(x)=x2，则h(x)=x2+1x2−mx+mx+2=(x−1x)2−m(x−1x)+4，利用换元法，结合基本不等式，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
2.5元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3