微专题7　数列求和的常用方法

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【真题体验】
1.(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))Sk＝________ dm2.
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an－6，n为奇数，,2an，n为偶数.))记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,an)))是公差为eq \f(1,3)的等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)<2.
【热点突破】
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
例1 (2023·上饶模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4，
且Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2.
(1)证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝1，b2＋b3＝0，求数列{an·bn}的前2n项和T2n.
规律方法 分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，转化为若干个可求和的数列的和或差，然后再求和.
训练1 (2023·临沂模拟)已知数列{an}为等比数列，a1＝1，a3＋1是a2与a4的等差中项，Sn为{an}的前n项和.
(1)求{an}的通项公式及Sn；
(2)集合A为正整数集的某一子集，对于正整数k，若存在正整数m，使得lg2ak＝Sm，则k∈A，否则k∉A.记数列{bn}满足bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2an，n∉A，,－1，n∈A，))
求{bn}的前20项和T20.
热点二 裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；
eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
eq \f(2n,（2n－1）（2n＋1－1）)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)；
eq \f(n＋1,n2（n＋2）2)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,n2)－\f(1,（n＋2）2))).
(3)分母含无理式
eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
例2 (2023·广州模拟)已知等差数列{an}是递增数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3＝12，a6，a3，eq \f(a6－a3,2)成等比数列.
(1)求an；
(2)设bn＝eq \f(1,2)an＋Sn＋1，求证：eq \f(1,b1)＋eq \f(1,b2)＋…＋eq \f(1,bn)<1.
易错提醒 裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.
训练2 (2023·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)令bn＝eq \f(an＋1,SnSn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
热点三 错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
例3 (2023·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝1，nan＋1＝2Sn＋n(n∈N*).
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,n)))为常数列；
(2)设Tn＝eq \f(a1,3a1)＋eq \f(a2,3a2)＋eq \f(a3,3a3)＋…＋eq \f(an,3an)，求Tn.
易错提示 用错位相减法求和时，应注意：
(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；(3)最后一项的符号.
训练3 (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,2n)))的前n项和Tn.