2023-2024学年高一数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷02（测试范围：第1-5章）含答案

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一、单选题
1．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.
【解析】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A
2．设集合,则满足的集合B的个数是（ ）
A．1B．3C．4D．8
【答案】C
【分析】由题设，确定集合、，进而判断元素与集合B的关系，求B集合的个数.
【解析】，
由，
因为，所以必为集合B的元素，而可能为集合B的元素，
所以集合B的个数是.
故选：C
3．周期为的函数（，）的部分图像如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数周期求得，结合图像知，从而求得.
【解析】函数周期为，则，，
则，，又，
则
故选：C
4．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得且，将化为求解即可.
【解析】由于关于的不等式的解集是，
所以则有且，
所以等价于，
解得，即不等式的解集为．
故选：D.
5．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（ ）分钟.（参考数据，）
A．16分钟B．20分钟
C．24分钟D．26分钟
【答案】D
【分析】根据已知条件求出，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.
【解析】根据题意可得，解得，
所以，即，所以，
故,
故大约需要26分钟，
故选：D.
6．设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由在上单调递增，结合零点存在性定理，函数在上存在零点，需，求解即可.
【解析】函数在上递增，
则函数在上存在零点，
需，
解得.
故选：B.
7．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将恒成立问题转化为函数在区间上的最值问题，故只需研究在的单调性并求出其最小值，再解不等式即可.
【解析】当时，，由，得，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递增，此时函数，
要使，恒成立，只需，解得，所以；
当时，函数在区间上单调递减，此时函数，
要使，恒成立，只需，解得，不符合题意；
综上：实数的取值范围是.
故选：B
8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【解析】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴

①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
二、多选题
9．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（ ）
A．B．y＝x2﹣2x+1C．D．
【答案】ACD
【分析】先判断函数的单调性，再求每个函数的值域得解.
【解析】解：A. 在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；
B. y＝x2﹣2x+1在（0，+∞）上的值域是，所以该选项错误；
C. 在（0，+∞）上是减函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；
D. 在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确.
故选：ACD
10．下列各式的值为1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.
【解析】错误；
对；
对；，D错误.
故选：BC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．与为同一函数
B．已知a，b为非零实数，且，则恒成立
C．若等式的左、右两边都有意义，则恒成立
D．关于函数有两个零点，且其中一个零点在区间
【答案】ABCD
【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.
【解析】对于，因为函数与的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项正确；
对于，因为a，b为非零实数，且，所以，故选项成立；
对于，因为
，故选项正确；
对于，因为函数的零点个数等价于与图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，且，
，所以函数有两个零点，且其中一个在上，故选项正确，
故选：.
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若为方程的两实数根，且，则
B．若方程的两实数根都在，则实数的取值范围是
C．若，，则实数的取值范围是
D．若，，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对于A，由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B，结合二次方程的实根分布可求；对于C，由已知不等式分离参数可得，然后结合基本不等式可求；对于D，由已知结合二次函数的性质可求.
【解析】对于，因为为方程的两实数根，即是方程的两实数根，所以满足，
因为，
则，此时，故正确；
对于B，因为方程的两实数根都在，即方程的两实数根都在，
所以需满足，可得，故B正确；
对于C，因为，，则，
即，因为，则，故C错误；
对于D，因为图像开口向上，
，，都有，
所以，即，
解得，
故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则当时， .
【答案】3
【分析】代入点的坐标，确定幂函数即可.
【解析】由题可知，则，故当时，.
故答案为：.
14．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间（8，12）存在零点，那么经过下一次计算可知 （填区间）.
【答案】
【分析】分别计算出的值，并判断正负，再计算中点处的函数值，即可得答案.
【解析】 ，
而，则，
故答案为：.
15．已知函数是周期为4的奇函数，，则 .
【答案】
【分析】由对数运算计算取值区间，再根据函数的周期性和奇函数，可以求出.
【解析】因为 ，所以，
由题意知，
故答案为：
16．已知函数，且关于x的方程在区间[0，]上有唯—解，则t的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据正弦函数的性质求出函数的值域，画出函数图象，依题意与有一个交点，结合函数图象即可求解.
【解析】因为，所以，所以，且当，.
所以其函数图象如下所示：
所以与只有一个交点，即关于x的方程在区间[0，]上有唯—解，结合函数图象可知或.
故答案为：或.
四、解答题
17．已知集合.
（1）若求；
（2）若求的取值集合.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求解集合，根据交集的定义计算；（2）由，可得，分别讨论为空集和不为空集两种情况下的范围，再求并集即为最终范围.
【解析】解：由，得，
解得，即
当时，，
故.
由，可得
当时，由，解得；
当时，可得，
解得
综上所述，的取值集合为.
18．（1）计算：；
（2）计算：.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据指数的运算法则运算即可；
（2）根据对数的运算法则运算即可.
【解析】（1）原式=
（2）


19．（1）已知，．求的值：
（2）已知，且，，求角的值：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用与的关系求解即可，注意角的范围和符号；（2）已知的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，求出的正弦值，需要根据的范围确定符号，然后利用，和两角和差公式求解即可.
【解析】（1）因为，两边平方得，
所以，又，所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，
因为，所以，又，
所以，
所以
，
因为，所以.
20．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数在区间上的单调性.
【答案】（1）最小正周期，的最大值为2；（2）在上是增函数，在上是减函数.
【解析】分析：（1）先化简函数得到，再求出函数的最小正周期和最大值. （2）先求出，再求出函数在区间上的单调性.
详解：（1）
∴的最小正周期，的最大值为2.
（2）∵，∴
由得
得
∴在上是增函数，在上是减函数.
点睛：本题主要考查三角函数的周期、最值和单调性，属于基础题.
21．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)；
(2)年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
【解析】（1）当时，
；
当时，，
所以；
（2）当时，，
所以；
当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故，
所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
22．已知函数，，． 若不等式的解集为
(1)求的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论．
(3)已知且，若.试证：.
【答案】(1)；
(2)函数在区间上的单调递增，证明见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值
（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减
（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大
【解析】（1），即，因为不等式解集为，所以，解得： ，所以
（2）函数在区间上的单调递增，证明如下：
假设，则
，
因为，所以，所以，即当时，，所以函数在区间上的单调递增
（3）由（2）可得：函数在区间上的单调递增， 在区间上的单调递减，因为，且，，所以，，
证明，即证明，即证明，因为，所以即证明，代入解析式得：，即
，令，因为在区间上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，在区间上的单调递减，所以单调递增，即，所以在区间上恒成立，即，得证：
【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：
（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若，且单减，则；解题过程
（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数