2023-2024学年辽宁省鞍山一中高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山一中高二（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知椭圆C：x28+y23=1，则椭圆C离心率为( )
A. 58B. 38C. 104D. 64
2.抛物线y=2x2的准线方程为( )
A. x=12B. y=18C. y=−12D. y=−18
3.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2=9相交于A、B两点，则弦AB的长为( )
A. 7B. 2 7C. 2D. 2 2
4.已知直线l1：ax−3y+1=0，l2：2x−y+2=0，则下列说法中正确的是( )
A. 若l1//l2，则a=−6B. 若l1⊥l2，则a=32
C. 若l1//l2，则两直线间距离为 53D. 当a>0时，直线l1不过第三象限
5.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为
( )
A. 3x+2y−12=0B. 2x+3y−12=0
C. 4x+9y−144=0D. 9x+4y−144=0
6.下列命题中正确的是( )
A. 对空间任意一点O，不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x，y，z为实数)，则P，A，B，C四点共面
B. 若a/​/b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
C. 若空间向量|a|=1,|b|=2，且a与b夹角的余弦值为−13，则a在b上的投影向量为−16b
D. 若向量a=(2,−1,3),b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为(−∞,103)
7.设F1，F2是椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，∠F1MF2=60°，若椭圆的离心率e1∈[ 33,1)，则双曲线的离心率e2的取值范围是( )
A. (1, 2]B. (1, 3]C. [ 3,+∞)D. [ 2,+∞)
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点E在BD上，点F在B1C上，且BE=CF，点P在线段CM上运动，下列说法正确的是( )
A. 三棱锥N−CME的体积不是定值
B. 直线B1D1到平面CMN的距离是 22
C. 存在点P，使得∠B1PD1=90°
D. △PDD1面积的最小值是5 56
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆x2m+y24=1的焦距为2，则m=( )
A. 3B. 5C. 2D. 1
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=π3，AB=2AD=2PD，PD⊥面ABCD，则( )
A. PA⊥BD
B. PB与平面ABCD所成角为π6
C. 二面角A−PB−C的余弦值为2 77
D. 直线AB与PC所成角的余弦值为2 55
11.下列四个命题表述正确的是( )
A. 倾斜角相等的两条直线，斜率也相等
B. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+ 2=0的距离等于1
C. 曲线C1：x2+y2+2x=0与曲线C2：x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4
D. 已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+y=4上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则弦AB长度的最小值为2 2
12.已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的下、上焦点，C的实轴长为6，且F1到双曲线渐近线l的距离为3 3，P为C在第一象限上的一点，点Q的坐标为(0,2)，PQ为∠F1PF2的平分线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的渐近线方程为y=± 33xB. 双曲线C的离心率为2 33
C. |PF1|=3|PF2|D. 点P到y轴的距离为3 152
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，二面角α−l−β等于150°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD= 3，则CD= ______ ．
14.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为 ．
15.若点P(x,y)在圆x2+y2−4y+1=0上，则(x−1)2+y2的最小值为______ ．
16.已知点P在y= x2+1,x∈[−1, 3]上运动，点Q在圆C：x2+(y−a)2=34(a>0)上运动，且|PQ|最小值为32 3，则实数a的值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知椭圆C：x28+y24=1的左焦点为F1，直线l：y=x−2与椭圆C交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)若D为椭圆左顶点，求△ABD的面积．
18.(本小题12分)
已知直线l和圆C：x2+y2−2x+2y−2=0．
(1)若直线l过点P(2,−1)，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2)求过点(3,−2)且与圆C相切的直线方程．
19.(本小题12分)
如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=2 2，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．
(1)求证：BD1//平面C1EF；
(2)求直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：x2=−2py(p>0)的焦点为F，且经过点(2,−1)．
(1)求抛物线C方程及其准线方程；
(2)过F作斜率不为0的直线交抛物线C于M、N两点，直线y=−1分别交OM，ON于A、B两点，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
21.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PD⊥AD．
(1)证明：PB=PC；
(2)若PD=PB=BC=2 3，求二面角A−PB−C的余弦值．
22.(本小题12分)
已知两定点F1(− 2,0),F2( 2,0)，满足条件|PF2|−|PF1|=−2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx−1与曲线E交于A，B两个不同的点．
(1)求曲线E的方程；
(2)求实数k的取值范围；
(3)设点T在直线x=12上，过T的两条不同的直线分别交曲线E于M、N和P、Q两点，且|TM||TP|=|TQ||TN|，求直线MN与直线PQ的斜率之和．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵椭圆C：x28+y23=1，
∴a2=8，b2=3，可得c2=a2−b2=5，
故a=2 2，c= 5，
故椭圆C的离心率e=ca= 52 2= 104．
故选：C．
根据已知条件求出a，b，c，进而求解结论．
本题主要考查椭圆离心率的求解，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：抛物线的方程可变为x2=12y
故p=14，
其准线方程为y=−18，
故选：D．
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误．
3.【答案】B
【解析】解：∵圆x2+y2=9的圆心为(0,0)，半径r=3，
∴圆心到直线x+y+2=0的距离d=2 2= 2，
∴弦长|AB|=2 9−2=2 7．
故选：B．
易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．
本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：A中，若两条直线平行，则−a=−3×2，且2a≠2，解得a=6，所以A不正确；
B中，两条直线垂直可得：2a+(−3)⋅(−1)=0，解得a=−32，所以B不正确；
C中，由两条直线平行，由A选项可知，a=6，可得直线l2的方程为6x−3y+6=0，
所以两条直线的距离为d=|6−1| 62+(−3)2= 53，所以C正确；
D中，当a>0时，直线l1的斜率k=a3>0，所以直线一定过第三象限，所以D不正确．
故选：C．
由直线平行或垂直求出参数的值，判断出所给命题的真假．
本题考查直线平行或垂直的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设弦的端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=6，y1+y2=4，
把A、B坐标代入椭圆方程得，4x12+9y12=144，4x22+9y22=144，
两式相减得，4(x12−x22)+9(y12−y22)=0，即4(x1+x2)(x1−x2)+9(y1+y2)(y1−y2)=0，
所以y1−y2x1−x2=−4(x1+x2)9(y1+y2)=−4×69×4=−23，即kAB=−23，
所以这弦所在直线方程为：y−2=−23(x−3)，即2x+3y−12=0．
故选B．
利用平方差法：设弦的端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，若O∉平面ABC，则OA，OB，OC不共面，由空间向量基本定理可知，P为空间任意一点，
所以P，A，B，C四点不一定共面，故A错误；
对于B，当b=0，a≠0时，找不到实数λ，使a=λb，故B错误；
对于C，因为空间向量|a|=1，|b|=2，且a与b夹角的余弦值为−13，则a在b上的投影向量为|a|csθ⋅b|b|=1×(−13)×b2=−16b，故C正确；
对于D，因为向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,t)的夹角为钝角，
则a⋅b=−8−2+3t<0⇒t<103，且a，b不反向共线，则2−4≠3t，故t≠−6，
所以实数t的取值范围为(−∞,−6)∪(−∞,103)，故D错误．
故选：C．
选项A用向量共面的基本定理判断；选项B用向量共线的基本定理判断；选项C用投影向量计算；选项D用向量夹角的余弦判断，需注意共线反向的情况．
本题考查空间向量基本定理和数量积与夹角，坐标运算等，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：设|MF1|=s，|MF2|=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，
由双曲线的定义可得s−t=2a2，
解得s=a1+a2，t=a1−a2，
由∠F1MF2=60°，
可得s2+t2−2stcs60°=4c2，即s2+t2−st=4c2，
即为a12+3a22=4c2，
由离心率的公式可得，1e12+3e22=4，
由椭圆的离心率e1∈[ 33,1)，则可得e12∈[13,1)，
即有e22=34−1e12∈(1,3]，
解得e2∈(1, 3].
故选：B．
设|MF1|=s，|MF2|=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，由双曲线的定义可得s−t=2a2，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围．
本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对于A，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，则B1D1//MN，
∵BB1//DD1，且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴B1D1//BD，
∴BD/​/MN，∵MN⊂平面CMN，BD⊄平面CMN，∴BD/​/平面CMN，
∵E在BD上，∴点E到平面CMN的距离不变，而△CMN面积是定值，则三棱锥E−CMN的体积不变，
即三棱锥N−CME的体积不变，故A错误；
对于B，∵B1D1//MN，B1D1⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，于是B1D1/​/平面CMN，
因此直线B1D1到平面CMN的距离等于点D1到平面CMN的距离h，
MN= 2,CM=CN= CD12+D1N2= (2 2)2+12=3，
VC−MND1=13×(12×1×1)×2=13，SΔCAN=12× 2× 32−( 22)2= 172，VD1−CMN=13⋅ 172⋅h，
由VC−MND1=VD1−CMN，得13=13⋅ 172⋅h，则h=2 1717，B错误；
对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则M(1,0,2)，C(2,2,0)，B1(2,0,2)，D1(0,2,2)，
设MP=t⋅MC=t(1,2,−2)，则P(t+1,2t,−2t+2)，
PB1=(1−t,−2t,2t)，PD1=(−t−1,2−2t,2t)，t∈[0,1]，
由∠B1PD1=90°，得PB1⋅PD1=(1−t)(−t−1)+(−2t)(2−2t)+2t⋅2t=9t2−4t−1=0，解得t=2± 139，
由于t=2+ 139∈[0,1]，因此存在点P，使得∠B1PD1=90°，C正确；
对于D，由选项C得P(t+1,2t,−2t+2)在DD1的投影点为(0,2,−2t+2)，
则P到DD1的距离d= (t+1)2+(2−2t)2= 5(t−35)2+165，
△PDD1面积为S=12⋅2⋅d= 5(t−35)2+165 (t∈[0,1])，
∴当t=35时，S取得最小值为4 55，D错误．
故选：C．
根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点D1到平面CMN的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出△PDD1面积的表达式，再求得面积的最小值判断D．
本题主要考查棱锥的体积的求法，直线与平面距离的求法，空间向量的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：当椭圆焦点在x轴上时，a2=m，b2=4，则c= a2−b2= m−4，
由题意得，2 m−4=2，解得m=5；
当椭圆焦点在y轴上时，a2=4，b2=m，则c= a2−b2= 4−m，
由题意得，2 4−m=2，解得m=3．
故选：AB．
由椭圆方程结合题意分类求解得答案．
本题考查椭圆的几何性质，考查分类讨论思想，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：连接BD，设AD=1，则AB=2，PD=1，
因为∠DAB=π3，故BD2=1+4−2×1×2×12=3，故BD= 3，
故AB 2=AD2+DB2，故AD⊥DB，
而PD⊥平面ABCD，AD，DB⊂平面ABCD，
故PD⊥AD，PD⊥DB，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中D(0,0,0),A(1,0,0),B(0, 3,0),C(−1, 3,0),P(0,0,1)，
选项A，由PA=(1,0,−1),BD=(0, 3,0)，
可得PA⋅BD=0，故PA⊥BD，故A正确；
选项B，PB=(0, 3,−1)，而平面ABCD的法向量为m=(0,0,1)，
设PB与平面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=|cs〈PB,m〉|=12×1=12，
因为θ∈[0,π2]，故θ=π6，故B正确；
选项C，AB=(−1, 3,0),BC=(−1,0,0)，PB=(0, 3,−1)，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，由n⊥AB，n⊥PB，
则有AB⋅n=0PB⋅n=0，即−x+ 3y=0 3y−z=0，取y=1，则n=( 3,1, 3)，
设平面PBC的法向量为u=(a,b,c)，由u⊥BC，u⊥PB，
则有BC⋅u=0PB⋅u=0，即−x=0 3y−z=0，取y=1，则u=(0,1, 3)，
故cs〈n,u〉=4 7×2=2 77，
由图可知，二面角A−PB−C的平面角为钝角，
故其余弦值为−2 77，故C错误；
选项D，PC=(−1, 3,−1)，故cs〈AB,PC〉=42× 5=2 55，
故直线AB与PC所成角的余弦值为2 55，故D正确．
故选：ABD．
建立空间直角坐标系，利用向量法逐项计算ABCD后可判断它们的正误．
本题考查利用空间向量进行空间角的计算，考查线线垂直判定，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A：当两条直线的倾斜角为90°时，斜率不存在，故A不正确；
对于B，圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线的距离d=|0−0+ 2| 1+1=1，而圆的半径为2，
则平行于l且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切，
所以圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+ 2=0的距离等于1，故B正确；
对于C，圆C1：x2+y2+2x=0圆心(−1,0)，半径r1=1，圆C2：x2+y2−4x−8y+m=0的圆心(2,4)，
半径r2= 20−m(m<20)，依题意两圆外切，则|C1C2|=r1+r2，即1+ 20−m=5，解得m=4，故C正确；
对于D：圆C：x2+y2=4的圆心(0,0)，r=2，点C到直线x+y=4的距离d=4 2=2 2，
则|PA|= |PC|2−r2，由切线长定理知，直线PC垂直平分线段AB，于是得：
|AB|=2×|PA|×r|PC|= |PC|2−4|PC|=4× 1−4|PC|2，PC的距离取得最小值时，AB的距离取得最小值，
当且仅当点P与圆心C平行的连线取得最小值时，即d=|PC|=2 2时，弦AB长度的最小值为2 2，故D正确．
故选：BCD．
倾斜角为90°时，斜率不存在，可判断A；求得圆心到直线的距离，结合圆的半径可判断B；由两圆外切可求得m判断C；求得圆的圆心与半径，由|AB|=4× 1−4|PC|2，求得|PC|的最小值可求弦AB长度的最小值即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：对于A选项，因为C的实轴长为6，所以a=3，
因为F1到双曲线渐近线l的距离为3 3，所以b=3 3，
所以双曲线C的渐近线方程为y=± 33x，故A选项正确；
对于B选项，因为c= a2+b2=6，
所以双曲线C的离心率为ca=2，故B选项错误；
对于C选项，因为PQ为∠F1PF2的平分线，所以|PF2||PF1|=|F2Q||F1Q|，
因为F1(0,−6)，F2(0,6)，Q(0,2)，
所以|PF2||PF1|=12，即|PF1|=2|PF2|，故C选项错误；
对于D选项，由双曲线定义可知|PF1|−|PF2|=6，
所以|PF2|=6，|PF1|=12，在△PF1F2中，
cs∠F1PF2=62+122−1222×6×12=14，
sin∠F1PF2= 1−cs2∠F1PF2= 154，
设点P到y轴的距离为d，
则S△PF1F2=12|F1F2|⋅d=12|PF1||PF2|sin∠F1PF，
解得d=3 152，故D选项正确．
故选：AD．
对于A选项，根据C的实轴长和F1到双曲线渐近线l的距离即可求出双曲线C的渐近线方程；对于B选项，求出c即可求出双曲线C的离心率；对于C选项，根据角平分线定理即可计算；对于D选项，利用等面积法即可计算．
本题考查双曲线的定义及性质，属中档题．
13.【答案】 17
【解析】解：∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
又∵二面角α−l−β的平面角θ等于150°，且AB=AC=2，BD= 3，
∴CA⋅AB=AB⋅BD=0，=30°，CA⋅BD=2× 3×cs30°=3，
又CD=CA+AB+BD，
∴CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2AB⋅BD+2CA⋅BD
=4+4+3+6=17，
∴|CD|= 17，
故答案为： 17．
由已知条件，结合向量的数量积即可求出CD的长．
本题考查二面角的平面角以及利用空间向量解决距离问题，属中档题．
14.【答案】θ=π3或θ=2π3
【解析】解：设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l′：x=−p2．
如图所示，
①当直线AB的倾斜角为锐角时，
分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=34|AB|，
∴|AM|−|BN|=|AC|=|AF|−|BF|=12|AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|=12|AB|，可得∠BAC=π3．
∵AM/​/x轴，∴∠BAC=∠AFx=π3．
∴kAB=tanπ3= 3．
②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得直线的倾斜角为2π3．
故答案为：θ=π3或θ=2π3．
设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l′：x=−p2.如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N.过点B作BC⊥AM交于点C.则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|.由于|AF|=3|BF|=34|AB|，可得|AM|−|BN|=|AC|=|AF|−|BF|=12|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=12|AB|，可得∠BAC=π3.由于AM/​/x轴，可得∠BAC=∠AFx=π3.当直线AB的倾斜角为钝角时，同理可得．
本题考查了抛物线的定义及其性质、含60°角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．
15.【答案】8−2 15
【解析】解：因为x2+y2−4y+1=0，化为x2+(y−2)2=3，
圆心为(0,2)，半径为 3，
又(x−1)2+y2表示点(x,y)与点(1,0)的距离的平方，
圆心(0,2)与点(1,0)的距离为 5，
所以点(x,y)与点(1,0)的距离的最小值为 5− 3，
故(x−1)2+y2的最小值为( 5− 3)2=8−2 15．
故答案为：8−2 15．
利用(x−1)2+y2表示点(x,y)与点(1,0)的距离的平方，求出圆心(0,2)与点(1,0)的距离为 5，可求得最小距离．
本题考查圆的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】5
【解析】解：设P(m, m2+1)，−1≤m≤ 3，圆心C(0,a)，a>0，半径r= 32，
求|PQ|最小值，只需求|PC|的最小值．
|PC|= m2+(a− m2+1)2，
由m2∈[0,3]，设t= 1+m2∈[1,2]，
则|PC|= t2−1+(a−t)2= 2t2−2at+a2−1
= 2(t−a2)2+12a2−1，
由于最小值大于0，所以12a2−1>0，即a> 2，
当a2>2，即a>4时，|PC|min= 7−4a+a2，
由题意可得|PC|min=3 32+ 32=2 3，
解得a=5(−1舍去)；
当a2<1，即 2解得a=1±2 3(舍去)；
当1≤a2≤2，即2≤a≤4时，|PC|min= 12a2−1=2 3，
解得a=± 26(舍去)．
综上可得a=5．
故答案为：5．
设P(m, m2+1)，−1≤m≤ 3，求|PQ|最小值，只需求|PC|的最小值．由两点的距离公式和换元法，结合二次函数在闭区间上的最值求法，解方程可得所求值．
本题考查两点间的距离的最值，以及圆的方程和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)联立直线l与椭圆C的方程得：y=x−2x28+y24=1，
解得x=0，或x=83，
当x=0时，y=−2，
当x=83时，y=23，
不妨设A(0,−2),B(83,23)，
|AB|= (83−0)2+(23+2)2=8 23，
即线段AB的长为8 23；
(2)由C：x28+y24=1得a2=8,D(−2 2,0)，
点D到直线y=x−2的距离为|−2 2−2| 12+(−1)2=2+ 2，
所以△ABD的面积为12×8 23×(2+ 2)=83(1+ 2)．
【解析】(1)联立直线l与椭圆C的方程，求出A、B的坐标，由两点间的距离公式即可求解；
(2)求出点D到直线l的距离，结合(1)的结论即可求解．
本题考查了联立直线与椭圆方程求解综合问题，考查了数学运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)直线l在两坐标轴上截距为0时，
直线l过点P(2,−1)，
则直线l的方程为y=−12x，即x+2y=0，
直线l在两坐标轴上截距不为0时，
可设直线l的方程为xa−ya=1，
直线l过点P(2,−1)，
则2a+1a=1，解得a=3，直线方程为x−y−3=0，
综上所述，直线l方程为x+2y=0或x−y−3=0．
(2)由题意圆C：(x−1)2+(y+1)2=4，圆心C(1,−1)，半径r=2，
①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=3，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程l：y=k(x−3)−2，即kx−y−3k−2=0，
则圆心C到直线l的距离d=|k+1−3k−2| k2+1=2，解得k=34，
所以直线l的方程为y=34(x−3)−2=0即3x−4y−17=0，
综上，直线l的方程为x=3或3x−4y−17=0．
【解析】(1)根据直线l是否过原点进行分类讨论，结合直线方程截距式等知识求得正确答案．
(2)根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求得切线的方程．
本题考查了直线方程的求法，直线截距式的理解与应用，考查了圆的切线方程的求法，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：连接OB，OC，因为四边形ABCD为正方形，所以OB⊥OC，
因为O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两互相垂直，
以点O为坐标原点，OB,OC,OO1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线O1O所成的角为45°，
则B(2,0,0)，D1(−2,0,1)，C1(0,1,1)，F(1,1,0)，E(−1,1,0)，A1(0,−1,1)，A(0,−2,0)，
所以BD1=(−4,0,1),C1E=(−1,0,−1)，EF=(2,0,0)，
设平面C1EF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅EF=2x=0n⋅C1E=−x−z=0，令y=1，则n=(0,1,0)，
所以n⋅BD1=0，所以n⊥BD1，
又因为BD1⊄平面C1EF，所以BD1//平面C1EF；
(2)AB=(2,2,0),A1B=(2,1,−1)
设平面ABB1A1的一个法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅AB=2a+2b=0m⋅A1B=2a+b−c=0，令a=1，则m=(1,−1,1)，
设直线EF与平面ABB1A1所成角为θ，
则sinθ=|cs〈EF,m〉|=|EF⋅m||EF|⋅|m|=|2|2⋅ 3= 33，
所以直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值为 33．
【解析】(1)建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直即可证明线面平行；
(2)求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角公式计算即可．
本题考查线面平行的证明和直线与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】(1)解：因为点(2,−1)在C上，
所以22=−2p×(−1)，
解得p=2，
则抛物线C的方程为x2=−4y，准线方程为y=1；
(2)证明：易知直线l的斜率存在，
不妨设直线l的方程为y=kx+1(k≠0)，
联立y=kx+1x2=−4y，消去y并整理得x2−4kx−4=0，
此时Δ=16k2+16>0，
因为点M，N都在抛物线C上，
不妨设M(x1,−x124)，N(x2,−x224)，
由韦达定理得x1+x2=4k，x1x2=−4，
此时直线OM的方程为y=y1x1x，
令y=−1，
解得x=−x1y1=4x1，
所以A(4x1,−1)，
同理得B(4x2,−1)，
不妨设以线段AB为直径的圆与y轴的交点为S(0,s)，
可得PA=(4x1,−1−s),PB=(4x2,−1−s)，
因为PA⊥PB，
所以PA⋅PB=0，
即4x1⋅4x2+(−1−s)2=0，
所以(s+1)2=−4x1⋅4x2=4，
解得s=1或s=−3．
故以线段AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0,−3)．
【解析】(1)由题意，将点(2,−1)中代入抛物线C中，进而即可求解；
(2)结合(1)中所得信息，设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，利用韦达定理得到相关式子，推出A，B两点的坐标，设出点D的坐标，根据向量的坐标运算再进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：设BC中点为E，连接BD，DE，如图，

∵底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，
∴△BCD为等边三角形，故DE⊥BC，
∵PD⊥AD，AD//BC，
∴PD⊥BC，又PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE，
∴BC⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，
∴BC⊥PE，又E是BC的中点，
∴PB=PC；
(2)解：∵DA⊥DE，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作z轴，建立如图空间直角坐标系D−xyz，

过P作PF⊥DE于点F，由(1)得PF⊂平面PDE，PF⊥BC，DE∩BC=E，DE，BC⊂平面BCD，
∴PF⊥平面BCD，由PD=PB=BC=2 3得：A(2 3,0,0),B( 3,3,0),C(− 3,3,0)，
∵P−BCD为正四面体，F为△BCD的中心，有F(0,2,0),P(0,2,2 2)，
∴PB=( 3,1,−2 2)，AB=(− 3,3,0),BC=(−2 3,0,0)，
设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AB=0m⋅PB=0，即− 3x+3y=0 3x+y−2 2z=0，令x= 3，则y=1,z= 2，则m=( 3,1, 2)，
设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c)
则n⋅PB=0n⋅BC=0，即 3a+b−2 2c=0−2 3a=0，令c=1，则a=0，b=2 2，
∴平面PBC的一个法向量为n=(0,2 2,1)，
则cs=m⋅n|m|⋅|n|=3 2 6×3=1 3= 33，
显然二面角A−PB−C的平面角θ是钝角，
∴csθ=− 33．
【解析】(1)取BC中点E，由已知条件可证明BC⊥平面PDE，再进一步证明BC⊥PE即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
本题考查利用空间线面位置关系证明等量关系和空间向量求空间角的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(− 2,0),F2( 2,0)为焦点的双曲线的右支，且c= 2,a=1，
可得b=1，
则曲线E的方程为x2−y2=1(x≥1)；
(2)不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx−1x2−y2=1，消去y并整理得(1−k2)x2+2kx−2=0，
因为直线与双曲线右支交于两点A，B，
所以1−k2≠0且Δ>0，
由韦达定理得x1+x2=−2k1−k2，x1x2=−21−k2，
解得1所以k的取值范围为(1, 2)；
(3)不妨设T(12,m),M(x1,y1),N(x2,y2),x1≥1且x2≥1，
易知直线MN与直线PQ的斜率都存在且不相等，
不妨设直线MN的方程为y=k1(x−12)+m，
联立y=k1(x−12)+mx2−y2=1，消去y并整理得(1−k12)x2+(k12−2k1m)x−14k12+k1m−m2−1=0，
因为直线AB与曲线C必有两个不同的交点，
所以1−k12≠0,Δ=4(m2−k1m−34k12+1)>0，
由韦达定理得x1+x2=−k12−2k1m1−k12,x1x2=−14k12+k1m−m2−11−k12，
因为|TM||TP|=|TQ||TN|，
所以|TM|⋅|TN|=|TP|⋅|TQ|，
此时|TM|⋅|TN|=( 1+k12|x1−12|)⋅( 1+k12|x2−12|)=(1+k12)(x1−12)(x2−12)
=(1+k12)[x1x2−12(x1+x2)+14]=(1+k12)(m2+34)k12−1，
不妨设直线PQ的方程为y=k2(x−12)+m(k1≠k2)，
同理可得|TP|⋅|TQ|=(1+k22)(m2+34)k22−1，
因为|TM|⋅|TN|=|TP|⋅|TQ|，
所以(1+k12)(m2+34)k12−1=(1+k22)(m2+34)k22−1，
即k22−k12=k12−k22，
解得k1=−k2或k1=k2(舍去)，
所以k1+k2=0，
故直线MN的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息、双曲线的定义以及a，b，c之间的关系，列出等式进行求解即可；
(2)设出直线MN的方程，将直线MN的方程与曲线E的方程联立，利用根与系数的关系再列出等式进行求解即可；
(3)设出直线MN的方程，将直线MN的方程与曲线E的方程联立，由|TM||TP|=|TQ||TN|，可得|TM|⋅|TN|=|TP|⋅|TQ|，结合韦达定理求出|TM|⋅|TN|的表达式，设出直线PQ的方程，同理得|TP|⋅|TQ|，再列出等式进行求解即可．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．