新高考数学一轮复习讲义+分层练习 6.2《等差数列及其前n项和》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表示为an＋1﹣an＝d(n∈N*)，d为常数.
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n﹣1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1﹣d)是关于d的一次函数.
(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(d,2)n2＋(a1﹣eq \f(d,2))n是关于n的二次函数.
4.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
eq \a\vs4\al([常用结论])
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n﹣m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(5)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1).
(6)若{an}是等差数列，则{eq \f(Sn,n)}也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的eq \f(1,2).
(7)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶﹣S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n＋1,n).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
二、教材改编
1.等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.2 D.﹣eq \f(1,2)
2.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A.31 B.32 C.33 D.34
3.已知等差数列﹣8，﹣3，2，7，…，则该数列的第100项为________.
4.某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________.
考点1 等差数列基本量的运算
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则( )
A.an＝2n﹣5 B.an＝3n﹣10
C.Sn＝2n2﹣8n D.Sn＝eq \f(1,2)n2﹣2n
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A.﹣12 B.﹣10
C.10 D.12
3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝( )
A.23 B.32 C.35 D.38
考点2 等差数列的判定与证明
等差数列的4个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1﹣an等于同一个常数.
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn﹣1＝0(n≥2)，a1＝eq \f(1,2).
(1)求证：{eq \f(1,Sn)}成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
证明{eq \f(1,Sn)}成等差数列的关键是eq \f(1,Sn)﹣eq \f(1,Sn－1)为与n无关的常数，同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n＝1的情形.
[备选例题]
数列{an}满足an＋1＝eq \f(an,2an＋1)，a1＝1.
(1)证明：数列{eq \f(1,an)}是等差数列；
(2)求数列{eq \f(1,an)}的前n项和Sn，并证明eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,Sn)＞eq \f(n,n＋1).
1.已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1﹣(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列{eq \f(an,n)}是等差数列，并求{an}的通项公式.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn﹣1，其中λ为常数.
(1)证明：an＋2﹣an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.
考点3 等差数列的性质及应用
等差数列中常用的解题性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n﹣1＝(2n﹣1)an.
(3)在Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)中常用性质或等差中的项解题.
(1)正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＋a9﹣aeq \\al(2,6)＋15＝0，则S11＝( )
A.35 B.36 C.45 D.55
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A.35 B.42 C.49 D.63
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2 018，eq \f(S2 019,2 019)﹣eq \f(S2 013,2 013)＝6，则S2 020＝________.
以数列项或和的下角标为突破口，结合等差数列的性质灵活解答.
[备选例题]
(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A.0 B.37 C.100 D.﹣37
(2)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9﹣a10的值是( )
A.20 B.22 C.24 D.8
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1＋am＋1﹣aeq \\al(2,m)﹣1＝0，S2m﹣1＝39，则m等于( )
A.39 B.20 C.19 D.10
2.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－3,4n－3)，则eq \f(a2,b3＋b13)＋eq \f(a14,b5＋b11)的值为( )
A.eq \f(29,45) B.eq \f(13,29) C.eq \f(9,19) D.eq \f(19,30)
考点4 等差数列前n项和的最值问题
求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[母题探究]将本例中“a1＝13，S3＝S11”改为“a1＝20，S10＝S15”，则n为何值？
本题用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图象及性质给与解得，三种方法各有优点，灵活运用是解题的关键.
1.设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为( )
A.5 B.6 C.5或6 D.11
2.设{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
等差数列及其前n项和
一、选择题
1.若{an}为等差数列，且a7﹣2a4＝﹣1，a3＝0，则公差d等于( )
A.﹣2 B.﹣eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.2
2.在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于( )
A.66 B.132 C.﹣66 D.﹣132
3.数列{an}满足2an＝an﹣1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝( )
A.9 B.10 C.11 D.12
4.公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为( )
A.15 B.21 C.23 D.25
5.等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题
6.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则eq \f(S10,S5)＝_______.
7.已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________.
8.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是________.(填序号)
三、解答题
9.已知数列{an}满足(an＋1﹣1)(an﹣1)＝3(an﹣an＋1)，a1＝2，令bn＝eq \f(1,an－1).
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝﹣a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围.
1.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )
A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺
2.若{an}是等差数列，首项a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是( )
A.2 018 B.2 019 C.4 036 D.4 037
3.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝﹣1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
4.已知一次函数f(x)＝x＋8﹣2n.
(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；
(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.
1.在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点(eq \f(Sn,n),eq \f(Sn＋1,n＋1))在直线y＝2x﹣1上，则a9等于( )
A.1 290 B.1 280
C.1 281 D.1 821
2.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.