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专题13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型---备战2024年高考物理模型与方法（新课标）
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这是一份专题13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型---备战2024年高考物理模型与方法（新课标），文件包含专题13匀强电场中的匀变速直曲线运动模型原卷版docx、专题13匀强电场中的匀变速直曲线运动模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21431" 【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型 PAGEREF _Tc21431 \h 1
\l "_Tc12287" 1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型 PAGEREF _Tc12287 \h 1
\l "_Tc13517" 2.交变电场中的直线运动 PAGEREF _Tc13517 \h 8
\l "_Tc26341" 3.带电体在电场中的直线运动 PAGEREF _Tc26341 \h 12
\l "_Tc9926" 【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型 PAGEREF _Tc9926 \h 20
\l "_Tc23958" 【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型 PAGEREF _Tc23958 \h 29
\l "_Tc11003" 【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型 PAGEREF _Tc11003 \h 37
【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型
1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型
受力分析：
与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.
运动过程分析：
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，收到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加（减）速直线运动.
两种处理方法：
= 1 \* GB3 ①力和运动关系法——牛顿第二定律：
带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确定带电粒子的速度、时间和位移等.
= 2 \* GB3 ②功能关系法——动能定理：
带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则.
例：如图真空中有一对平行金属板，间距为d，接在电压为U的电源上，质量为m、电量为q的正电荷穿过正极板上的小孔以v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷穿出时的速度v是多大？
解法一、动力学：由牛顿第二定律： ①
由运动学知识：v2－v02=2ad ②
联立①②解得：
解法二、动能定理： 解得
讨论：
（1）若带电粒子在正极板处v0≠0，由动能定理得qU=mv2-mv02 解得v=
（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q，质量为m的带电粒子，以初速度v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动.
①若v0>，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v，
有 -qU=mv2-mv02 解得v=
②若v0<，则带电粒子不能从对面极板的小孔穿出，带电粒子速度减为零后，反方向加速运动，从左极板的小孔穿出，穿出时速度大小v=v0.
设带电粒子在电场中运动时距左极板的最远距离为x，由动能定理有： -qEx=0-mv02
又E=(式d中为两极板间距离) 解得x=.
【模型演练1】（2023·全国·高三假期作业）如图所示，两平行金属板相距为d，电势差U未知，一个电子从O点沿垂直于极板的方向以速度v射出，最远到达A点，然后返回，已知O、A相距为h，电子的质量为m，电荷量为e，则两金属板间的电势差U为（ ）
A．B．C．D．
【模型演练2】（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）如图所示，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，则关于电子到达Q板时的速度，下列说法正确的是（ ）
A．两板间距离越大，加速的时间就越长，获得的速度就越大
B．两板间距离越小，加速度就越大，获得的速度就越大
C．与两板间距离无关，仅与加速电压有关
D．以上说法均不正确
【模型演练3】（2023·河北保定·统考三模）一对平行正对的金属板C、D接入如图所示的电路中，电源电动势为E，C板固定，D板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，已知A到D板的距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为-e，忽略电子的重力，则（ ）
A．设定C板电势为0，电子在A点的电势能为
B．若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D板，可将D板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D板，可闭合开关，再将D板向右平移至某位置
【模型演练4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，半径为R的圆处在匀强电场中，O为圆心，圆所在平面与电场线平行，A、B是圆上两点，间劣弧为四分之一圆弧，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以大小为v0的速度从O点沿某一方向射出，到达B点时的动能为，若以垂直连线向左的方向仍以大小为的速度射出，过一段时间t粒子又回到O点，再改变粒子从O点射出的方向，射出速度大小仍为，结果粒子到达了A点，不计粒子的重力，则（ ）
A．B．A点电势比B点电势高
C．匀强电场的电场强度大小为D．O、A两点的电势差为
【模型演练5】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两极板加上恒定的电压U，将一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在正极板附近由静止释放，粒子向负极板做加速直线运动。不计粒子重力。若将两板间距离减小，再次释放该粒子，则（ ）
A．带电粒子获得的加速度变小
B．带电粒子到达负极板的时间变短
C．带电粒子到达负极板时的速度变小
D．加速全过程静电力对带电粒子的冲量变小
【模型演练6】（2023·高三课时练习）两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m、电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射入电场，最远到达A点，然后返回，如图所示，OA间距为h，则此电子的初动能为（ ）
A．B．C．D．
2.交变电场中的直线运动
【模型演练1】（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和多个横截面积相同的金属圆筒组成，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度遵照一定的规律依次增加．圆板和圆筒与交流电源相连，序号为奇数的圆筒和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。若电压的绝对值为U，电子电量大小为e，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t=0时刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1，电子在每个圆筒中运动的时间均小于T，且电子均在电压变向时恰从各圆筒中射出，不考虑相对论效应，则（ ）
A．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场
B．电子运动到第n个圆筒时动能为2neU
C．在t=时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值
D．第个和第n个圆筒的长度之比为∶
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示，一质量，电荷量的带负电的粒子从（-1cm，0）点由静止开始，仅在电场力作用下在x轴上范围内往返运动，则（ ）
A．x轴负半轴电场强度E1和正半轴电场强度E2的大小的比值为
B．粒子在范围内运动过程中，电场力的冲量为8.0×10-14N·s
C．该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为
D．该粒子运动的周期
【模型演练3】（2023·广东省湛江市高三上学期调研）如图甲所示，A板电势为0，A板中间有一小孔，B板的电势变化情况如图乙所示，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝eq \f(T,4)时刻以初速度为0从A板上的小孔处进入两极板间，仅在电场力作用下开始运动，恰好到达B板．则( )
A．A、B两板间的距离为 eq \r(\f(qU0T2,8m)) B．粒子在两板间的最大速度为 eq \r(\f(qU0,m))
C．粒子在两板间做匀加速直线运动
D．若粒子在t＝eq \f(T,8)时刻进入两极板间，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最终打向B板
【模型演练4】(2023·安徽合肥模拟)如图(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是( )
A．0＜t0＜eq \f(T,4) B.eq \f(T,2)＜t0＜eq \f(3T,4) C.eq \f(3T,4)＜t0＜T D．T＜t0＜eq \f(9T,8)
3.带电体在电场中的直线运动
(1).带电小球在电容器中的直线运动
(2)多过程运动规律
【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一带电量为的物块放在光滑绝缘水平面上，在恒力F作用下由静止开始从O点向右做匀加速直线运动，先经时间t力F做功，此后撤去力F，物块再经时间返回到出发点O，且回到出发点时的速度大小为v。设物块在O点的电势能为零，则（ ）
A．撤去力F时物块的速度大小为
B．物块向右滑动的最大距离为
C．物块回到出发点时的动能为
D．撤去力F时物块的电势能为
【模型演练2】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，绝缘水平面区域粗糙，区域光滑且处于一方向沿负方向、电场强度大小的匀强电场中，在处有3个完全相同的减速带，减速带的宽度远小于。一质量为、带电量为的小滑块（可视为质点）从处由静止释放，测量发现小滑块通过相邻2个减速带间的时间相同。已知小滑块与水平地面间的动摩擦因数为，小滑块通过每一个减速带时损失的机械能相同，重力加速度为，求：
（1）小滑块通过每一个减速带时损失的机械能；
（2）小滑块最终停在何处。
【模型演练3】(2023·浙江宁波市重点中学联考)如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D点时的电势能比在C点时的大
B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝eq \f(mg,E)
【模型演练4】（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电场，带电量为q（q>0）、质量为m的小球受水平向右大小为F的恒力，从M匀速运动到N。已知MN长为d，与力F的夹角为，重力加速度为g，则
A．场强大小为
B．M、N间的电势差为
C．从M到N，电场力做功为
D．若仅将力F方向顺时针转，小球将从M向N做匀变速曲线运动
【模型演练5】（2023·陕西安康·统考三模）如图所示，质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E的匀强电场中，以初速度沿直线做匀变速运动，直线与水平面的夹角为，若小球在初始位置的电势能为零，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度E的最小值为
B．匀强电场的方向可能竖直向上
C．如果小球加速运动且加速度大小为g，则电场强度
D．如果电场强度为，小球电势能的最大值为
【模型演练6】(2023·陕西榆林市高三第一次模拟)如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α角，在平行板间存在着匀强电场，直线CD是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF与CD交于O点，一个带电小球沿着∠FOD的角平分线从A点经O点向B点做直线运动，重力加速度为g.则在此过程中，下列说法正确的是( )
A．小球带正电
B．小球可能做匀加速直线运动
C．小球加速度大小为gcs α
D．小球重力势能的增加量等于电势能的增加量
【模型演练7】一匀强电场，场强方向是水平的，如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从O点出发，初速度的大小为v0，在电场力和重力作用下恰好能沿与场强的反方向成θ角做直线运动，重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球运动到最高点时其电势能与O点的电势能之差．
【模型演练8】（2023·黑龙江哈尔滨一中高三上学期11月期中）如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量为q，从极板M的左边缘A处以初速度v0水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，重力加速度为g，则( )
A．微粒到达B点时动能为eq \f(1,2)mv02
B．微粒的加速度大小等于gsin θ
C．两极板的电势差UMN＝eq \f(mgd,qcs θ)
D．微粒从A点到B点的过程，电势能减少eq \f(mgd,cs θ)
【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型
【运动模型】质量为、电荷量为的带电粒子以初速沿垂直于电场的方向，进入长为、间距为、电压为的平行金属板间的匀强电场中，粒子将做匀变速曲线运动，如图所示，若不计粒子重力，则可求出如下相关量：
U
d
l
q
v0
y
1、粒子穿越电场的时间：
粒子在垂直于电场方向以做匀速直线运动，
，；
2、粒子离开电场时的速度：
粒子沿电场方向做匀加速直线运动，加速度，
粒子离开电场时平行电场方向的分速度，
所以。
3、粒子离开电场时的侧移距离：
②
②式涉及了描述粒子的物理量如、、、；描述设备的物理量、
不难发现：（1）当不同粒子（不同）以相同的速度进入偏转电场时侧移距离
（2）当不同粒子以相同的动能进入偏转电场时侧移距离
4、粒子离开电场时的偏角：
因为 ③
②与③的关系：（熟记）
5、速度方向的反向延长线必过偏转电场的中点
由和，可推得。粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的。
【模型演练1】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，一个带电粒子电荷量为q，以一定的水平初速度由P点射入匀强电场，当粒子从Q点射出电场时，其速度方向与竖直方向成30°角。已知匀强电场的宽度为d，P、Q两点的电势差为U，不计重力，设Q点的电势为零。则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在P点的电势能为UqB．带电粒子带负电
C．匀强电场场强大小为D．匀强电场场强大小为
【模型演练2】．（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）如图，在直角坐标系的一、四象限内有大小为、方向沿y轴正方向的匀强电场，虚线OM与x轴夹角。一带电量为、质量为m的粒子由静止释放，经过加速电压为的电压加速后从y轴上的Q点，以初速度沿x轴正方向射出，粒子做曲线运动垂直打在OM上的P点。已知粒子做曲线运动的时间为t，Q、P间沿y轴方向上的距离为。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在P处沿竖直方向速度小于B．加速电压为
C．D．P点横坐标为
【模型演练3】（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，原来静止的、电荷量为q、不计重力的带电粒子经左侧加速电场加速后，垂直于电场线方向进入偏转电场。当粒子进入偏转电场时的初速度为时，粒子离开偏转电场时沿电场线方向的速度为，其他条件不变，仅减小加速电压，粒子离开偏转电场时的速度v有可能是（ ）
A．B．C．D．
【模型演练4】(2020·全国卷Ⅰ·25)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示．质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直．已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°.运动中粒子仅受电场力作用．
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【模型演练5】(多选)(2022·江苏南京市、盐城市一模)两个质量相等、电荷量不等的带电粒子甲、乙，先后以不同的速率沿着HO方向垂直射入匀强电场，电场方向竖直向上，它们在圆形区域中运动的时间相同，其运动轨迹如图所示．不计粒子所受的重力，则下列说法中正确的是( )
A．甲粒子带正电荷
B．乙粒子所带的电荷量比甲粒子少
C．甲粒子在圆形区域中电势能变化量小
D．乙粒子进入电场时具有的动能比甲粒子大
【模型演练6】（2023·云南保山·统考三模）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场，速度方向与MN夹角θ=45°，一段时间后粒子运动到N点，速度大小也为v，不计粒子重力，规定M点电势为零。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子电势能的最大值；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子射入电场的速度大小。
【模型演练7】（2023·新疆·统考三模）如图所示，真空中平行金属板M、N之间的距离和板长均为L，两板间加恒定的电压。一带正电的粒子从两板中央沿平行两板的方向以某一初速度射入电场，最终恰好打在N板中点处。所用时间为t，不计带电粒子的重力。求：
（1）带电粒子的初速度大小；
（2）若在带电粒子运动时撤去所加电压，该粒子打在N板的位置与N板中点的距离。
【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型
【运动模型】如图所示，由静止开始被电场（加速电压为）加速的带电粒子平行于两正对的平行金属板且从两板正中间射入，从右侧射出，设在此过程中带电粒子没有碰到两极板。若金属板长为，板间距离为、两板间电压为，试分析带电粒子的运动情况。
U1
d
U2
q
v1
v2
L
q
v0
v1
q
y
1、粒子穿越加速电场获得的速度
设带电粒子的质量为，电量为，
经电压加速后速度为。由动能定理有
，
2、粒子穿越偏转电场的时间：
带电粒子以初速度平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为，则
3、粒子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度
4、粒子离开偏转电场时的侧移距离：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向作初速度为0的做匀加速直线运动 ④
④式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的侧移量与粒子的、无关。
5、粒子离开偏转电场时沿电场方向的速度为：
带电粒子离开电场时沿电场方向的速度为，则
6、粒子离开偏转电场时的偏角：
设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为。则⑤
⑤式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的偏转角与粒子的、无关。
【模型演练1】(多选)示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的．如图所示，不同的带负电粒子在电压为U1的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为U2的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则( )
A．若电荷量q相等，则带负电粒子在板间的加速度大小相等
B．若比荷eq \f(q,m)相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等
C．若电荷量q相等，则带负电粒子从M孔射出时的动能相等
D．若不同比荷eq \f(q,m)的带负电粒子由O点射入，偏转角度θ相同
【模型演练2】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两平行金属板A、B间电势差为，带电量为q、质量为m的带电粒子，由静止开始从极板A出发，经电场加速后射出，沿金属板C、D的中心轴线进入偏转电压为的偏转电场，最终从极板C的右边缘射出。偏转电场可看作匀强电场，板间距为d。忽略重力的影响。
（1）求带电粒子进入偏转电场时动量的大小。
（2）求偏转电场对带电粒子冲量的大小I和方向。
（3）保持其他条件不变，仅在极板C、D之间再施加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使得带电粒子恰好从距离极板D右边缘射出偏转电场，求该带电粒子离开偏转电场时的动能。
【模型演练3】．（2023·北京·高三专题练习）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。
【模型演练4】（2023·北京房山·统考一模）如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为x，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
（1）求电子穿过A板时的速度大小v0；
（2）求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
（3）求OP的距离Y。
【模型演练5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，在示波管中，质量为m，电荷量为-q的带电粒子从灯丝K射出（初速度不计），经加速电场U1（未知）加速，从AB板的中心S沿中心线KO射出时的速度大小为v，再经平行板电容器的偏转电场U2偏转后，又做一段匀速直线运动最后打到荧光屏上，显示出亮点C，已知平行板电容器的两极板间的距离为d，板长为l，偏转电场的右端到荧光屏的距离为L，不计带电粒子的重力。
（1）求加速电场的电压U1；
（2）求带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和荧光屏上OC间的距离；
（3）带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度D，如何通过改变平行板电容器的l或d来提高示波器的灵敏度D。
【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型
1.带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
(1)带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能
量守恒，即 恒定值
(2)带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力
势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
2.带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
【模型演练1】（2023·辽宁丹东·统考二模）真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为53°。如图所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道（电场没有画出），水平，长度为，是半径为的四分之一的圆弧，与相切于点。现将该小球由点静止释放，求从点开始运动的整个过程中（取重力加速度大小为，，）。
（1）小球受到的电场力大小及方向；
（2）从点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量；
（3）小球从c点离开轨道后速度最小时距c点的距离。
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图，竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域间距为H，在该区域下边界的O点将质量为m、电荷量为q的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的点，已知小球到达点的速度大小为从O点进入电场时速度大小的倍，动量方向与水平面的夹角为。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由O到的运动时间；
（3）在下边界水平放置一足够长的绝缘挡板，小球碰撞前后速度与挡板的夹角不变，若第二次碰撞点与的距离为，求第一次碰撞过程小球的动能损失。
【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图，地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，O、Q为水平地面上的两点。将一带正电荷的小球自电场中O点以的初动能竖直向上抛出，运动到最高点P点时小球的动能为，最后落回地面上的Q点，不计空气阻力，求：
（1）小球所受电场力与重力的比值为多少？
（2）小球落回Q点时的动能是多少？
（3）小球运动过程中的最小动能。
【模型演练4】（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，一质量为，带电量的小滑块静止在倾角为的绝缘光滑斜面底端，现在加一个沿斜面向上的匀强电场，小滑块开始沿斜面向上运动，运动一段时间（未知）后，小滑块的电势能减少了，此时撤去电场，又经过时间，小滑块又回到了斜面的底端．选斜面底端所在的平面势能为零，重力加速度用表示。求：
（1）小滑块返回到斜面底端时的动能；
（2）所加的匀强电场的电场强度大小；
（3）小滑块的动能为时的重力势能。
【模型演练5】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域间距为，在该区域下边界的点将质量为、电荷量为的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的点，已知小球到达点的速度大小为从点进入电场时速度大小的倍，动量方向与水平面的夹角为。不计空气阻力，重力加速度大小为。求：
（1）角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由到的运动时间。
U-t图
v-t图
t
O
v
v0
T/2
T
单向直线运动
A
B
速度不反向
[
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/2
-v0
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/8
-3v0
5T/8
t
O
v
v0
T/3
2T/3
往返直线运动
A
B
速度反向
T
-v0
轨迹图
O
A
B
O
A
B
A
O
A
B
D
C
O
A
B
A
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
mg
qE
mg
qE
θ
mg
qE
θ
qE=mg，a=0
qE=mgtanθ，a=g/csθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
运动模型
受力分析
运动分析
规律
mg
mg
●
qE
t
O
v
t2
t1
a
g
v0
= 1 \* GB3 ①速度公式v0=gt1=at2;
速度位移公式v02=2gx1=2ax2
= 2 \* GB3 ②全程动能定理：mg(h+d)-qU=0
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21431" 【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型 PAGEREF _Tc21431 \h 1
\l "_Tc12287" 1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型 PAGEREF _Tc12287 \h 1
\l "_Tc13517" 2.交变电场中的直线运动 PAGEREF _Tc13517 \h 8
\l "_Tc26341" 3.带电体在电场中的直线运动 PAGEREF _Tc26341 \h 12
\l "_Tc9926" 【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型 PAGEREF _Tc9926 \h 20
\l "_Tc23958" 【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型 PAGEREF _Tc23958 \h 29
\l "_Tc11003" 【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型 PAGEREF _Tc11003 \h 37
【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型
1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型
受力分析：
与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.
运动过程分析：
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，收到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加（减）速直线运动.
两种处理方法：
= 1 \* GB3 ①力和运动关系法——牛顿第二定律：
带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确定带电粒子的速度、时间和位移等.
= 2 \* GB3 ②功能关系法——动能定理：
带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则.
例：如图真空中有一对平行金属板，间距为d，接在电压为U的电源上，质量为m、电量为q的正电荷穿过正极板上的小孔以v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷穿出时的速度v是多大？
解法一、动力学：由牛顿第二定律： ①
由运动学知识：v2－v02=2ad ②
联立①②解得：
解法二、动能定理： 解得
讨论：
（1）若带电粒子在正极板处v0≠0，由动能定理得qU=mv2-mv02 解得v=
（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q，质量为m的带电粒子，以初速度v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动.
①若v0>，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v，
有 -qU=mv2-mv02 解得v=
②若v0<，则带电粒子不能从对面极板的小孔穿出，带电粒子速度减为零后，反方向加速运动，从左极板的小孔穿出，穿出时速度大小v=v0.
设带电粒子在电场中运动时距左极板的最远距离为x，由动能定理有： -qEx=0-mv02
又E=(式d中为两极板间距离) 解得x=.
【模型演练1】（2023·全国·高三假期作业）如图所示，两平行金属板相距为d，电势差U未知，一个电子从O点沿垂直于极板的方向以速度v射出，最远到达A点，然后返回，已知O、A相距为h，电子的质量为m，电荷量为e，则两金属板间的电势差U为（ ）
A．B．C．D．
【模型演练2】（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）如图所示，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，则关于电子到达Q板时的速度，下列说法正确的是（ ）
A．两板间距离越大，加速的时间就越长，获得的速度就越大
B．两板间距离越小，加速度就越大，获得的速度就越大
C．与两板间距离无关，仅与加速电压有关
D．以上说法均不正确
【模型演练3】（2023·河北保定·统考三模）一对平行正对的金属板C、D接入如图所示的电路中，电源电动势为E，C板固定，D板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，已知A到D板的距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为-e，忽略电子的重力，则（ ）
A．设定C板电势为0，电子在A点的电势能为
B．若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D板，可将D板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D板，可闭合开关，再将D板向右平移至某位置
【模型演练4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，半径为R的圆处在匀强电场中，O为圆心，圆所在平面与电场线平行，A、B是圆上两点，间劣弧为四分之一圆弧，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以大小为v0的速度从O点沿某一方向射出，到达B点时的动能为，若以垂直连线向左的方向仍以大小为的速度射出，过一段时间t粒子又回到O点，再改变粒子从O点射出的方向，射出速度大小仍为，结果粒子到达了A点，不计粒子的重力，则（ ）
A．B．A点电势比B点电势高
C．匀强电场的电场强度大小为D．O、A两点的电势差为
【模型演练5】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两极板加上恒定的电压U，将一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在正极板附近由静止释放，粒子向负极板做加速直线运动。不计粒子重力。若将两板间距离减小，再次释放该粒子，则（ ）
A．带电粒子获得的加速度变小
B．带电粒子到达负极板的时间变短
C．带电粒子到达负极板时的速度变小
D．加速全过程静电力对带电粒子的冲量变小
【模型演练6】（2023·高三课时练习）两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m、电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射入电场，最远到达A点，然后返回，如图所示，OA间距为h，则此电子的初动能为（ ）
A．B．C．D．
2.交变电场中的直线运动
【模型演练1】（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和多个横截面积相同的金属圆筒组成，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度遵照一定的规律依次增加．圆板和圆筒与交流电源相连，序号为奇数的圆筒和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。若电压的绝对值为U，电子电量大小为e，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t=0时刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1，电子在每个圆筒中运动的时间均小于T，且电子均在电压变向时恰从各圆筒中射出，不考虑相对论效应，则（ ）
A．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场
B．电子运动到第n个圆筒时动能为2neU
C．在t=时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值
D．第个和第n个圆筒的长度之比为∶
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示，一质量，电荷量的带负电的粒子从（-1cm，0）点由静止开始，仅在电场力作用下在x轴上范围内往返运动，则（ ）
A．x轴负半轴电场强度E1和正半轴电场强度E2的大小的比值为
B．粒子在范围内运动过程中，电场力的冲量为8.0×10-14N·s
C．该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为
D．该粒子运动的周期
【模型演练3】（2023·广东省湛江市高三上学期调研）如图甲所示，A板电势为0，A板中间有一小孔，B板的电势变化情况如图乙所示，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝eq \f(T,4)时刻以初速度为0从A板上的小孔处进入两极板间，仅在电场力作用下开始运动，恰好到达B板．则( )
A．A、B两板间的距离为 eq \r(\f(qU0T2,8m)) B．粒子在两板间的最大速度为 eq \r(\f(qU0,m))
C．粒子在两板间做匀加速直线运动
D．若粒子在t＝eq \f(T,8)时刻进入两极板间，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最终打向B板
【模型演练4】(2023·安徽合肥模拟)如图(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是( )
A．0＜t0＜eq \f(T,4) B.eq \f(T,2)＜t0＜eq \f(3T,4) C.eq \f(3T,4)＜t0＜T D．T＜t0＜eq \f(9T,8)
3.带电体在电场中的直线运动
(1).带电小球在电容器中的直线运动
(2)多过程运动规律
【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一带电量为的物块放在光滑绝缘水平面上，在恒力F作用下由静止开始从O点向右做匀加速直线运动，先经时间t力F做功，此后撤去力F，物块再经时间返回到出发点O，且回到出发点时的速度大小为v。设物块在O点的电势能为零，则（ ）
A．撤去力F时物块的速度大小为
B．物块向右滑动的最大距离为
C．物块回到出发点时的动能为
D．撤去力F时物块的电势能为
【模型演练2】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，绝缘水平面区域粗糙，区域光滑且处于一方向沿负方向、电场强度大小的匀强电场中，在处有3个完全相同的减速带，减速带的宽度远小于。一质量为、带电量为的小滑块（可视为质点）从处由静止释放，测量发现小滑块通过相邻2个减速带间的时间相同。已知小滑块与水平地面间的动摩擦因数为，小滑块通过每一个减速带时损失的机械能相同，重力加速度为，求：
（1）小滑块通过每一个减速带时损失的机械能；
（2）小滑块最终停在何处。
【模型演练3】(2023·浙江宁波市重点中学联考)如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D点时的电势能比在C点时的大
B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝eq \f(mg,E)
【模型演练4】（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电场，带电量为q（q>0）、质量为m的小球受水平向右大小为F的恒力，从M匀速运动到N。已知MN长为d，与力F的夹角为，重力加速度为g，则
A．场强大小为
B．M、N间的电势差为
C．从M到N，电场力做功为
D．若仅将力F方向顺时针转，小球将从M向N做匀变速曲线运动
【模型演练5】（2023·陕西安康·统考三模）如图所示，质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E的匀强电场中，以初速度沿直线做匀变速运动，直线与水平面的夹角为，若小球在初始位置的电势能为零，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场强度E的最小值为
B．匀强电场的方向可能竖直向上
C．如果小球加速运动且加速度大小为g，则电场强度
D．如果电场强度为，小球电势能的最大值为
【模型演练6】(2023·陕西榆林市高三第一次模拟)如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α角，在平行板间存在着匀强电场，直线CD是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF与CD交于O点，一个带电小球沿着∠FOD的角平分线从A点经O点向B点做直线运动，重力加速度为g.则在此过程中，下列说法正确的是( )
A．小球带正电
B．小球可能做匀加速直线运动
C．小球加速度大小为gcs α
D．小球重力势能的增加量等于电势能的增加量
【模型演练7】一匀强电场，场强方向是水平的，如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从O点出发，初速度的大小为v0，在电场力和重力作用下恰好能沿与场强的反方向成θ角做直线运动，重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球运动到最高点时其电势能与O点的电势能之差．
【模型演练8】（2023·黑龙江哈尔滨一中高三上学期11月期中）如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量为q，从极板M的左边缘A处以初速度v0水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，重力加速度为g，则( )
A．微粒到达B点时动能为eq \f(1,2)mv02
B．微粒的加速度大小等于gsin θ
C．两极板的电势差UMN＝eq \f(mgd,qcs θ)
D．微粒从A点到B点的过程，电势能减少eq \f(mgd,cs θ)
【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型
【运动模型】质量为、电荷量为的带电粒子以初速沿垂直于电场的方向，进入长为、间距为、电压为的平行金属板间的匀强电场中，粒子将做匀变速曲线运动，如图所示，若不计粒子重力，则可求出如下相关量：
U
d
l
q
v0
y
1、粒子穿越电场的时间：
粒子在垂直于电场方向以做匀速直线运动，
，；
2、粒子离开电场时的速度：
粒子沿电场方向做匀加速直线运动，加速度，
粒子离开电场时平行电场方向的分速度，
所以。
3、粒子离开电场时的侧移距离：
②
②式涉及了描述粒子的物理量如、、、；描述设备的物理量、
不难发现：（1）当不同粒子（不同）以相同的速度进入偏转电场时侧移距离
（2）当不同粒子以相同的动能进入偏转电场时侧移距离
4、粒子离开电场时的偏角：
因为 ③
②与③的关系：（熟记）
5、速度方向的反向延长线必过偏转电场的中点
由和，可推得。粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的。
【模型演练1】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，一个带电粒子电荷量为q，以一定的水平初速度由P点射入匀强电场，当粒子从Q点射出电场时，其速度方向与竖直方向成30°角。已知匀强电场的宽度为d，P、Q两点的电势差为U，不计重力，设Q点的电势为零。则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在P点的电势能为UqB．带电粒子带负电
C．匀强电场场强大小为D．匀强电场场强大小为
【模型演练2】．（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）如图，在直角坐标系的一、四象限内有大小为、方向沿y轴正方向的匀强电场，虚线OM与x轴夹角。一带电量为、质量为m的粒子由静止释放，经过加速电压为的电压加速后从y轴上的Q点，以初速度沿x轴正方向射出，粒子做曲线运动垂直打在OM上的P点。已知粒子做曲线运动的时间为t，Q、P间沿y轴方向上的距离为。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在P处沿竖直方向速度小于B．加速电压为
C．D．P点横坐标为
【模型演练3】（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，原来静止的、电荷量为q、不计重力的带电粒子经左侧加速电场加速后，垂直于电场线方向进入偏转电场。当粒子进入偏转电场时的初速度为时，粒子离开偏转电场时沿电场线方向的速度为，其他条件不变，仅减小加速电压，粒子离开偏转电场时的速度v有可能是（ ）
A．B．C．D．
【模型演练4】(2020·全国卷Ⅰ·25)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示．质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直．已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°.运动中粒子仅受电场力作用．
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【模型演练5】(多选)(2022·江苏南京市、盐城市一模)两个质量相等、电荷量不等的带电粒子甲、乙，先后以不同的速率沿着HO方向垂直射入匀强电场，电场方向竖直向上，它们在圆形区域中运动的时间相同，其运动轨迹如图所示．不计粒子所受的重力，则下列说法中正确的是( )
A．甲粒子带正电荷
B．乙粒子所带的电荷量比甲粒子少
C．甲粒子在圆形区域中电势能变化量小
D．乙粒子进入电场时具有的动能比甲粒子大
【模型演练6】（2023·云南保山·统考三模）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场，速度方向与MN夹角θ=45°，一段时间后粒子运动到N点，速度大小也为v，不计粒子重力，规定M点电势为零。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子电势能的最大值；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子射入电场的速度大小。
【模型演练7】（2023·新疆·统考三模）如图所示，真空中平行金属板M、N之间的距离和板长均为L，两板间加恒定的电压。一带正电的粒子从两板中央沿平行两板的方向以某一初速度射入电场，最终恰好打在N板中点处。所用时间为t，不计带电粒子的重力。求：
（1）带电粒子的初速度大小；
（2）若在带电粒子运动时撤去所加电压，该粒子打在N板的位置与N板中点的距离。
【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型
【运动模型】如图所示，由静止开始被电场（加速电压为）加速的带电粒子平行于两正对的平行金属板且从两板正中间射入，从右侧射出，设在此过程中带电粒子没有碰到两极板。若金属板长为，板间距离为、两板间电压为，试分析带电粒子的运动情况。
U1
d
U2
q
v1
v2
L
q
v0
v1
q
y
1、粒子穿越加速电场获得的速度
设带电粒子的质量为，电量为，
经电压加速后速度为。由动能定理有
，
2、粒子穿越偏转电场的时间：
带电粒子以初速度平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为，则
3、粒子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度
4、粒子离开偏转电场时的侧移距离：
带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向作初速度为0的做匀加速直线运动 ④
④式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的侧移量与粒子的、无关。
5、粒子离开偏转电场时沿电场方向的速度为：
带电粒子离开电场时沿电场方向的速度为，则
6、粒子离开偏转电场时的偏角：
设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为。则⑤
⑤式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的偏转角与粒子的、无关。
【模型演练1】(多选)示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的．如图所示，不同的带负电粒子在电压为U1的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为U2的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则( )
A．若电荷量q相等，则带负电粒子在板间的加速度大小相等
B．若比荷eq \f(q,m)相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等
C．若电荷量q相等，则带负电粒子从M孔射出时的动能相等
D．若不同比荷eq \f(q,m)的带负电粒子由O点射入，偏转角度θ相同
【模型演练2】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两平行金属板A、B间电势差为，带电量为q、质量为m的带电粒子，由静止开始从极板A出发，经电场加速后射出，沿金属板C、D的中心轴线进入偏转电压为的偏转电场，最终从极板C的右边缘射出。偏转电场可看作匀强电场，板间距为d。忽略重力的影响。
（1）求带电粒子进入偏转电场时动量的大小。
（2）求偏转电场对带电粒子冲量的大小I和方向。
（3）保持其他条件不变，仅在极板C、D之间再施加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使得带电粒子恰好从距离极板D右边缘射出偏转电场，求该带电粒子离开偏转电场时的动能。
【模型演练3】．（2023·北京·高三专题练习）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。
【模型演练4】（2023·北京房山·统考一模）如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为x，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
（1）求电子穿过A板时的速度大小v0；
（2）求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
（3）求OP的距离Y。
【模型演练5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，在示波管中，质量为m，电荷量为-q的带电粒子从灯丝K射出（初速度不计），经加速电场U1（未知）加速，从AB板的中心S沿中心线KO射出时的速度大小为v，再经平行板电容器的偏转电场U2偏转后，又做一段匀速直线运动最后打到荧光屏上，显示出亮点C，已知平行板电容器的两极板间的距离为d，板长为l，偏转电场的右端到荧光屏的距离为L，不计带电粒子的重力。
（1）求加速电场的电压U1；
（2）求带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和荧光屏上OC间的距离；
（3）带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度D，如何通过改变平行板电容器的l或d来提高示波器的灵敏度D。
【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型
1.带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
(1)带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能
量守恒，即 恒定值
(2)带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力
势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
2.带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
【模型演练1】（2023·辽宁丹东·统考二模）真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为53°。如图所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道（电场没有画出），水平，长度为，是半径为的四分之一的圆弧，与相切于点。现将该小球由点静止释放，求从点开始运动的整个过程中（取重力加速度大小为，，）。
（1）小球受到的电场力大小及方向；
（2）从点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量；
（3）小球从c点离开轨道后速度最小时距c点的距离。
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图，竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域间距为H，在该区域下边界的O点将质量为m、电荷量为q的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的点，已知小球到达点的速度大小为从O点进入电场时速度大小的倍，动量方向与水平面的夹角为。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由O到的运动时间；
（3）在下边界水平放置一足够长的绝缘挡板，小球碰撞前后速度与挡板的夹角不变，若第二次碰撞点与的距离为，求第一次碰撞过程小球的动能损失。
【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图，地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，O、Q为水平地面上的两点。将一带正电荷的小球自电场中O点以的初动能竖直向上抛出，运动到最高点P点时小球的动能为，最后落回地面上的Q点，不计空气阻力，求：
（1）小球所受电场力与重力的比值为多少？
（2）小球落回Q点时的动能是多少？
（3）小球运动过程中的最小动能。
【模型演练4】（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，一质量为，带电量的小滑块静止在倾角为的绝缘光滑斜面底端，现在加一个沿斜面向上的匀强电场，小滑块开始沿斜面向上运动，运动一段时间（未知）后，小滑块的电势能减少了，此时撤去电场，又经过时间，小滑块又回到了斜面的底端．选斜面底端所在的平面势能为零，重力加速度用表示。求：
（1）小滑块返回到斜面底端时的动能；
（2）所加的匀强电场的电场强度大小；
（3）小滑块的动能为时的重力势能。
【模型演练5】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域间距为，在该区域下边界的点将质量为、电荷量为的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的点，已知小球到达点的速度大小为从点进入电场时速度大小的倍，动量方向与水平面的夹角为。不计空气阻力，重力加速度大小为。求：
（1）角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由到的运动时间。
U-t图
v-t图
t
O
v
v0
T/2
T
单向直线运动
A
B
速度不反向
[
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/2
-v0
t
O
v
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/8
-3v0
5T/8
t
O
v
v0
T/3
2T/3
往返直线运动
A
B
速度反向
T
-v0
轨迹图
O
A
B
O
A
B
A
O
A
B
D
C
O
A
B
A
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
mg
qE
mg
qE
θ
mg
qE
θ
qE=mg，a=0
qE=mgtanθ，a=g/csθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
qE=mg/csθ，a=gtanθ
运动模型
受力分析
运动分析
规律
mg
mg
●
qE
t
O
v
t2
t1
a
g
v0
= 1 \* GB3 ①速度公式v0=gt1=at2;
速度位移公式v02=2gx1=2ax2
= 2 \* GB3 ②全程动能定理：mg(h+d)-qU=0
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
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