2024湖北省部分学校高三上学期12月联考数学试卷含答案

这是一份2024湖北省部分学校高三上学期12月联考数学试卷含答案，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知是第一象限角，且，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，满足，且，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
4.直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在棱长都相等的正三棱柱中，为棱的中点，则直线与直线所成的角为（ ）
A. B. C. D.
6.已知是第一象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A. B.4 C. D.5
8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（ ）
A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为
B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为
C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为
D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为
10.在椭圆中，为椭圆的右焦点，为椭圆的左顶点，为椭圆短轴上的顶点，若椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C.大于 D.
11.已知函数的定义域为，，则（ ）
A. B.
C.为奇函数 D.没有极值点
12.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A.这两个球体的半径之和的最大值为
B.这两个球体的半径之和的最大值为
C.这两个球体的表面积之和的最大值为
D.这两个球体的表面积之和的最大值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在的展开式中，的系数为___________.
14.已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为___________.
15.已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为___________.
16.已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.（12分）
如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，，，，.
（1）证明：.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（12分）已知数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若，记数列的前99项和为，求.
20.（12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程，
（2）证明：.
21.（12分）
已知双曲线的焦距为，点在上.
（1）求的方程；
（2），分别为的左､右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为A，B，若直线，互相垂直，求面积的最大值.
22.（12分）
有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）
（1）若，，求；
（2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
湖北省高三12月联考
数学参考答案
1.C ，，.
2.B .
3.D 因为，所以，解得..
4.C 设是所求直线上任意一点，则关于轴对称的点为，且在直线上，代入可得，即.
5.D 设E，F分别为棱，的中点，连接，，，易得，，所以（或其补角）为直线与直线所成的角.设正三棱柱的棱长为，则，，，，所以，.
6.A 因为是第一象限角，且，所以，，
，，.
7.B ，，
两式相减可得
，所以.
因为，所以，即.故.
8.A 由题意可得，在上有解，即有解.令，，则.令函数，.当时，，所以在上单调递增.为偶函数，所以在上单调递减.
，，故，
9.ABD 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%，A正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确.，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为，C错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为，D正确.
10.ACD 因为，所以，即，所以，，.因为，所以，即大于.
11.AC 令，得，A正确.
令，得，令，得，则为奇函数，C正确.
由，可得，当时，可设，则，当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，此时有极值点，D错误.
的值不确定，B错误.
12.BC 当这两个球体的表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示.过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为.设圆的半径为，圆的半径为r，的最大值为，且取最大值时，，所以，，，，.因为，所以①，整理得，解得.
令函数，，.令函数，，所以是增函数.又因为，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.由①可得，这两个球体的表面积之和为.令，函数在上单调递增，所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.
13.15 ，令，解得，故的系数为.
14.5 设抛物线的焦点为，则.由抛物线的定义可得到该抛物线准线的距离等于，.
15. 因为的图象关于直线对称，所以，，解得，.因为在上单调，所以，即，解得.当时，.当时，，所以当，时，单调递减.故的最大值为.
16. 因为是偶函数，所以，.因为成等差数列，所以，则.因为，所以，解得，.
17.解：（1）因为，所以.
因为，所以，解得.
（2）由（1）可得.因为，所以，解得.
18.解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，，
（1）证明：因为，所以.
（2）设平面的法向量为，则
即不妨取，则.
易得平面，所以是平面的一个法向量，且..
故平面与平面的夹角的余弦值为.
19.解：（1）因为，
所以，，
累加得，
所以.
（2）因为，所以.
当时，；当时，；当时，.
所以数列是以3为周期的数列.
故.
20.（1）解：，，.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）证明：由（1）得.
令函数，则，所以是增函数.
，，
所以存在，使得，即.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
.
因为，所以，
所以.
故.
21.解：（1）由题可知，
解得故的方程为.
（2）由题可知，直线，的斜率均存在，设，过且与相切的直线，
联立方程组整理得，
则，整理得.
将代人，得，则，
从而.
因为切线，互相垂直，所以，即.
所以，，
当且仅当时，等号成立.
故面积的最大值为.
22.解：（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况.
要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：
①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
故所求概率为.
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗.
因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.
以给定所在位置的序号作为条件，.
当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.
当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，
此时.
由全概率公式知.
令函数，.
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.
所以当，时取得最大值，最大值为，此时，