苏科版八年级上册第四章 实数4.2 立方根导学案及答案

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知识点01 立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【微点拨】
一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
【即学即练1】下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】根据实数，绝对值，平方根，立方根，平行公理等知识逐项判断即可．
【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②应该是“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故错误；
③负数没有立方根，错误；
④16的平方根是，用式子表示是，故错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确；
故错误的有：②，③，④，
故选：D．
知识点02 立方根的特征
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【微点拨】
任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
【即学即练2】下列说法不正确的是（ ）
A．4的平方根是±2B．正数、零和负数都有立方根
C．只有非负数才有平方根D．-27的立方根是
【答案】D
【分析】如果 那么是的平方根，如果 那么是的立方根，根据定义逐一分析即可得到答案.
【详解】解：4的平方根是±2，说法正确，故A不符合题意；
正数、零和负数都有立方根，说法正确，故B不符合题意；
只有非负数才有平方根，说法正确，故C不符合题意；
-27的立方根是 原说法错误，故D符合题意；
故选D
知识点03 立方根的性质
【微点拨】
第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【即学即练3】下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据算术平方根的性质、立方根的性质、乘方法则、绝对值的性质进行化简即可．
【详解】A、，故A错误；
B、，故B正确；
C．，故C错误；
D．−|-2|＝-2，故D错误．
故选：B．
知识点04 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
【即学即练4】若，，则下列各式中正确的是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解．
【详解】被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，
，
故选：B．
考法01 求一个数的立方根
求一个数的立方根的运算法，叫做开立方。
1.将被开立方数的整数部分从个位起向左每三 位分为一组;
2.根据最左边一组， 求得立方根的最高位数;
3.用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数;
4.用求得的最高 位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商;并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数:
5.用同样方法继续进行 下去。
【典例1】下列判断：①10的平方根是±；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④（）3＝a；⑤＝±a2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平方根和算术平方根的概念，对每一个答案一一判断对错．
【详解】解：①10的平方根是±，正确；
②是相反数，正确；
③0.1的算术平方根是，故错误；
④（）3＝a，正确；
⑤a2，故错误；
正确的是①②④，有3个．
故选：C．
题组A 基础过关练
1．的立方根为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根）解决此题．
【详解】解：．
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用算术平方根的性质和立方根的性质依次分析即可．
【详解】A选项正确；
B选项的计算结果为4，所以错误；
C选项，所以错误；
D选项的计算结果为2，所以错误；
故选：A．
3．下列式子没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据立方根和平方根的性质可得答案．
【详解】解：A、被开方数是正数，该式子有意义，故本选项正确，不合题意；
B、（-3）2=9，被开方数是正数，该式子有意义，故本选项正确，不合题意；
C、三次根式的被开方数可以是任何数，该式子有意义，故本选项正确，不合题意．
D、被开方数是负数，该式子无意义，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零
B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
C．任何数的立方根都只有一个
D．负数没有立方根
【答案】C
【分析】根据立方根的定义和性质解答即可．
【详解】解：A、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是-1、0、1，此说法错误，不符合题意；
B、负数有立方根，没有平方根，此说法错误，不符合题意；
C、任何数的立方根都只有一个，此说法正确，符合题意；
D、负数的立方根是一个负数，此说法错误，不符合题意．
故选：C．
5．的算术平方根为_____，﹣27立方根为_____．
【答案】 2； ﹣3
【分析】根据算术平方根与立方根的性质即可求出答案．
【详解】解：∵＝4，4的算术平方根为2，
∴的算术平方根为2；
∵，
∴﹣27立方根为﹣3，
故答案为：2；﹣3
6．计算：__．
【答案】
【分析】直接根据立方根的概念判断即可．
【详解】解：，
故答案为：．
7．求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)等式两边同时除以4，然后再根据平方根的定义开平方即可；
(2)移项，再根据立方根的定义开立方即可求出答案；
【详解】(1)解：
(2)解：
题组B 能力提升练
1．下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．＝﹣2C．＝2D．＝±2
【答案】A
【分析】根据算术平方根与立方根的意义进行判断即可．
【详解】解：A. ＝2，故该选项正确；
B. ＝2，故该选项错误；
C. ＝-2，故该选项错误；
D. ＝2，故该选项错误．
故选：A．
2．若，则与的关系是
A．B．与相等
C．与互为相反数D．
【答案】C
【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题．
【详解】解：，
，
与的关系是互为相反数（或，或．
故选：C．
3．若实数m，n满足，则的立方根为（ ）
A．-3B．3C．±3D．
【答案】A
【分析】利用平方及绝对值的非负性，可求出，，代入即可进行求解．
【详解】解：由题意可知，
∵，，且，
∴，，
即，，
解得：，，
∴，
故选：A．
4．在相连两个2之间1的个数逐次加1中，无理数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先分别计算零指数幂、立方根与算术平方根，再根据无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）进行判断即可得．
【详解】解：，是有理数，
，，都是有理数，
0和都是有理数，
（相连两个2之间1的个数逐次加1）都是无理数，共有3个，
故选：C．
5．计算：＝___．
【答案】1
【分析】根据平方和立方根的定义分别化简，再计算算术平方根即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
6．已知，则__．
【答案】55.39
【分析】根据“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可．
【详解】解：，
故答案为：55.39．
7．已知，，，．若n为整数且，则n的值为____________________．
【答案】12
【分析】由已知可得，，由立方根定义及不等式性质可得，，结合题中条件可知，，即．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵n为整数且，
∴．
故答案为：12．
8．已知：一个正数的两个不同平方根分别是和．
(1)求的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)；(2)2
【分析】（1）根据正数的平方根的性质解决此题；
（2）根据立方根的定义解决此题．
【详解】(1)解：由题得，，
，
，
，
．
(2)由（1）得，，
，
的立方根是2．
9．对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
【答案】-2
【分析】根据和互为相反数，可得，从而得到，再由的平方根是它本身，可得，即可求解．
【详解】解：和互为相反数，
，
，
解得：，
的平方根是它本身，
，
，
，
的立方根是．
10．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值；
(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
（2）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
（3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；
【详解】(1)，
．
(2)，
．
．
(3)，
．
．
，即．
题组C 培优拔尖练
1．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴．
故选：A．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解．
【详解】解：
,
,
故选:B.
3．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
4．下列等式：①，②，③，④，⑤，⑥；正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】根据算术平方根定义及立方根定义解答．
【详解】解：，故①错误；
，故②正确；
，故③正确；
，故④正确；
，故⑤错误；
，故⑥正确；
故选：A．
5．若a、b为实数．且在数轴上的位置如图所示，且，化简的值为______．
【答案】
【分析】根据数轴可判断a与b的符号，再结合已知可确定a+b的符号，再根据绝对值的计算、算术平方根的性质：、立方根的性质，即可完成化简．
【详解】由数轴知：
∵|a|＞|b|
∴
=
故答案为：
6．已知，且，则的算术平方根是________．
【答案】2
【分析】先对已知等式进行变形，再利用偶次方和算术平方根的非负性求出a、b的值，然后利用立方根求出c的值，最后代入求值，计算算术平方根即可得．
【详解】，
，
，
则，解得，
由得：，
则的算术平方根是，
故答案为：2．
7．阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的分析试一试：
（1）由，，可知是两位数．
（2）由59319的个位数字是9，可知的个位数字是9．
（3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位数字是3．请应用以上方法计算：__________，__________，__________．
【答案】 27 56 91．
【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第（2）和第（3）步求出个位数和十位数即可．
【详解】解：由题意得：题中所给出几个数的立方根都是两位数，根据题中所给的（2）可知：，和的个位数分别为7，6和1，
∵19683去掉后3位得到19，175616去掉后3位得到175，753571去掉后3为得到753，
23＜19＜33，53＜175＜63，93＜753＜103，
∴，和的十位数分别为：2，5和9，
∴，，．
故答案为：27；56；91．
8．（1）求出下列各数：
①的立方根 ；
②5的平方根 ；
③4的算术平方根 ．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上（可通过构造相应的直角三角形准确地找到无理数所对应的点），并用连接大小．
【答案】（1）①；②；③2；（2）数轴见解析，
【分析】（1）根据立方根、平方根，算术平方根的定义可求．
（2）根据数的正负号及勾股定理求距离找到对应点．
【详解】解：（1）．
5的平方根：．
4的算术平方根：．
故答案为：，，2．
（2）数轴如图所示：
由数轴可知：．
9．已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
【答案】
【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∴，
∵ 即：，
∴，
∴．
10．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：______．
【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）．
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可；
（2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】解：（1）第一步：，，，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是2，，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：∵ ，，，
∴，
∴能确定85184的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是4，，
∴能确定85184的立方根的个位数是4．
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
而，则，可得，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，
即．
故答案为：44．
课程标准
课标解读
掌握立方根的概念
能计算简单开立方根是数
了解立方根的含义；
探究立方根的概念
掌握立方根的计算
会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.