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2022~2023学年江苏省南通市如皋市搬经镇初级中学八年级（上）月考数学试卷（9月）（含解析）
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这是一份2022~2023学年江苏省南通市如皋市搬经镇初级中学八年级（上）月考数学试卷（9月）（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB//ED，AC//FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是
( )
A. AB=DEB. AC=DFC. ∠A=∠DD. BF=EC
3.如图，已知两个三角形全等，那么∠1的度数是
( )
A. 50∘B. 58∘C. 60∘D. 72∘
4.如图，已知 BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF 的长度是
( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.点A(2,−1)关于y轴对称的点的坐标为
( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (−2,1)D. (1,2)
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC=( )
A. 25cmB. 45cmC. 50cmD. 55cm
7.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是
( )
A. 68.如图，在▵ABC中，∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠A=50∘，则∠FDE的度数为
( )
A. 75∘B. 70∘C. 65∘D. 60∘
9.如图，已知▵ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD=4，则▵ABC的面积是
( )
A. 64B. 48C. 32D. 42
10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则▵CDM周长的最小值为
( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
12.如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2= °.
13.如图，△ABD≌△EBC，AB=4cm，BC=7cm，则DE= cm．
14.若等腰三角形一个外角等于100°，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)，则点B的坐标是 ．
16.如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，BC=11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N.分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE=AB，连接DE，则△CDE的周长为 ．
17.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，且BDBC=14，点E、F在线段AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC，若S△ABC=20，则S△ABE+S△CDF是 ．
18.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE=4，则DF= ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
(3)在图③中，画一个ΔDEF，使ΔDEF与ΔABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
20.(本小题8分)
如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠B=∠C．
21.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AD⊥BC于D，CE分别交AB、AD于E、F两点，且BD=FD，AD=CD，试说明CF与AB的关系．
22.(本小题8分)
已知：如图，AB=AE，AB//DE，∠ECB+∠D=180°.求证：△ABC≌△EAD．
23.(本小题8分)
已知：∠AOB+∠CPD=180°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D.求证：PC=PD．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
(1)求证：BE=CF；
(2)如果AB=5，AC=3，求BE的长．
25.(本小题8分)
新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1，▵ABC和▵ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．
(2)如图2，▵ABC和▵ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在▵ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
26.(本小题8分)
【问题引领】
(1)问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，先证明▵CBE≌▵CDG，再证明▵CEF≌▵CGF.他得出的正确结论是___________．
【探究思考】
(2)问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ECF=12∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．【拓展延伸】
(3)问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】根据轴对称图形的概念可直接进行排除选项．
解：由轴对称图形的性质可知：A选项符合题意，B、C、D都不是轴对称图形；
故选A．
本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选C．
3.【答案】A
【解析】根据全等三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴∠2=∠1=180°−58°−72°=50°，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
4.【答案】D
【解析】根据角平分线的性质进行求解即可得．
【详解】∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：依题意得：A(2,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−2,−1)，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，注意：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
6.【答案】C
【解析】由垂直平分线的性质可求得AD=BD，则△ACD的周长可化为AC+CD+BD，即AC+BC，可求得答案．
【详解】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．
7.【答案】C
【解析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC−CE【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE，
∵AD是边BC上的中线，
∴CD=BD，
在△ABD和△CED中，
AD=DE∠ADB=∠EDCCD=BD ，
∴△ABD≌△CED，
∴AB=CE=6，
在△ACE中，8−6∴1故选：C．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．
8.【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定推出△BFD≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BFD=∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠C= 12 ×(180°−∠A)=65°，求出∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°−∠B=115°，再求出答案即可．
【详解】解：∵在△BFD和△CDE中，
BF=CD∠B=∠CBD=CE ，
∴△BFD≌△CDE(SAS)，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠B=∠C，∠A=50°，
∴∠B=∠C= 12 ×(180°−∠A)=65°，
∴∠FDB+∠CDE=∠FDB+∠BFD=180°−∠B=115°，
∴∠FDE=180°−(∠FDB+∠EDC)=180°−115°=65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据全等三角形的性质得出∠BFD=∠CDE是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】连接 AM ，过 M 作 ME⊥AB 于 E ， MF⊥AC 于 F ，根据角平分线的性质得出 ME=MD=MF=4 ，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接 AM ，过 M 作 ME⊥AB 于 E ， MF⊥AC 于 F ，
∵MB 和 MC 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ， MD⊥BC ， MD=4 ，
∴ME=MD=4 ， MF=MD=4 ，
∵▵ABC 的周长是 16 ，
∴AB+BC+AC=16 ，
∴▵ABC 的面积 S=S▵AMC+S▵BCM+S▵ABM =12×AC×MF+12×BC×DM+12×AB×ME
=12×AC×4+12×BC×4+12×AB×4
=2AC+BC+AB
=2×16=32 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出 DM=ME=ME=4 是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】连接 AD ，由于 ▵ABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A ，故AD的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 AD ，
∵▵ABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 的中点，
∴AD⊥BC ，
∴S▵ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16 ，解得 AD=8 ，
∵EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A ，
∴AD 的长为 CM+MD 的最小值，
∴▵CDM 的周长最短 =CM+MD+CD=AD+CD
=AD+12BC=8+12×4=8+2=10 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称 − 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】ASA
【解析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【详解】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA．
故答案为：ASA．
12.【答案】90°
【解析】如图，通过“边角边”证明△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质可得∠BAE=∠1，进而得到答案．
【详解】如图，由题意可得在△ABE与△CDE中，
AE=CE=2∠E=∠E=90∘BE=DE=1 ，
∴△ABE≌△CDE(SAS)，
∴∠BAE=∠1，
∴∠1+∠2=∠BAE +∠2=90°．
故答案为：90°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
13.【答案】3
【解析】根据全等三角形的性质得出BE=AB=4cm，BD=BC=7cm，代入DE=BD−BE求出即可．
【详解】解：∵△ABD≌△EBC，AB=4cm，BC=7cm，
∴BE=AB=4cm，BD=BC=7cm，
∴DE=BD−BE=3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．
14.【答案】80°或20°
【解析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论，由此即可求解．
【详解】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°；
当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°；
当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的顶角为80°或20°．
故答案为：20°或80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
15.【答案】(1,5)
【解析】先证明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD=CE，DC=EB，然后再根据点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)，即可得到点B的坐标．
【详解】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，如图所示，
则∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
{∠ADC=∠CEBCAD=∠BCEAC=CB ，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，DC=EB，
∵点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)，
∴OD=7，AD=3，OC=2，
∴CE=3，BE=OD−OC=7−2=5，
∴OE=CE−OC=3−2=1，
∴点B的坐标为(1,5)，
故答案为：(1,5)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】14
【解析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD=DE，即可得出答案．
【详解】解：∵AB=6，AC=9，BC=11，AE=AB，
∴EC=AC−AE=9−6=3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，
∵ AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD ，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴BD=DE，
∴△DEC的周长为：DE+EC+DC=BD+DC+EC=BC+EC=11+3=14．
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了作图−基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
17.【答案】15
【解析】先证△ABE≌△CAF得出△ABE和△CAF的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，然后再根据 BDBC=14 求解即可．
【详解】解：∵∠BED=∠CFD=∠BAC，
∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA
在△ABE和△CAF中
∠ABE=∠CAFAB=AC∠BAE=∠FCA
∴ ▵ABE≌▵CAF(ASA)
∴ S▵ABE=S▵CAF
∴ S▵ABE+S▵CDF=S▵CAF+S▵CDF=S▵ACD
∵ BDBC=14 ， S▵ABC=20
∴ S▵ACD=34S▵ABC=15
故答案为 15
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、三角形的面积、三角形的外角性质等知识点，灵活运用全等三角形成为解答本题的关键．
18.【答案】8
【解析】过 D 作 DH//AC 交 AB 于 H ，延长 BE 与 DH 的延长线交于 G 点，由 DH//AC 得到 ∠BDH=45∘ ，则 ΔHBD 为等腰直角三角形，于是 HB=HD ，由 ∠GDE=∠EDB=22.5∘ 得到 DE 平分 ∠BDG ，根据 ΔBDE 和 ΔGDE 全等得到 BG=2BE ，然后再根据“ ASA ”证明 ΔBGH≌ΔDFH ，则 BG=DF ，从而得到 DF=BG=2BE ，代值即可得到线段长度．
【详解】解：过 D 作 DH//AC 交 AB 于 H ，延长 BE 与 DH 的延长线交于 G 点，如图所示：
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45∘ ，
∵DH//AC ，
∴∠BDH=∠C=45∘ ， ∠BHD=∠A=90∘ ，
∴ΔHBD 为等腰直角三角形，
∴HB=HD ，
∵∠EDB=12∠ACB=22.5∘ ，
∴∠GDE=∠EDB=22.5∘ ，
∴DE 平分 ∠BDG ，
∵ DE⊥BG ，
∴∠GED=∠BED=90∘ ，
在 ΔBDE 和 ΔGDE 中，
∠GED=∠BED=90∘ED=ED∠GDE=∠BDE=22.5∘ ，
∴ΔBDE≌ΔGDEAAS ，
∴BE=GE ，即 BG=2BE ，
在 ΔBGH 和 ΔDFH 中，
∠GBH=∠FDH=22.5∘BH=DH∠GHB=∠FHD ，
∴ΔBGH≌ΔDFH(ASA) ，
∴BG=DF ，
∴DF=2BE=8 ，
故答案为： 8 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“ SSS ”、“ SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”；全等三角形的对应边相等，也考查了平行线的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：如图①， 3×3 的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接 MN 即为所求；
【小题2】解：如图②，同理(1)可得， PQ 即为所求
【小题3】解：如图③，同理(1)可得， ΔDEF 即为所求．
【解析】1. 先画出一条 3×3 的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接 MN 即可．
2. 同(1)方法可解
3. 同(1)方法可解
20.【答案】证明：在 ▵ABD 和 ▵ACD 中
∵AB=ACBD=CDAD=AD ，
∴▵ABD ≌ ▵ACD ，
∴∠B=∠C ．
【解析】欲证明 ∠B=∠C ，只要证明 ▵ADB ≌ ▵ADC 即可．
21.【答案】解：CF=AB，CF⊥AB，理由如下：
∵AD⊥BC 于 D ，
∴∠ADB=∠CDF=90∘ ，
在 ▵ADB 和 ▵CDF 中，
BD=FD∠ADB=∠CDFAD=CD ，
∴△ADB≌△CDF(SAS) ，
∴∠BAD=∠FCD ， AB=CF ，
∵ ∠ADB=90∘ ，
∴∠B+∠BAD=90∘ ，
∴∠B+∠FCD=90∘ ，
∴∠BEC=90∘ ，
∴CF⊥AB ．
【解析】先根据AD⊥BC可得 ∠ADB=∠CDF=90∘ ，进而可利用“SAS”证明 △ADB≌△CDF ，由此可得 ∠BAD=∠FCD ， AB=CF ，进而即可证得 CF⊥AB ．
22.【答案】证明：∵AB // DE，
∴∠CAB=∠E，
∵∠ECB+∠D=180°，∠ECB+∠ACB=180°，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC与△EAD中，
∠CAB=∠E∠ACB=∠DAB=AE ，
∴△ABC≌△EAD(AAS).
【解析】根据全等三角形的判定方法解答即可
23.【答案】解：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
∠CFP=∠DEPPE=PF∠1=∠2 ，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，
∴PC=PD．
【解析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24.【答案】【小题1】
证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD ，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF
【小题2】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∴CF=AF−AC=AE−AC，
由(1)知：BE=CF，
∴AB−AE=AE−AC
即5−AE=AE−3，
∴AE=4，
∴BE=AB−AE=5−4=1，
【解析】1. 连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，即可得出结论
2. 证明Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，得AE=AF，则CF=AF−AC=AE−AC，又因为BE=AB−AE，由(1)知BE=CF，则AB−AE= AE−AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
25.【答案】【小题1】
证明：∵ ▵ABC 和 ▵ADE 互为“兄弟三角形”，
∴ ∠BAC=∠DAE ， AB=AC ， AD=AE ，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC ，
即 ∠CAE=∠BAD ，
∴ ▵BAD≌▵CAE (SAS)，
∴ BD=CE ．
【小题2】
证明：如图，过点A作 AG⊥BM 于G， AH⊥EM 于H，
∵ ▵ABC 和 ▵ADE 互为 “兄弟三角形”，
∴ ∠BAC=∠DAE ， AB=AC ， AD=AE ，
∴ ∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，
即 ∠CAE=∠BAD ，
∴ ▵BAD≌▵CAE (SAS)，
∴ ∠ABG=∠ACH ，
∵ AG⊥BM ， AH⊥EM ，
∴ ∠AGB=∠AHC=90∘ ，
∴ ▵BAG≌▵CAH (SAS)，
∴ AG=AH ，
∴AM平分 ∠BME ．
【解析】1. 根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE，进而得到∠CAE=∠BAD，再证明 ▵BAD≌▵CAE 即可得到答案；
2. 过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明 ▵BAD≌▵CAE ，根据全等三角形的对应高相等得到AG=AH，根据角平分线的判定定理证明结论．
26.【答案】【小题1】
EF=FD+BE
【小题2】
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠GDC
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDGBC=CD ，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD，即∠ECG=∠BCD，
∵∠ECF= 12 ∠BCD，
∴∠ECF= 12 ∠ECG，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF ，
∴△CEF≌△CGF，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=DF+BE；
【小题3】
问题3.结论：DF=EF+BE；理由：如图3，
在DF上取一点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=∠GDC，
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDGBC=CD ，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCE+∠BCG=∠DCG+∠BCG，即∠ECG=∠BCD，
∵∠ECF= 12 ∠BCD，
∴∠ECF= 12 ∠ECG，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF ，
∴△CEF≌△CGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴DF=FG+DG=EF+BE．
【解析】1. 问题1，先证明△CBE≌△CDG，得到CE=CG，∠BCE=∠DCG，再证明△CEF≌△CGF，得到EF=GF，即可得到EF=DF+DG=FD+BE；
解：(1)问题1、EF =BE+FD，
理由：延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠CDG=180°−∠ADC=90°，
∴∠CBE=∠CDG=90°
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDG=90∘BC=CD ，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD，即∠ECG=∠BCD=120°，
∵∠ECF=60°，
∴∠GCF=∠ECG−∠ECF=60°，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF ，
∴△CEF≌△CGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=FD+BE；
故答案为：EF=FD+BE；
2. 问题2、延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，先判断出∠ABC=∠GDC，进而判断出△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；
3. 问题3、在DF上取一点G.使DG=BE.连接CG，然后同问题2的方法即可得出结论．
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB//ED，AC//FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是
( )
A. AB=DEB. AC=DFC. ∠A=∠DD. BF=EC
3.如图，已知两个三角形全等，那么∠1的度数是
( )
A. 50∘B. 58∘C. 60∘D. 72∘
4.如图，已知 BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF 的长度是
( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.点A(2,−1)关于y轴对称的点的坐标为
( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (−2,1)D. (1,2)
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC=( )
A. 25cmB. 45cmC. 50cmD. 55cm
7.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是
( )
A. 6
( )
A. 75∘B. 70∘C. 65∘D. 60∘
9.如图，已知▵ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD=4，则▵ABC的面积是
( )
A. 64B. 48C. 32D. 42
10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则▵CDM周长的最小值为
( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
12.如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2= °.
13.如图，△ABD≌△EBC，AB=4cm，BC=7cm，则DE= cm．
14.若等腰三角形一个外角等于100°，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)，则点B的坐标是 ．
16.如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，BC=11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N.分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE=AB，连接DE，则△CDE的周长为 ．
17.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，且BDBC=14，点E、F在线段AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC，若S△ABC=20，则S△ABE+S△CDF是 ．
18.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE=4，则DF= ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
(3)在图③中，画一个ΔDEF，使ΔDEF与ΔABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
20.(本小题8分)
如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠B=∠C．
21.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AD⊥BC于D，CE分别交AB、AD于E、F两点，且BD=FD，AD=CD，试说明CF与AB的关系．
22.(本小题8分)
已知：如图，AB=AE，AB//DE，∠ECB+∠D=180°.求证：△ABC≌△EAD．
23.(本小题8分)
已知：∠AOB+∠CPD=180°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D.求证：PC=PD．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
(1)求证：BE=CF；
(2)如果AB=5，AC=3，求BE的长．
25.(本小题8分)
新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1，▵ABC和▵ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．
(2)如图2，▵ABC和▵ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在▵ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
26.(本小题8分)
【问题引领】
(1)问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，先证明▵CBE≌▵CDG，再证明▵CEF≌▵CGF.他得出的正确结论是___________．
【探究思考】
(2)问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ECF=12∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．【拓展延伸】
(3)问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】根据轴对称图形的概念可直接进行排除选项．
解：由轴对称图形的性质可知：A选项符合题意，B、C、D都不是轴对称图形；
故选A．
本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选C．
3.【答案】A
【解析】根据全等三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴∠2=∠1=180°−58°−72°=50°，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
4.【答案】D
【解析】根据角平分线的性质进行求解即可得．
【详解】∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：依题意得：A(2,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−2,−1)，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，注意：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
6.【答案】C
【解析】由垂直平分线的性质可求得AD=BD，则△ACD的周长可化为AC+CD+BD，即AC+BC，可求得答案．
【详解】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．
7.【答案】C
【解析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC−CE
∵AD是边BC上的中线，
∴CD=BD，
在△ABD和△CED中，
AD=DE∠ADB=∠EDCCD=BD ，
∴△ABD≌△CED，
∴AB=CE=6，
在△ACE中，8−6
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．
8.【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定推出△BFD≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BFD=∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠C= 12 ×(180°−∠A)=65°，求出∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°−∠B=115°，再求出答案即可．
【详解】解：∵在△BFD和△CDE中，
BF=CD∠B=∠CBD=CE ，
∴△BFD≌△CDE(SAS)，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠B=∠C，∠A=50°，
∴∠B=∠C= 12 ×(180°−∠A)=65°，
∴∠FDB+∠CDE=∠FDB+∠BFD=180°−∠B=115°，
∴∠FDE=180°−(∠FDB+∠EDC)=180°−115°=65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据全等三角形的性质得出∠BFD=∠CDE是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】连接 AM ，过 M 作 ME⊥AB 于 E ， MF⊥AC 于 F ，根据角平分线的性质得出 ME=MD=MF=4 ，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接 AM ，过 M 作 ME⊥AB 于 E ， MF⊥AC 于 F ，
∵MB 和 MC 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ， MD⊥BC ， MD=4 ，
∴ME=MD=4 ， MF=MD=4 ，
∵▵ABC 的周长是 16 ，
∴AB+BC+AC=16 ，
∴▵ABC 的面积 S=S▵AMC+S▵BCM+S▵ABM =12×AC×MF+12×BC×DM+12×AB×ME
=12×AC×4+12×BC×4+12×AB×4
=2AC+BC+AB
=2×16=32 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出 DM=ME=ME=4 是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】连接 AD ，由于 ▵ABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A ，故AD的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 AD ，
∵▵ABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 的中点，
∴AD⊥BC ，
∴S▵ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16 ，解得 AD=8 ，
∵EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A ，
∴AD 的长为 CM+MD 的最小值，
∴▵CDM 的周长最短 =CM+MD+CD=AD+CD
=AD+12BC=8+12×4=8+2=10 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称 − 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】ASA
【解析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【详解】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA．
故答案为：ASA．
12.【答案】90°
【解析】如图，通过“边角边”证明△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质可得∠BAE=∠1，进而得到答案．
【详解】如图，由题意可得在△ABE与△CDE中，
AE=CE=2∠E=∠E=90∘BE=DE=1 ，
∴△ABE≌△CDE(SAS)，
∴∠BAE=∠1，
∴∠1+∠2=∠BAE +∠2=90°．
故答案为：90°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
13.【答案】3
【解析】根据全等三角形的性质得出BE=AB=4cm，BD=BC=7cm，代入DE=BD−BE求出即可．
【详解】解：∵△ABD≌△EBC，AB=4cm，BC=7cm，
∴BE=AB=4cm，BD=BC=7cm，
∴DE=BD−BE=3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．
14.【答案】80°或20°
【解析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论，由此即可求解．
【详解】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°；
当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°；
当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的顶角为80°或20°．
故答案为：20°或80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
15.【答案】(1,5)
【解析】先证明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD=CE，DC=EB，然后再根据点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)，即可得到点B的坐标．
【详解】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，如图所示，
则∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
{∠ADC=∠CEBCAD=∠BCEAC=CB ，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，DC=EB，
∵点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)，
∴OD=7，AD=3，OC=2，
∴CE=3，BE=OD−OC=7−2=5，
∴OE=CE−OC=3−2=1，
∴点B的坐标为(1,5)，
故答案为：(1,5)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】14
【解析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD=DE，即可得出答案．
【详解】解：∵AB=6，AC=9，BC=11，AE=AB，
∴EC=AC−AE=9−6=3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，
∵ AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD ，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴BD=DE，
∴△DEC的周长为：DE+EC+DC=BD+DC+EC=BC+EC=11+3=14．
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了作图−基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
17.【答案】15
【解析】先证△ABE≌△CAF得出△ABE和△CAF的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，然后再根据 BDBC=14 求解即可．
【详解】解：∵∠BED=∠CFD=∠BAC，
∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA
在△ABE和△CAF中
∠ABE=∠CAFAB=AC∠BAE=∠FCA
∴ ▵ABE≌▵CAF(ASA)
∴ S▵ABE=S▵CAF
∴ S▵ABE+S▵CDF=S▵CAF+S▵CDF=S▵ACD
∵ BDBC=14 ， S▵ABC=20
∴ S▵ACD=34S▵ABC=15
故答案为 15
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、三角形的面积、三角形的外角性质等知识点，灵活运用全等三角形成为解答本题的关键．
18.【答案】8
【解析】过 D 作 DH//AC 交 AB 于 H ，延长 BE 与 DH 的延长线交于 G 点，由 DH//AC 得到 ∠BDH=45∘ ，则 ΔHBD 为等腰直角三角形，于是 HB=HD ，由 ∠GDE=∠EDB=22.5∘ 得到 DE 平分 ∠BDG ，根据 ΔBDE 和 ΔGDE 全等得到 BG=2BE ，然后再根据“ ASA ”证明 ΔBGH≌ΔDFH ，则 BG=DF ，从而得到 DF=BG=2BE ，代值即可得到线段长度．
【详解】解：过 D 作 DH//AC 交 AB 于 H ，延长 BE 与 DH 的延长线交于 G 点，如图所示：
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45∘ ，
∵DH//AC ，
∴∠BDH=∠C=45∘ ， ∠BHD=∠A=90∘ ，
∴ΔHBD 为等腰直角三角形，
∴HB=HD ，
∵∠EDB=12∠ACB=22.5∘ ，
∴∠GDE=∠EDB=22.5∘ ，
∴DE 平分 ∠BDG ，
∵ DE⊥BG ，
∴∠GED=∠BED=90∘ ，
在 ΔBDE 和 ΔGDE 中，
∠GED=∠BED=90∘ED=ED∠GDE=∠BDE=22.5∘ ，
∴ΔBDE≌ΔGDEAAS ，
∴BE=GE ，即 BG=2BE ，
在 ΔBGH 和 ΔDFH 中，
∠GBH=∠FDH=22.5∘BH=DH∠GHB=∠FHD ，
∴ΔBGH≌ΔDFH(ASA) ，
∴BG=DF ，
∴DF=2BE=8 ，
故答案为： 8 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“ SSS ”、“ SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”；全等三角形的对应边相等，也考查了平行线的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：如图①， 3×3 的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接 MN 即为所求；
【小题2】解：如图②，同理(1)可得， PQ 即为所求
【小题3】解：如图③，同理(1)可得， ΔDEF 即为所求．
【解析】1. 先画出一条 3×3 的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接 MN 即可．
2. 同(1)方法可解
3. 同(1)方法可解
20.【答案】证明：在 ▵ABD 和 ▵ACD 中
∵AB=ACBD=CDAD=AD ，
∴▵ABD ≌ ▵ACD ，
∴∠B=∠C ．
【解析】欲证明 ∠B=∠C ，只要证明 ▵ADB ≌ ▵ADC 即可．
21.【答案】解：CF=AB，CF⊥AB，理由如下：
∵AD⊥BC 于 D ，
∴∠ADB=∠CDF=90∘ ，
在 ▵ADB 和 ▵CDF 中，
BD=FD∠ADB=∠CDFAD=CD ，
∴△ADB≌△CDF(SAS) ，
∴∠BAD=∠FCD ， AB=CF ，
∵ ∠ADB=90∘ ，
∴∠B+∠BAD=90∘ ，
∴∠B+∠FCD=90∘ ，
∴∠BEC=90∘ ，
∴CF⊥AB ．
【解析】先根据AD⊥BC可得 ∠ADB=∠CDF=90∘ ，进而可利用“SAS”证明 △ADB≌△CDF ，由此可得 ∠BAD=∠FCD ， AB=CF ，进而即可证得 CF⊥AB ．
22.【答案】证明：∵AB // DE，
∴∠CAB=∠E，
∵∠ECB+∠D=180°，∠ECB+∠ACB=180°，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC与△EAD中，
∠CAB=∠E∠ACB=∠DAB=AE ，
∴△ABC≌△EAD(AAS).
【解析】根据全等三角形的判定方法解答即可
23.【答案】解：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
∠CFP=∠DEPPE=PF∠1=∠2 ，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，
∴PC=PD．
【解析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24.【答案】【小题1】
证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD ，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF
【小题2】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∴CF=AF−AC=AE−AC，
由(1)知：BE=CF，
∴AB−AE=AE−AC
即5−AE=AE−3，
∴AE=4，
∴BE=AB−AE=5−4=1，
【解析】1. 连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，即可得出结论
2. 证明Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，得AE=AF，则CF=AF−AC=AE−AC，又因为BE=AB−AE，由(1)知BE=CF，则AB−AE= AE−AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
25.【答案】【小题1】
证明：∵ ▵ABC 和 ▵ADE 互为“兄弟三角形”，
∴ ∠BAC=∠DAE ， AB=AC ， AD=AE ，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC ，
即 ∠CAE=∠BAD ，
∴ ▵BAD≌▵CAE (SAS)，
∴ BD=CE ．
【小题2】
证明：如图，过点A作 AG⊥BM 于G， AH⊥EM 于H，
∵ ▵ABC 和 ▵ADE 互为 “兄弟三角形”，
∴ ∠BAC=∠DAE ， AB=AC ， AD=AE ，
∴ ∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，
即 ∠CAE=∠BAD ，
∴ ▵BAD≌▵CAE (SAS)，
∴ ∠ABG=∠ACH ，
∵ AG⊥BM ， AH⊥EM ，
∴ ∠AGB=∠AHC=90∘ ，
∴ ▵BAG≌▵CAH (SAS)，
∴ AG=AH ，
∴AM平分 ∠BME ．
【解析】1. 根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE，进而得到∠CAE=∠BAD，再证明 ▵BAD≌▵CAE 即可得到答案；
2. 过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明 ▵BAD≌▵CAE ，根据全等三角形的对应高相等得到AG=AH，根据角平分线的判定定理证明结论．
26.【答案】【小题1】
EF=FD+BE
【小题2】
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠GDC
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDGBC=CD ，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD，即∠ECG=∠BCD，
∵∠ECF= 12 ∠BCD，
∴∠ECF= 12 ∠ECG，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF ，
∴△CEF≌△CGF，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=DF+BE；
【小题3】
问题3.结论：DF=EF+BE；理由：如图3，
在DF上取一点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=∠GDC，
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDGBC=CD ，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCE+∠BCG=∠DCG+∠BCG，即∠ECG=∠BCD，
∵∠ECF= 12 ∠BCD，
∴∠ECF= 12 ∠ECG，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF ，
∴△CEF≌△CGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴DF=FG+DG=EF+BE．
【解析】1. 问题1，先证明△CBE≌△CDG，得到CE=CG，∠BCE=∠DCG，再证明△CEF≌△CGF，得到EF=GF，即可得到EF=DF+DG=FD+BE；
解：(1)问题1、EF =BE+FD，
理由：延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠CDG=180°−∠ADC=90°，
∴∠CBE=∠CDG=90°
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDG=90∘BC=CD ，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD，即∠ECG=∠BCD=120°，
∵∠ECF=60°，
∴∠GCF=∠ECG−∠ECF=60°，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF ，
∴△CEF≌△CGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=FD+BE；
故答案为：EF=FD+BE；
2. 问题2、延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，先判断出∠ABC=∠GDC，进而判断出△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；
3. 问题3、在DF上取一点G.使DG=BE.连接CG，然后同问题2的方法即可得出结论．
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