第5章 分式单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版）

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第5章 分式单元测试卷（B卷提升篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2019•宁波模拟）分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3 【思路点拨】根据分式值为零的条件可得x﹣3≠0，|x|﹣3＝0，再解即可． 【答案】解：由题意得：x﹣3≠0，|x|﹣3＝0， 解得：x＝﹣3， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 2．（3分）（2020•浦城县二模）下列变形正确的是（　　） A．＝ B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质即可求出答案． 【答案】解：（A）≠，故A错误； （B）＝，故B错误； （C）﹣1＝，故C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 3．（3分）（2020•历下区校级模拟）化简﹣x+1，得（　　） A．﹣ B．﹣ C．2﹣x2 D． 【思路点拨】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 【答案】解：﹣x+1 ＝﹣（x﹣1） ＝﹣ ＝ 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练通分是解题的关键． 4．（3分）（2018•长安区一模）若△÷，则“△”可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案． 【答案】解：∵△÷， ∴△＝× ＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式再化简是解题关键． 5．（3分）（2020•武威模拟）若分式方程2+＝有增根，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝2代入计算即可求出k的值． 【答案】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1， 由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1， 解得：k＝1． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 6．（3分）（2020春•滨江区期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x≠﹣2 B．x≠1 C．x≠﹣2或x≠1 D．x≠﹣2且x≠1 【思路点拨】根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x﹣1≠0，再求出即可． 【答案】解：要使分式有意义，必须x+2≠0且x﹣1≠0， 解得：x≠﹣2且x≠1， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出x+2≠0且x﹣1≠0是解此题的关键． 7．（3分）（2020春•杭州期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（　　） A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0 【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【答案】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3， 整理，得：（m+2）x＝﹣3， 解得， ①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程﹣1＝无解， ∴或， 解得m＝﹣3． ∴m的值是﹣2或﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 8．（3分）（2020•鹿城区校级二模）王师傅乘大巴车从甲地到相距60千米的乙地办事，办好事后乘出租车返回甲地，出租车的平均速度比大巴车快20千米/时，回来时乘出租车所花时间比去时乘大巴车节省了．设大巴车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据回来时乘出租车所花时间比去时乘大巴车节省了，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【答案】解：由题意可得， （1﹣）＝， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 9．（3分）（2020•温岭市校级一模）某市要筑一水坝，需要在规定天数内完成，如果由甲队去做，恰能如期完成；如果由乙队去做，需超过规定天数三天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队独自做，恰好在规定天数内完成．设规定的天数为x，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设规定的天数为x，则甲队单独去做需要x天，乙队单独去做需要（x+3）天，根据甲队完成的部分+乙队完成的部分＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【答案】解：设规定的天数为x，则甲队单独去做需要x天，乙队单独去做需要（x+3）天， 依题意，得：+＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10．（3分）（2019春•滨江区期末）已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+，则下列两个结论（　　） ①ab＝1时，M＝N；ab＞1时，M＜N．②若a+b＝0，则M•N≤0． A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错 【思路点拨】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可求得结论； ②根据分式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可结论． 【答案】解：∵M＝，N＝， ∴M﹣N＝﹣（） ＝， ①当ab＝1时，M﹣N＝0， ∴M＝N， 当ab＞1时，2ab＞2， ∴2ab﹣2＞0， 当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0， ∴M﹣N＞0或M﹣N＜0， ∴M＞N或M＜N； 当ab＜1时，ab可能同号，也可能异号， ∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，②2ab﹣a＜0， ∴M＞N或M＜N， 故①错误； ②M•N＝（﹣）•（） ＝， ∵a+b＝0， ∴原式＝ ＝， ∵a≠﹣1，b≠﹣1， ∴（a+1）2（b+1）2＞0， ∵a+b＝0， ∴ab≤0，M•N≤0， 故②对． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的加减，分式的乘除，灵活运用分式的运算法则是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2020•下城区模拟）若分式不论x取任何实数总有意义，则m的取值范围是　m＞1　． 【思路点拨】要使分式有意义，分式的分母不能为0． 【答案】解：由题意得x2﹣2x+m≠0， x2﹣2x+1+m﹣1≠0， ∴（x﹣1）2+（m﹣1）≠0， ∵（x﹣1）2≥0， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1时，分式不论x取任何实数总有意义． 故m的取值范围是：m＞1． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；完全平方式是非负数． 12．（4分）（2018•余杭区一模）已知分式+，若x＝3时，分式无意义，则a＝　3或﹣3　． 【思路点拨】把x＝3代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可． 【答案】解：把x＝3代入得：+， ∵此时分式无意义， ∴9﹣a2＝0或a﹣3＝0， 解得：a＝3或﹣3， 故答案为：3或﹣3． 【点睛】本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键． 13．（4分）（2020•绥化一模）若分式方程的解为正数，则a的取值范围是　a＜8，且a≠4　． 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解为正数求出a的范围即可． 【答案】解：分式方程去分母得：x＝2x﹣8+a， 解得：x＝8﹣a， 根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4， 解得：a＜8，且a≠4． 故答案为：a＜8，且a≠4． 【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 14．（4分）（2019•郓城县模拟）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是　　，第n个式子是　　（用含的n式子表示，n为正整数）． 【思路点拨】观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂；分子的变化为：2、5、10、17…n2+1；分式符号的变化为：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1． 【答案】解：∵＝（﹣1）2•， ＝（﹣1）3•， ＝（﹣1）4•， … ∴第7个式子是， 第n个式子为：． 故答案是：，． 【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 15．（4分）（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：x2+4x﹣1＝0，则的值为　　． 【思路点拨】已知等式整理后，代入原式计算即可得到结果． 【答案】解：由x2+4x﹣1＝0，得到x2＝﹣4x+1， 则原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（4分）（2020•滨州模拟）数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣＝﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是　15　． 【思路点拨】根据题意，利用已知规律求未知数，从x＞5判断，x相当于已知规律中的15． 【答案】解：∵x＞5 ∴x相当于已知调和数15， 代入得，﹣＝﹣， 解得，x＝15． 经检验得出：x＝15是原方程的解． 故答案为：15． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是通过观察分析，未知调和数利用已知调和数来解得． 三．解答题（共7小题，共66分） 17．（6分）（2019•金华模拟）先化简，再求值：，其中﹣3≤a≤0，请选择一个你喜欢的整数求值． 【思路点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得． 【答案】解：原式＝•﹣ ＝﹣ ＝， ∵a≠﹣1且a≠﹣2，a≠﹣3， ∴取a＝0， 则原式＝﹣1． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18．（8分）（2019•海宁市二模）先化简，再求值：，其中|x|≤1，且x为整数． 小海同学的解法如下： 解：原式＝﹣ …① ＝（x﹣1）2﹣x2+3 …② ＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3 …③ ＝﹣2x+2．…④ 当x＝﹣1时，…⑤ 原式＝﹣2×（﹣1）+2…⑥ ＝2+2＝4．…⑦ 请指出他解答过程中的错误（写出相应的序号，多写不给分），并写出正确的解答过程． 【思路点拨】第二步错误，不能去分母，写出正确的解答过程即可． 【答案】解：第②步错误， 正确解答过程为：原式＝﹣＝﹣＝＝﹣， 由|x|≤1，得到﹣1≤x≤1，即整数x＝﹣1，0，1， 当x＝0时，原式＝2． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（8分）（2020春•东阳市期末）小明在解一道分式方程，过程如下： 第一步：方程整理 第二步：去分母… （1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是　分式的基本性质　、　等式的基本性质　； （2）请把以上解分式方程过程补充完整． 【思路点拨】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可； （2）写出正确的解题过程即可． 【答案】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质． 故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质； （2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5， 去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5， 移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5， 合并得：﹣2x＝﹣6， 系数化为1得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． 20．（10分）（2017春•长泰县月考）已知关于x的分式方程+＝ （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 【思路点拨】方程去分母转化为整式方程， （1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可； （2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值； （3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可． 【答案】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）， 去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 移项合并得：（m+1）x＝﹣5， （1）∵x＝1是分式方程的增根， ∴1+m＝﹣5， 解得：m＝﹣6； （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6； （3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 21．（10分）（2020春•西湖区期末）已知m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b）． （1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求m，n的值． （2）比较n+与2a2的大小． （3）当m＝12，n＝18时，求﹣的值． 【思路点拨】（1）将a、b的代入m、n中，即可得到m、n的值； （2）两式作差，然后和0比较大小，即可判断n+与2a2的大小； （3）先对所求式子变形，再根据m、n的值即可解答本题． 【答案】解：（1）∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab，a＝3，b＝﹣2， ∴m＝32×（﹣2）＝﹣18，n＝3×32﹣2×3×（﹣2）＝39， 即m、n的值分别为﹣18，39； （2）∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b）， ∴n+﹣2a2 ＝3a2﹣2ab+﹣2a2 ＝3a2﹣2ab+b2﹣2a2 ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2＞0， 即n+＞2a2； （3）﹣ ＝ ＝， ∵m＝a2b，n＝3a2﹣2ab，m＝12，n＝18， ∴原式＝＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22．（12分）（2019春•西湖区校级月考）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数＝　　． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数＝　　． （3）若分式的值是整数，求整数x的值． （4）已知，求的值． 【思路点拨】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以﹣1即可， （2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可， （3）将分式变形得2+，要使结果是整数，x﹣1＝±1，或x﹣1＝±5，进而求出x的整数值即可， （4）倒数法，先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可． 【答案】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以﹣1得， ＝． （2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得， ＝， （3）＝＝+＝2+ 要使分式的值为整数， ∴x﹣1＝±1，或x﹣1＝±5， 解得，x1＝0，x2＝2，x3＝6，x4＝﹣4， 答：整数x的值为0，2，6，﹣4． （4）∵， ∴x2+＝4﹣2＝2， ∵＝＝3， ∴＝． 故答案为：（1）；（2）； 【点睛】考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提． 23．（12分）（2019春•江干区期末）第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至25日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2022年亚运会的主场馆．某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数． （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 【思路点拨】（1）根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数； （2）设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成2400个零件的生产任务，列出方程求解即可． 【答案】解：（1）设原计划每天生产的零件x个，由题意得， ， 得x＝2400， 经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意． ∴规定的天数为24000÷2400＝10（天）． 答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天； （2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有 [5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）＝24000， 解得y＝480， 经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意． 答：原计划安排的工人人数为480人． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．