2023年上海市中考数学真题

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1. 本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．
2. 作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．
3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．
4. 选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．
【详解】解：A、，故正确，符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
2. 在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
3. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ）

A. 小车的车流量与公车的车流量稳定；B. 小车的车流量的平均数较大；
C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D. 小车与公车车流量的变化趋势相同．
【答案】B
【解析】
【分析】根据折线统计图逐项判断即可得．
【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；
B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；
C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；
D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．
5. 在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
【详解】A：，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B：，
为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
∴∥
四边形为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
6. 已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：
①；②
则下列说法正确的是（ ）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①②均正确D. ①②均错误
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形为等腰梯形，即，时，①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
【详解】解：过作，交延长线于，如图所示：

若梯形为等腰梯形，即，时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，

，即，
又，
，
在中，，，则，
，此时①正确；
过作于，如图所示：

在中，，，，则，，
，此时②正确；
而题中，梯形是否为等腰梯形，并未确定；梯形是还是，并未确定，
无法保证①②正确，
故选：D．
【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
8. 化简：的结果为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
9. 已知关于的方程，则________
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式性质，等式两边平方，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，，即，
，
等式两边分别平方，
移项，，符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．
10. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由可知：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．
11. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．
【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
13. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为，
则，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
14. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
15. 如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵向量，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．
16. 垃圾分类（Refuse srting），是指按照垃圾不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．
【答案】1500吨
【解析】
【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解．
【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为（吨），
∴全市可收集的干垃圾总量为（吨）；
故答案为1500吨．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．
17. 如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，根据题意可得：，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
则在中，∵，
∴，
解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
18. 在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：由题意画出图形如下：连接，

过点，且，
的半径为7，
过点，它的半径为，且，
，
，
，，
在边上，点在延长线上，
，即，
，
与有公共点，
，即，
不等式①可化为，
解方程得：或，
画出函数的大致图象如下：

由函数图象可知，当时，，
即不等式①的解集为，
同理可得：不等式②的解集为或，
则不等式组的解集为，
又，
半径r的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，共78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
20. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
21. 如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．

（1）求的半径；
（2）求的正切值．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；
（2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得．
【小问1详解】
解：如图，延长，交于点，连接，

由圆周角定理得：，
弦的长为8，且，
，
解得，
的半径为．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，

的半径为5，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
则的正切值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
22. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买会员卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
【答案】（1）900 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，整理求解即可；
（3）当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，（元），
答：实际花了900元购买会员卡；
【小问2详解】
解：由题意知，，整理得，
∴y关于x的函数解析式为；
【小问3详解】
解：当，则，
∵，
∴优惠后油的单价比原价便宜元．
【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．
23. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

（1）求证：
（2）若，求证：
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【小问1详解】
证明：，
，
在和中，，
，
．
小问2详解】
证明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已证：，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】（1），
（2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得；
（2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c；
（3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，
当时，代入得：，故，
当时，代入得：，故，
【小问2详解】
设，
则可设抛物线的解析式为：，
∵抛物线M经过点B，
将代入得：，
∵，
∴，
即，
∴将代入，
整理得：，
故，；
【小问3详解】
如图：
∵轴，点P在x轴上，
∴设，，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点，点向下平移的距离相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴抛物线N的函数解析式为：，
将代入可得：，
∴抛物线N的函数解析式为：或．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
25. 如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．

（1）如果，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长；
（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证；
（2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解；
（3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：∵
∴
∵
∴,
∴
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，点边中点，
设，，则
由（1）可得
∴，
∴，
又∵
∴,
∴
即，
∵，
在中，，
∴，
∴
解得：或（舍去）
∴；
【小问3详解】
解：①当时，点与点重合，舍去；
②当时，如图所示，延长交于点P，

∵点是的中点，，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
连接交于点，

∵，
∴
∴，
∴，
在与中，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键．