（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案7.2《空间点、直线、平面之间的位置关系》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.理解空间直线、平面位置关系的定义，提升空间想象能力，凸显直观想象的核心素养．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理，培养阅读理解能力，凸显数学抽象的核心素养．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养分析问题、解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．公理1～3
[提醒] 公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
3．空间中两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
5．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
2．下列命题正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二、易错点练清
1．下列关于异面直线的说法正确的是( )
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
2．(忽视直线在平面内)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α
3．如图所示，已知在长方体ABCD­EFGH中，AB＝2eq \r(3)，AD＝2eq \r(3)，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________；AE和BG所成角的大小是________．
考点一 平面的基本性质及应用
[典例] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[方法技巧]
1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[针对训练]
1.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
考点二 空间两条直线的位置关系
[典例] (1)(多选)下列结论正确的是( )
A．在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交
D．空间中四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c
(2)已知α是一个平面，m，n是两条不同的直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
[方法技巧] 空间两直线位置关系的判定方法
[针对训练]
1．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A．AE∥CD B．CH∥BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE
考点三 异面直线所成的角
[典例] (1)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AA1＝2AB，D是AA1的中点，则BD与A1C1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
(2)在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(10),5) B.eq \f(3\r(10),10) C.eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(10),10)
[方法技巧] 平移法求异面直线所成角的步骤
[针对训练]
1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(14),14) B.eq \f(8\r(3),14) C.eq \f(\r(13),13) D.eq \f(1,3)
2．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4.若球O的体积为8eq \r(6)π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为________．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)下列推断中，正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
3．下列命题中，错误命题的个数为( )
①直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行；
②直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直；
③异面直线a，b不垂直，则过直线a的任何平面与直线b都不垂直；
④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和c共面．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
二、综合练——练思维敏锐度
1．设α，β为不重合的两个平面，m，n为不重合的两条直线，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A．α∥β，m⊂α，n⊂β ⇒m∥n
B．α⊥γ，β⊥γ ⇒α∥β
C．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β
D．α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n⇒α∥γ
3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
4．若平面α，β的公共点多于两个，则
①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．
以上四个判断中不成立的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
6．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则( )
A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD1C1
C．直线BN与B1M所成的角为60°
D．BN∥平面ADM
7.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
9．如图，在三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．
10.如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O­ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(A∈l,B∈l,A∈α,B∈α)) ⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
平移
平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移
证明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角
寻找
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角