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（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.3《二次函数与幂函数》 (2份打包，原卷版+教师版)
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这是一份（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.3《二次函数与幂函数》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含小白高考新高考数学零基础一轮复习教案23《二次函数与幂函数》教师版doc、小白高考新高考数学零基础一轮复习教案23《二次函数与幂函数》原卷版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共20页， 欢迎下载使用。
1.与不等式、方程等问题综合考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查二次函数的图象与性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，eq \f(1,2)，﹣1时的情形．
2．五种幂函数的图象与性质
3.二次函数解析式的三种形式
4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(幂函数的概念)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2))，则k＋α＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案：C
2．(幂函数的图象)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c答案：D
3．(二次函数的图象)已知抛物线y＝8x2﹣(m＋1)x＋m﹣7的顶点在x轴上，则m＝________.
答案：15
4．(二次函数的值域)函数f(x)＝2x2﹣6x＋1在区间[﹣1,1]上的最小值是________，最大值是________．
答案：﹣3 9
二、易错点练清
1．(图象特征把握不准)如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是( )
答案：C
2．(对二次函数的单调性理解不到位)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
答案：(﹣∞,﹣eq \f(1,6)]
3．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)＝x SKIPIF 1 < 0 ，若f(a＋1)答案：(3,5)
考点一 幂函数的图象与性质
[典例] (1)与函数y＝x SKIPIF 1 < 0 ﹣1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
(2)已知a＝3 SKIPIF 1 < 0 ，b＝4 SKIPIF 1 < 0 ，c＝12 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b[解析] (1)y＝x SKIPIF 1 < 0 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x SKIPIF 1 < 0 ﹣1的图象可看作由y＝x SKIPIF 1 < 0 的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y＝x SKIPIF 1 < 0 ﹣1的图象关于x轴对称后即为选项B.
(2)因为a＝81 SKIPIF 1 < 0 ，b＝16 SKIPIF 1 < 0 ，c＝12 SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数y＝x SKIPIF 1 < 0 在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
幂函数图象与性质的应用
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
[针对训练]
1．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则( )
A．函数f(x)在定义域内为增函数 B．函数f(x)为偶函数
C．当x>1时，f(x)>1 D．当0解析：选ACD 由题意得4α＝2，∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝x SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(x)，∴函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)＝eq \r(x)>1，故C正确；
由函数图象知f(x)＝eq \r(x)为“上凸函数”，故D正确，故选A、C、D.
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝﹣1 C．m＝﹣1或m＝2 D．m≠eq \f(1±\r(5),2)
解析：选A 因为函数y＝(m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.
3．若(2m＋1)eq \f(1,2)>(m2＋m﹣1)eq \f(1,2)，则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣eq \f(1＋\r(5),2)] B.[eq \f(\r(5)－1,2)，+∞) C．(﹣1,2) D.[eq \f(\r(5)－1,2)，2)
解析：选D 因为函数y＝x SKIPIF 1 < 0 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1>m2＋m－1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－\f(1,2)，,m≤\f(－\r(5)－1,2)或m≥\f(\r(5)－1,2)，,－1即eq \f(\r(5)－1,2)≤m<2.故选D.
考点二 求二次函数的解析式
[典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一：利用一般式
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求二次函数为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
法二：利用顶点式
设f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(﹣1)，
∴抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(1,2).
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴f(x)＝a(x﹣eq \f(1,2))2＋8.
∵f(2)＝﹣1，∴a(2﹣eq \f(1,2))2＋8＝﹣1，解得a＝﹣4，∴f(x)＝﹣4(x﹣eq \f(1,2))2＋8＝﹣4x2＋4x＋7.
法三：利用零点式
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，故可设f(x)＋1＝a(x﹣2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2﹣ax﹣2a﹣1(a≠0)．
又函数有最大值ymax＝8，即eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.解得a＝﹣4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
[方法技巧] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
[针对训练]
1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(﹣2，﹣1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式f(x)＝________________.
解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－2，,4a－2b＋c＝－1，,a＋b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,9)，,b＝\f(4,9)，,c＝－\f(5,9)，))
因此所求解析式为f(x)＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9).
法二：设f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)．
∵二次函数f(x)图象的顶点坐标是(﹣2，﹣1)，∴f(x)＝a(x＋2)2﹣1.
∵图象经过点(1,0)，∴f(1)＝a(1＋2)2﹣1＝9a﹣1＝0，∴a＝eq \f(1,9)，
∴f(x)＝eq \f(1,9)(x＋2)2﹣1＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9).
答案：eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9)
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2﹣x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．
解：∵f(2﹣x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象经过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x﹣1)(x﹣3)，
即f(x)＝x2﹣4x＋3.
考点三 二次函数的图象与性质
考法(一) 二次函数的图象识别
[例1] (多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则( )
A．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)＜0
C．f(﹣2﹣m)＞0 D．f(﹣2﹣m)＜0
[解析] 因为f(x)的对称轴为x＝﹣eq \f(1,2)，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)＜0，得﹣1＜m＜0，所以m＋1＞0＞﹣eq \f(1,2)，所以f(m＋1)＞f(0)＞0，
f(﹣2﹣m)＝f(m＋1)＞0，
故选A、C.
[答案] AC
[方法技巧] 识别二次函数图象应学会“三看”
考法(二) 二次函数的最值问题
[例2] (1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[﹣1,2]上有最大值4，则a的值为________．
(2)设函数f(x)＝x2﹣2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝a(x＋1)2＋1﹣a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[﹣1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq \f(3,8)；
③当a<0时，函数f(x)在区间[﹣1,2]上是减函数，最大值为f(﹣1)＝1﹣a＝4，解得a＝﹣3.
综上可知，a的值为eq \f(3,8)或﹣3.
答案：eq \f(3,8)或﹣3
(2)f(x)＝x2﹣2x＋2＝(x﹣1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2﹣2t＋2.
综上可知，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.))
[方法技巧]
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值情况
考法(三) 二次函数中恒成立问题
[例3] (1)已知关于x的不等式2kx2＋kx﹣eq \f(3,8)<0恒成立，求实数k的取值范围．
(2)若对∀x∈[﹣1,0]，不等式﹣2x2＋4x＋6＋t≤4恒成立，求实数t的取值范围．
[解] (1)∵关于x的不等式2kx2＋kx﹣eq \f(3,8)<0恒成立，
∴k＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k<0，,Δ＝k2＋3k<0，))即k＝0或﹣3∴实数k的取值范围为{k|﹣3(2)由﹣2x2＋4x＋6＋t≤4得∀x∈[﹣1,0]，t≤2x2﹣4x﹣2恒成立．
当﹣1≤x≤0时，2x2﹣4x﹣2∈[﹣2,4]，∴t≤﹣2.
∴实数t的取值范围是(﹣∞，﹣2]．
[方法技巧]
二次函数中恒成立问题的解题思路
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b2－4ac<0；))
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,b2－4ac<0；))
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝2ax2﹣ax＋1(a<0)，若x1A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)解析：选C 由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴方程为x＝eq \f(1,4)，因为x1＋x2＝0，
所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，
由x12．已知函数f(x)＝ax2＋(a﹣3)x＋1在区间[﹣1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[﹣3,0) B．(﹣∞，﹣3] C．[﹣2,0] D．[﹣3,0]
解析：选D 当a＝0时，f(x)＝﹣3x＋1在[﹣1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，由f(x)在[﹣1，＋∞)上递减知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得﹣3≤a<0.
综上，a的取值范围是[﹣3,0]．
3．已知函数f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．
解析：函数f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a＝﹣(x﹣a)2＋a2﹣a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1﹣a，所以1﹣a＝2，所以a＝﹣1.当0≤a≤1时，f(x)max＝a2﹣a＋1，
所以a2﹣a＋1＝2，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a＝eq \f(1±\r(5),2)(舍去)．当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
综上可知，a＝﹣1或a＝2.
答案：﹣1或2
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．已知幂函数f(x)＝(m2﹣3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2 C．1或2 D．3
解析：选A ∵函数f(x)为幂函数，∴m2﹣3m＋3＝1，即m2﹣3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
2．已知幂函数f(x)的图象过点(2，eq \f(1,4))，则函数g(x)＝f(x)＋eq \f(x2,4)的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．6
解析：选A 设幂函数f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点(2，eq \f(1,4))，∴2α＝eq \f(1,4)，解得α＝﹣2.∴函数f(x)＝x﹣2，其中x≠0.
∴函数g(x)＝f(x)＋eq \f(x2,4)＝eq \f(1,x2)＋eq \f(x2,4)≥2 eq \r(\f(1,x2)·\f(x2,4))＝1，当且仅当x＝±eq \r(2)时，g(x)取得最小值1.
3．(多选)已知函数f(x)＝x2﹣2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上的最小值为1
B．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2))上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，a))上的最小值为1
解析：选BCD 函数f(x)＝x2﹣2x＋2的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上单调递减，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))上单调递增，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2))上的最小值为f(1)＝1，又因为f(﹣1)＝5，f(2)＝2，f(﹣1)>f(2)，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2))上的最大值为f(﹣1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))上单调递增，所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，a))上单调递增，所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，a))上的最小值为f(1)＝1，D正确，故选B、C、D.
4．设a，b满足0A．aa解析：选C D中，幂函数y＝xb(0ab，D错误；A中，指数函数y＝ax(0ab，A错误；B中，指数函数y＝bx(0bb，B错误．故选C.
5．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而﹣eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.
6．已知函数f(x)＝3x2﹣2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A．{0，﹣3} B．[﹣3,0] C．(﹣∞，﹣3]∪[0，＋∞) D．{0,3}
解析：选A ∵函数f(x)＝3x2﹣2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[﹣2(m＋3)]2﹣4×3×(m＋3)＝0，解得m＝﹣3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，﹣3}．故选A.
7．已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(﹣4﹣x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1﹣x2|＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x>0，求g(x)＝eq \f(x,fx)的最大值．
解：(1)∵二次函数满足f(x)＝f(﹣4﹣x)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝﹣2，
∵x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1﹣x2|＝2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－3，,x2＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,x2＝－3.))
设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．
由f(0)＝3a＝3得a＝1，∴f(x)＝x2＋4x＋3.
(2)由(1)得g(x)＝eq \f(x,fx)＝eq \f(x,x2＋4x＋3)＝eq \f(1,x＋\f(3,x)＋4)(x>0)，
∵x>0，∴eq \f(1,x＋\f(3,x)＋4)≤eq \f(1,4＋2\r(3))＝1﹣eq \f(\r(3),2)，当且仅当x＝eq \f(3,x)，即x＝eq \r(3)时等号成立．
∴g(x)的最大值是1﹣eq \f(\r(3),2).
二、综合练——练思维敏锐度
1．幂函数y＝x|m﹣1|与y＝x3m﹣m2 (m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为( )
A．0 B．1和2 C．2 D．0和3
解析：选C 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|m－1|>0，,3m－m2>0，,m∈Z，))解得m＝2，故选C.
2．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a﹣x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( )
A．f(x)＝x2﹣2x＋1 B．f(x)＝x2﹣1
C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x＋1
解析：选A 由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a﹣x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝eq \f(a,2)≠0，只有f(x)＝x2﹣2x＋1满足题意，故选A.
3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝﹣eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(﹣1,7)，则a，b的值分别是( )
A．2,4 B．﹣2,4 C．2，﹣4 D．﹣2，﹣4
解析：选C ∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，∴﹣eq \f(b,2a)＝1.①又图象过点P(﹣1,7)，
∴a﹣b＋1＝7，即a﹣b＝6，②联立①②解得a＝2，b＝﹣4，故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝﹣x2＋ax﹣eq \f(a,4)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上的最大值是eq \f(3,2)，则实数a的值为( )
A．3 B．﹣6 C．﹣2 D.eq \f(10,3)
解析：选BD 函数f(x)＝﹣x2＋ax﹣eq \f(a,4)＝﹣(x﹣eq \f(a,2))2＋eq \f(1,4)(a2﹣a)的图象开口向下，对称轴方程为x＝eq \f(a,2)，
①当0≤eq \f(a,2)≤1，即0≤a≤2时，f(x)max＝f(eq \f(a,2))＝eq \f(1,4)(a2﹣a)，则eq \f(1,4)(a2﹣a)＝eq \f(3,2)，解得a＝﹣2或a＝3，
与0≤a≤2矛盾，不符合题意，舍去；
②当eq \f(a,2)<0，即a<0时，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上单调递减，f(x)max＝f(0)＝﹣eq \f(a,4)，即﹣eq \f(a,4)＝eq \f(3,2)，解得a＝﹣6，符合题意，B正确；
③当eq \f(a,2)>1，即a>2时，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上单调递增，f(x)max＝f(1)＝eq \f(3,4)a﹣1，即eq \f(3,4)a﹣1＝eq \f(3,2)，
解得a＝eq \f(10,3)，符合题意，D正确，故选B、D.
6.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．﹣1C．﹣1解析：选D 幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴07．若(a＋1) SKIPIF 1 < 0 <(3﹣2a) SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝x SKIPIF 1 < 0 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得﹣1≤a答案：[﹣1，eq \f(2,3)).
8．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[﹣4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为__________________．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝﹣a，所以要使f(x)在[﹣4,6]上是单调函数，
应有﹣a≤﹣4或﹣a≥6，即a≤﹣6或a≥4.
答案：(﹣∞，﹣6]∪[4，＋∞)
9．若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式x2﹣4x﹣2﹣a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2﹣4x﹣2)max，x∈(1,4)．
令f(x)＝x2﹣4x﹣2，x∈(1,4)，所以f(x)答案：(﹣∞，﹣2)
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \f(1,2)
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上
单调递增
在(﹣∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上
单调递增
在(0，＋∞)上单调递增
在(﹣∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝﹣eq \f(b,2a)，顶点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
顶点式
f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq \f(x1＋x2,2)
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域
[eq \f(4ac－b2,4a)，+∞)
(﹣∞,eq \f(4ac－b2,4a)]
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性
在(﹣∞,﹣eq \f(b,2a)]上单调递减，
在[﹣ eq \f(b,2a)，＋∞）上单调递增
在(﹣∞,﹣eq \f(b,2a)]上单调递增，
在[﹣eq \f(b,2a)，＋∞）上单调递减
最值
当x＝﹣eq \f(b,2a)时，ymin＝eq \f(4ac－b2,4a)
当x＝﹣eq \f(b,2a)时，ymax＝eq \f(4ac－b2,4a)
mm<﹣eq \f(b,2a)即﹣eq \f(b,2a)∈(m，n)
﹣eq \f(b,2a)图象
最大
值、最小值
f(x)max＝f(m)，
f(x)min＝f(n)
f(x)max＝
max{f(n)，f(m)}，
f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))
f(x)max＝f(n)，
f(x)min＝f(m)
1.与不等式、方程等问题综合考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查二次函数的图象与性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，eq \f(1,2)，﹣1时的情形．
2．五种幂函数的图象与性质
3.二次函数解析式的三种形式
4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(幂函数的概念)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2))，则k＋α＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案：C
2．(幂函数的图象)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
3．(二次函数的图象)已知抛物线y＝8x2﹣(m＋1)x＋m﹣7的顶点在x轴上，则m＝________.
答案：15
4．(二次函数的值域)函数f(x)＝2x2﹣6x＋1在区间[﹣1,1]上的最小值是________，最大值是________．
答案：﹣3 9
二、易错点练清
1．(图象特征把握不准)如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是( )
答案：C
2．(对二次函数的单调性理解不到位)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
答案：(﹣∞,﹣eq \f(1,6)]
3．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)＝x SKIPIF 1 < 0 ，若f(a＋1)
考点一 幂函数的图象与性质
[典例] (1)与函数y＝x SKIPIF 1 < 0 ﹣1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
(2)已知a＝3 SKIPIF 1 < 0 ，b＝4 SKIPIF 1 < 0 ，c＝12 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
(2)因为a＝81 SKIPIF 1 < 0 ，b＝16 SKIPIF 1 < 0 ，c＝12 SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数y＝x SKIPIF 1 < 0 在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
幂函数图象与性质的应用
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
[针对训练]
1．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则( )
A．函数f(x)在定义域内为增函数 B．函数f(x)为偶函数
C．当x>1时，f(x)>1 D．当0
由函数图象知f(x)＝eq \r(x)为“上凸函数”，故D正确，故选A、C、D.
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝﹣1 C．m＝﹣1或m＝2 D．m≠eq \f(1±\r(5),2)
解析：选A 因为函数y＝(m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.
3．若(2m＋1)eq \f(1,2)>(m2＋m﹣1)eq \f(1,2)，则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣eq \f(1＋\r(5),2)] B.[eq \f(\r(5)－1,2)，+∞) C．(﹣1,2) D.[eq \f(\r(5)－1,2)，2)
解析：选D 因为函数y＝x SKIPIF 1 < 0 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1>m2＋m－1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－\f(1,2)，,m≤\f(－\r(5)－1,2)或m≥\f(\r(5)－1,2)，,－1
考点二 求二次函数的解析式
[典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一：利用一般式
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求二次函数为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
法二：利用顶点式
设f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(﹣1)，
∴抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(1,2).
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴f(x)＝a(x﹣eq \f(1,2))2＋8.
∵f(2)＝﹣1，∴a(2﹣eq \f(1,2))2＋8＝﹣1，解得a＝﹣4，∴f(x)＝﹣4(x﹣eq \f(1,2))2＋8＝﹣4x2＋4x＋7.
法三：利用零点式
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，故可设f(x)＋1＝a(x﹣2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2﹣ax﹣2a﹣1(a≠0)．
又函数有最大值ymax＝8，即eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.解得a＝﹣4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
[方法技巧] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
[针对训练]
1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(﹣2，﹣1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式f(x)＝________________.
解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－2，,4a－2b＋c＝－1，,a＋b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,9)，,b＝\f(4,9)，,c＝－\f(5,9)，))
因此所求解析式为f(x)＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9).
法二：设f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)．
∵二次函数f(x)图象的顶点坐标是(﹣2，﹣1)，∴f(x)＝a(x＋2)2﹣1.
∵图象经过点(1,0)，∴f(1)＝a(1＋2)2﹣1＝9a﹣1＝0，∴a＝eq \f(1,9)，
∴f(x)＝eq \f(1,9)(x＋2)2﹣1＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9).
答案：eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9)
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2﹣x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．
解：∵f(2﹣x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象经过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x﹣1)(x﹣3)，
即f(x)＝x2﹣4x＋3.
考点三 二次函数的图象与性质
考法(一) 二次函数的图象识别
[例1] (多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则( )
A．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)＜0
C．f(﹣2﹣m)＞0 D．f(﹣2﹣m)＜0
[解析] 因为f(x)的对称轴为x＝﹣eq \f(1,2)，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)＜0，得﹣1＜m＜0，所以m＋1＞0＞﹣eq \f(1,2)，所以f(m＋1)＞f(0)＞0，
f(﹣2﹣m)＝f(m＋1)＞0，
故选A、C.
[答案] AC
[方法技巧] 识别二次函数图象应学会“三看”
考法(二) 二次函数的最值问题
[例2] (1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[﹣1,2]上有最大值4，则a的值为________．
(2)设函数f(x)＝x2﹣2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝a(x＋1)2＋1﹣a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[﹣1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[﹣1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq \f(3,8)；
③当a<0时，函数f(x)在区间[﹣1,2]上是减函数，最大值为f(﹣1)＝1﹣a＝4，解得a＝﹣3.
综上可知，a的值为eq \f(3,8)或﹣3.
答案：eq \f(3,8)或﹣3
(2)f(x)＝x2﹣2x＋2＝(x﹣1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2﹣2t＋2.
综上可知，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.))
[方法技巧]
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值情况
考法(三) 二次函数中恒成立问题
[例3] (1)已知关于x的不等式2kx2＋kx﹣eq \f(3,8)<0恒成立，求实数k的取值范围．
(2)若对∀x∈[﹣1,0]，不等式﹣2x2＋4x＋6＋t≤4恒成立，求实数t的取值范围．
[解] (1)∵关于x的不等式2kx2＋kx﹣eq \f(3,8)<0恒成立，
∴k＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k<0，,Δ＝k2＋3k<0，))即k＝0或﹣3
当﹣1≤x≤0时，2x2﹣4x﹣2∈[﹣2,4]，∴t≤﹣2.
∴实数t的取值范围是(﹣∞，﹣2]．
[方法技巧]
二次函数中恒成立问题的解题思路
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b2－4ac<0；))
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,b2－4ac<0；))
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝2ax2﹣ax＋1(a<0)，若x1
C．f(x1)
所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，
由x1
A．[﹣3,0) B．(﹣∞，﹣3] C．[﹣2,0] D．[﹣3,0]
解析：选D 当a＝0时，f(x)＝﹣3x＋1在[﹣1，＋∞)上递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，由f(x)在[﹣1，＋∞)上递减知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得﹣3≤a<0.
综上，a的取值范围是[﹣3,0]．
3．已知函数f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．
解析：函数f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a＝﹣(x﹣a)2＋a2﹣a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1﹣a，所以1﹣a＝2，所以a＝﹣1.当0≤a≤1时，f(x)max＝a2﹣a＋1，
所以a2﹣a＋1＝2，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a＝eq \f(1±\r(5),2)(舍去)．当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
综上可知，a＝﹣1或a＝2.
答案：﹣1或2
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．已知幂函数f(x)＝(m2﹣3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2 C．1或2 D．3
解析：选A ∵函数f(x)为幂函数，∴m2﹣3m＋3＝1，即m2﹣3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
2．已知幂函数f(x)的图象过点(2，eq \f(1,4))，则函数g(x)＝f(x)＋eq \f(x2,4)的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．6
解析：选A 设幂函数f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点(2，eq \f(1,4))，∴2α＝eq \f(1,4)，解得α＝﹣2.∴函数f(x)＝x﹣2，其中x≠0.
∴函数g(x)＝f(x)＋eq \f(x2,4)＝eq \f(1,x2)＋eq \f(x2,4)≥2 eq \r(\f(1,x2)·\f(x2,4))＝1，当且仅当x＝±eq \r(2)时，g(x)取得最小值1.
3．(多选)已知函数f(x)＝x2﹣2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上的最小值为1
B．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2))上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))上有最小值2，最大值5
D．当0
解析：选BCD 函数f(x)＝x2﹣2x＋2的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上单调递减，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0))上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))上单调递增，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2))上的最小值为f(1)＝1，又因为f(﹣1)＝5，f(2)＝2，f(﹣1)>f(2)，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2))上的最大值为f(﹣1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))上单调递增，所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0
4．设a，b满足0
5．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而﹣eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.
6．已知函数f(x)＝3x2﹣2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A．{0，﹣3} B．[﹣3,0] C．(﹣∞，﹣3]∪[0，＋∞) D．{0,3}
解析：选A ∵函数f(x)＝3x2﹣2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[﹣2(m＋3)]2﹣4×3×(m＋3)＝0，解得m＝﹣3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，﹣3}．故选A.
7．已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(﹣4﹣x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1﹣x2|＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x>0，求g(x)＝eq \f(x,fx)的最大值．
解：(1)∵二次函数满足f(x)＝f(﹣4﹣x)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝﹣2，
∵x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1﹣x2|＝2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－3，,x2＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,x2＝－3.))
设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．
由f(0)＝3a＝3得a＝1，∴f(x)＝x2＋4x＋3.
(2)由(1)得g(x)＝eq \f(x,fx)＝eq \f(x,x2＋4x＋3)＝eq \f(1,x＋\f(3,x)＋4)(x>0)，
∵x>0，∴eq \f(1,x＋\f(3,x)＋4)≤eq \f(1,4＋2\r(3))＝1﹣eq \f(\r(3),2)，当且仅当x＝eq \f(3,x)，即x＝eq \r(3)时等号成立．
∴g(x)的最大值是1﹣eq \f(\r(3),2).
二、综合练——练思维敏锐度
1．幂函数y＝x|m﹣1|与y＝x3m﹣m2 (m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为( )
A．0 B．1和2 C．2 D．0和3
解析：选C 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|m－1|>0，,3m－m2>0，,m∈Z，))解得m＝2，故选C.
2．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a﹣x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( )
A．f(x)＝x2﹣2x＋1 B．f(x)＝x2﹣1
C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x＋1
解析：选A 由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a﹣x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝eq \f(a,2)≠0，只有f(x)＝x2﹣2x＋1满足题意，故选A.
3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝﹣eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(﹣1,7)，则a，b的值分别是( )
A．2,4 B．﹣2,4 C．2，﹣4 D．﹣2，﹣4
解析：选C ∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，∴﹣eq \f(b,2a)＝1.①又图象过点P(﹣1,7)，
∴a﹣b＋1＝7，即a﹣b＝6，②联立①②解得a＝2，b＝﹣4，故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝﹣x2＋ax﹣eq \f(a,4)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上的最大值是eq \f(3,2)，则实数a的值为( )
A．3 B．﹣6 C．﹣2 D.eq \f(10,3)
解析：选BD 函数f(x)＝﹣x2＋ax﹣eq \f(a,4)＝﹣(x﹣eq \f(a,2))2＋eq \f(1,4)(a2﹣a)的图象开口向下，对称轴方程为x＝eq \f(a,2)，
①当0≤eq \f(a,2)≤1，即0≤a≤2时，f(x)max＝f(eq \f(a,2))＝eq \f(1,4)(a2﹣a)，则eq \f(1,4)(a2﹣a)＝eq \f(3,2)，解得a＝﹣2或a＝3，
与0≤a≤2矛盾，不符合题意，舍去；
②当eq \f(a,2)<0，即a<0时，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上单调递减，f(x)max＝f(0)＝﹣eq \f(a,4)，即﹣eq \f(a,4)＝eq \f(3,2)，解得a＝﹣6，符合题意，B正确；
③当eq \f(a,2)>1，即a>2时，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上单调递增，f(x)max＝f(1)＝eq \f(3,4)a﹣1，即eq \f(3,4)a﹣1＝eq \f(3,2)，
解得a＝eq \f(10,3)，符合题意，D正确，故选B、D.
6.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．﹣1
解析：易知函数y＝x SKIPIF 1 < 0 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得﹣1≤a
8．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[﹣4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为__________________．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝﹣a，所以要使f(x)在[﹣4,6]上是单调函数，
应有﹣a≤﹣4或﹣a≥6，即a≤﹣6或a≥4.
答案：(﹣∞，﹣6]∪[4，＋∞)
9．若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式x2﹣4x﹣2﹣a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2﹣4x﹣2)max，x∈(1,4)．
令f(x)＝x2﹣4x﹣2，x∈(1,4)，所以f(x)
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \f(1,2)
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上
单调递增
在(﹣∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上
单调递增
在(0，＋∞)上单调递增
在(﹣∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝﹣eq \f(b,2a)，顶点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
顶点式
f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝eq \f(x1＋x2,2)
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域
[eq \f(4ac－b2,4a)，+∞)
(﹣∞,eq \f(4ac－b2,4a)]
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性
在(﹣∞,﹣eq \f(b,2a)]上单调递减，
在[﹣ eq \f(b,2a)，＋∞）上单调递增
在(﹣∞,﹣eq \f(b,2a)]上单调递增，
在[﹣eq \f(b,2a)，＋∞）上单调递减
最值
当x＝﹣eq \f(b,2a)时，ymin＝eq \f(4ac－b2,4a)
当x＝﹣eq \f(b,2a)时，ymax＝eq \f(4ac－b2,4a)
m
﹣eq \f(b,2a)
最大
值、最小值
f(x)max＝f(m)，
f(x)min＝f(n)
f(x)max＝
max{f(n)，f(m)}，
f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))
f(x)max＝f(n)，
f(x)min＝f(m)
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