高考数学一轮复习第8章第8课时抛物线学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第8课时抛物线学案，共30页。

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3．了解抛物线的简单应用.
4．理解数形结合的思想．
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
[常用结论]
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有
(1) x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝p1-csαF|＝p1+csα，
特别地1AF+1BF＝2p；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sinα＝12|OF|·|y1－y2|．
2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝14x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A [∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A．1716 B．1516
C．78 D．0
B [M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]
考点一 抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及应用
[典例1] (1)(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
(1)5 45 (2)4 [(1)由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2x)，则|FM|＝x-12+4x＝6，解得x＝5.
易得点N(5，0)，从而S△FMN＝12(xN－xF)·MN＝12×4×25＝45.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.]
[拓展变式]
1．若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] 由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42+22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.
2．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
[解] 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF|的最小值为1+512+-12＝32，
所以d1＋d2的最小值为32－1.
抛物线的标准方程
[典例2] (1)已知动圆P与定圆A：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(1)C (2)B [(1)令P点坐标为(x，y)，A(2，0)，动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PA|＝1＋r，d＝r，
P在直线的右侧，故P到定直线的距离是d＝x＋1，
所以|PA|－d＝1，即x-22+y2－(x＋1)＝1，
化简得y2＝8x.故选C.
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，
∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝43，∵AE∥FG，
∴FGAE＝CFAC，即p4＝48，p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.]
1．求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p.
2．抛物线定义的应用规律
提醒：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
[跟进训练]
1．(1)(2022·辽宁辽阳二模)下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是( )
A．y2＝－10x B．x2＝－10y
C．y2＝－5x D．x2＝－5y
(2)(2022·陕西汉中二模)已知点A0，2，抛物线C：y2＝axa>0的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若FM∶MN＝1∶5，则a的值为( )
A．14 B．12
C．1 D．4
(3)(多选)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：x-42＋y-12＝1上一动点，则下列说法正确的有( )
A．PF的最小值为1
B．QF的最小值为10
C．PF+PQ的最小值为4
D．PF+PQ的最小值为10＋1
(1)B (2)D (3)AC [(1)抛物线的开口朝下，说明其焦点在y轴的负半轴上，则其满足标准方程x2＝－2py(p＞0)，又焦点到准线的距离p＝5，所以该抛物线的标准方程为x2＝－10y.
故选B.
(2)依题意，点F的坐标为a4，0，设点M在准线上的射影为K，如图所示，由抛物线的定义知MF＝KM，由FM∶MN＝1∶5，则KN∶KM＝2∶1.
∵kFN＝kFA＝0-2a4-0＝－8a，kFN＝－KNKM＝－2， ∴－8a＝－2，解得a＝4.故选D.
(3)抛物线焦点为F1，0，准线为x＝－1，作出图象，
对选项A：由抛物线的性质可知：PF的最小值为OF＝1，选项A正确；
对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：QF的最小值为CF－r＝10－1，选项B错误；
对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知PF＝PM，故PF+PQ＝PM+PQ，PM+PQ的最小值为点Q到准线x＝－1的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．故选AC.]
考点二 抛物线的几何性质
[典例3] (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A．14，0 B．12，0
C．(1，0) D．(2，0)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(3)直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，1AF+1BF＝________．
(1)B (2)x＝－32 (3)2 1 [(1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2p，不妨设D(2，2p)，E(2，－2p)，由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为12，0.故选B.
(2)法一：(解直角三角形法)由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以OFPF＝PFFQ，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.
法二：(应用射影定理法)由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，PF2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.
(3)由p2＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以1AF+1BF＝12+12＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，1AF+1BF＝AF+BFAFBF＝x1+x2+2x1+1x2+1＝x1+x2+2x1x2+x1+x2+1＝x1+x2+21+x1+x2+1＝1.
综上，1AF+1BF＝1.]
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[跟进训练]
2．(1)(2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝( )
A．1 B．2
C．22 D．4
(2)在平面直角坐标系Oxy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________．
(3)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
(1)B (2)4 (3)x2＝4y [(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，它到直线y＝x＋1的距离为d＝p2+12＝2⇒p＝2.故选B.
(2)法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝yA1--1，所以yA＝23.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝23.将其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
法二：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝1--1cs∠AFO＝4.
(3)由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Pm，m22p，则点Mm，-p2，因为焦点F0，p2，△FPM是等边三角形，
所以m22p+p2=4， p2+p22+m2=4，
解得m2=12，p=2， 因此抛物线方程为x2＝4y.]
考点三 直线与抛物线的位置关系
[典例4] (1)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．
(3)(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
②若AP＝3PB，求|AB|.
(1)3 (2)(－2，2) [(1)结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
(2)当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y12＝2x1，y22＝2x2，两式相减得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝y1-y2x1-x2＝2y1+y2＝22y0＝1y0，由对称性知kBC＝－1k，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y02<2x0，即(－k)2<2，所以－2综上，k的取值范围为(－2，2)．]
(3)[解] 设直线l：y＝32x＋t，Ax1，y1，Bx2，y2.
①由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32＝4，
所以x1＋x2＝52.
由y=32x+t，y2=3x， 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－12t-19.
从而由－12t-19＝52，得t＝－78.
所以l的方程为y＝32x－78.
②由AP＝3PB得y1＝－3y2.
由y=32x+t，y2=3x， 得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝13.
故|AB|＝4133.
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系一般用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
[跟进训练]
3．(1)(2022·山东济南模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线2x－y－4＝0交于A，B两点，且|AB|＝35.若抛物线C的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝( )
A．75 B．7
C．6 D．5
(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|＞|OA|2
D．|BP|·|BQ|＞|BA|2
(3)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.
①求直线AB的斜率；
②设M为曲线C上一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
(1)B (2)BCD [(1)由题设，x＝y2＋2，代入抛物线可得y2－py－4p＝0，
所以yA＋yB＝p，yAyB＝－4p，则|AB|＝52×p2+16p＝35，
则p2＋16p－36＝0，可得p＝－18(舍)或p＝2，故xA＋xB＝yA+yB2＋4＝5，
由抛物线定义知：|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝7.故选B.
(2)将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－14，A错误；
kAB＝1--11-0＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，
联立y=2x-1，x2=y， 可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直线AB与C相切于点A，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，点P(x1，y1)，点Q(x2，y2)，
联立y=kx-1，x2=y， 得x2－kx＋1＝0，
所以Δ=k2-4＞0，x1+x2=k， x1x2=1，
所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝x12+y12＝y1+y12，|OQ|＝x22+y22＝y2+y22，
所以|OP|·|OQ|＝y1y21+y11+y2＝kx1·kx2＝|k|＞2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝1+k2|x1|，|BQ|＝1+k2|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正确．
故选BCD.]
(3)[解] ①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝x124，y2＝x224，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝y1-y2x1-x2＝x1+x24＝1.
②由y＝x24，得y′＝x2.
设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2m+1.
从而|AB|＝2|x1－x2|＝42m+1.
由题设知|AB|＝2|MN|，即42m+1＝2(m＋1)，
解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)， 过抛物线准线y＝－p2上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)．则以点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论：
(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程为x0x＝2py0+y2＝p(y0＋y)；
(2)直线AB过抛物线的焦点；
(3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；
(4)PF⊥AB；
(5)AP⊥PB；
(6)直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴．
[典例1] (多选)(2023·江苏徐州模拟)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论正确的是( )
A．点P(3，－2) B．PC⊥x轴
C．PA⊥PB D．PF⊥AB
BCD [由x2=8yy=x+2 消y可得x2－8x－16＝0.
令Ax1，y1，Bx2，y2，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，
∵y＝x28，∴y′＝x4，kPA＝x14，
∴PA：y＝x14x-x1+x128＝x14x-x128，PB：y＝x24x-x228，
联立y=x14x-x128y=x24x-x228 ，解得x=x1+x22=4y=x1x28=-2 ，即P(4，－2)，故A错误；
xC＝x1+x22＝4，∴PC⊥x轴，故B正确；
kPF＝-2-24-0＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，故D正确； kPA·kPB＝x1x216＝－1，∴PA⊥PB，故C正确．故选BCD.]
[典例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
[解] (1)由题意知M(0，－4)，F0，p2，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即p2＋4－1＝4，解得p＝2.
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设Ax1，x124，Bx2，x224，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立得y=kx+bx2=4y，消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b＞0，(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2·x1+x22-4x1x2＝41+k2·k2+b.
因为x2＝4y，即y＝x24，所以y′＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为x12，在点A处的切线方程为y-x124＝x12(x－x1)，即y＝x12x-x124，
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x-x224，
联立得y=x12x-x124y=x22x-x224，则x=x1+x22=2ky=x1x24=-b，
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－12≤k≤12，3≤b≤5，满足(※)．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝2k2+2b1+k2，
所以S△PAB＝12|AB|·d＝4k2+b3.
由①得，k2＝1-4-b24＝-b2+8b-154，
令t＝k2＋b，则t＝-b2+12b-154，且3≤b≤5.
因为t＝-b2+12b-154在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20 5.
课时分层作业(五十二) 抛物线
一、选择题
1．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝－4y D．x2＝－8y
C [依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C.]
2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2 2
C．3 D．3 2
B [由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，
不妨设点A在x轴上方，代入得A(1，2)，
所以|AB|＝3-12+0-22＝2 2.
故选B.]
3．(2022·广东深圳二模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于( )
A．30°或150° B．45°或135°
C．60°或120° D．与p值有关
C [如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－p2，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，直线l交准线于点C，作BM⊥AA′，垂足为点M，
则AA'＝AF，BB'＝BF，
又|FA|＝3|FB|，
所以AM＝2BF，AB＝4BF，
所以∠ABM＝30°，即直线l的倾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120°，故选C.]
4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0，2) B．[0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
C [由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2. 由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4，所以4＜y0＋2，从而y0＞2. 故选C. ]
5．(多选)(2022·湖南郴州模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点2，12在抛物线上，则( )
A．p＝1
B．当AB⊥y轴时，|AB|＝4
C．1AF+1BF为定值1
D．若AF＝2FB，则直线AB的斜率为±24
BCD [对于选项A，将点2，12代入抛物线方程，可得p＝2，故选项A错误；
对于选项B，焦点F(0，1)，当AB⊥y轴时，点(－2，1)，点(2，1)在抛物线上，可得|AB|＝4，故选项B正确；
对于选项C，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝kx＋1，联立方程x2=4y， y=kx+1，
消去y后整理为x2－4kx－4＝0，
可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，
y1y2＝x12x2216＝1，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
有1AF+1BF＝1y1+1+1y2+1＝y1+y2+2y1y2+y1+y2+1＝y1+y2+2y1+y2+2＝1，
故选项C正确；
对于选项D，有(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，
可得2x2＝－x1，由x1+x2=4k， x1x2=-4， 2x2=-x1，
有-x2=4k， -2x22=-4，解得k＝±24，故选项D正确．故选BCD.]
6．(多选)(2022· 福建泉州模拟)已知A(a，0)，M(3，－2)，点P在抛物线y2＝4x上，则( )
A．当a＝1时，PA最小值为1
B．当a＝3时，PA的最小值为3
C．当a＝1时，PA+PM的最小值为4
D．当a＝3时，PA-PM的最大值为2
ACD [当a＝1时，A1，0为抛物线的焦点，设Px0，y0，x0≥0，
则PA＝x0＋1≥1，故PA的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为l：x＝－1，过点P作PN⊥l于点N，如图1，
此时PA+PM＝PN+PM，
故当N，P，M三点共线时，PA+PM取得最小值，
此时PA+PMmin＝3＋1＝4，C正确；
图1
当a＝3时，A3，0，连接AM，并延长AM交抛物线于点P′，如图2，
图2
此时PA-PM＝P'A-P'M＝AM为PA-PM的最大值，
当P在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于AM，
因为AM＝3-32+-2-02＝2，故D正确；
此时PA＝x0-32+y02＝x0-32+4x0＝x0-12+8，
当x0＝1时，PAmin＝22，B错误．故选ACD.]
二、填空题
7．(2022·广东肇庆二模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F12，0，则p＝________，过F的直线l与C交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为1，则|AB|＝________．
1 4 [因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F12，0，
所以p＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12＝2x1，y22＝2x2，
设AB的中点为M(x0，1)，直线l的斜率为k，
所以y1+y22＝1，所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
故y1-y2x1-x2·y1+y22＝1，故k＝1.
故l的方程为y＝x－12，所以x0＝1＋12＝32.
故|AB|＝2x0+p2＝4.]
8．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．
3 [由题意可知，点F的坐标为12，0，
又F为△ABC的重心，故xA+xB+xC3＝12，
即xA＋xB＋xC＝32.又由抛物线的定义可知|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋xB＋xC＋32＝32+32＝3.]
9．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
3 [法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4, 设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x可得y＝±23，所以△POF的面积为12|y|·|OF|＝12×23×1＝3.
法二(巧用结论)：设∠PFx＝θ，则|PF|＝p1-csθ＝21-csθ＝4，∴cs θ＝12，即θ＝60°.
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×32＝23.
∴S△POF＝12×|OF|×|y|＝12×1×23＝3.]
三、解答题
10．已知抛物线C：y2＝4x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：y＝kx＋1.
(1)若l与C只有一个公共点，求k的值；
(2)过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，求△OAB的面积．
[解] (1)依题意y=kx+1y2=4x 消去x得ky2－4y＋4＝0，
①当k＝0时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当k≠0时，Δ＝(－4)2－4×4k＝0，解得k＝1；
综上，当k＝1或k＝0时直线与抛物线只有一个交点．
(2)抛物线C：y2＝4x，所以焦点F(1，0)，所以直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y=x-1y2=4x ，消去x得y2－4y－4＝0，
所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝y1+y22-4y1y2＝42-4×-4＝42，
所以S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12×1×42＝22.
11．(2022·河北秦皇岛三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点M与焦点F的距离为9，点M到x轴的距离为4p.
(1)求抛物线C的方程；
(2)经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，E为直线x＝－1上任意一点，证明：直线EA，EF，EB的斜率成等差数列．
[解] (1)设点M(x0，y0)，由题意可知|y0|＝4p，
所以(4p)2＝2px0，解得x0＝8.
因为|MF|＝x0＋p2＝8＋p2＝9，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设直线AB的方程为x＝my+1，Ay124，y1，By224，y2，
联立方程组y2=4x， x=my+1，消去x得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
设E(－1，n)，则kEA＋kEB＝y1-ny124+1+y2-ny224+1
＝y1y24y1+y2+y1+y2-ny124+y224-2ny124+1y224+1
＝-ny124+y224+2y124+y224+2＝－n，
又因为kEF＝－n2，所以kEA＋kEB＝2kEF，
即直线EA，EF，EB的斜率成等差数列．
12．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
A [由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－1k，故l1：y＝k(x－1), l2：y＝－1k(x－1)．
由y2=4x， y=kx-1，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2k2+4k2＝2＋4k2，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋4k2.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋4k2≥8＋216＝16.
当且仅当1k2＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16.]
13．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A．7112+26 B．9＋10
C．8312+26 D．9＋26
D [对于y2＝4x，令y＝1，得x＝14，即A14，1，
结合抛物线的光学性质，得AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
与抛物线方程联立可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
据此可得xAxB＝1，所以xB＝1xA＝4，
故|AB|＝xA＋xB＋p＝254.
将x＝4代入y2＝4x，可得y＝±4，故B(4，－4)，
故|MB|＝4-32+-4-12＝26.
故△ABM的周长为|MA|＋|AB|＋|BM|＝3-14+254+26＝9＋26，故选D.]
14．(多选)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.则下列说法正确的是( )
A．∠OMB的最大值为π4
B．若点A(4，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为6
C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMC
D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B、O、D三点共线
ACD [对于A，设直线MB的方程为x＝－1＋my，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2－4my＋4＝0，
当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．
由Δ＝16m2－16＝0，即m＝±1，直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值π4，故A正确；
对于B，设点A在准线x＝－1上的射影为A′(－1，2)，设P到准线的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝5，
当且仅当A，P，A′三点共线时等号成立，故B错误；
对于C，M(－1，0)，设直线BC的方程为x＝ny＋1，
代入抛物线的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，
设By124，y1，Cy224，y2，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，则kMB＋kMC＝y1y124+1+y2y224+1＝y1+y2y1y24+1y124+1y224+1＝0，故MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC.故C正确；
对于D，由C的分析可知D(－1，y2)，kOB＝y1y124＝4y1 ，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，则kOB＝kOD，
可得三点B、O、D在同一条直线上．故D正确．
故选ACD.]
15．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．
[解] (1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝y1-4x1-4+y2-4x2-4＝x1+44+x2+44＝x1+x2+84＝0，∴x1＋x2＝－8.
∴kBC＝y2-y1x2-x1＝x22-x124x2-x1＝x1+x24＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2.
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝y4-y3x4-x3＝x3+x44＝x02＝12，∴x0＝1.
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b＞14，即b＞94.
由y=-2x+b，x2=4y， 得x2＋8x－4b＝0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b.
∴|BC|＝1+4|x1－x2|
＝5·x1+x22-4x1x2
＝5×64+16b.
又b＞94，∴|BC|＞105.
∴|BC|的取值范围为(105，＋∞)．
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Fp2，0
F-p2，0
F0，p2
F0，-p2
离心率
e＝1
准线方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R