2023-2024学年河南省洛阳市高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市高二上学期期中联考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线3x-2y-3=0的一个方向向量是
( )
A. 2,-3B. 2,3C. -3,2D. 3,2
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值是
A. x=12，y=12B. x=1，y=12C. x=12，y=1D. x=1，y=1
3.“a=-2”是“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为( )
A. 19米B. 51米C. 2 19米D. 2 51米
5.若过点1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x-y-5=0的距离为
( )
A. 5 22B. 3 22C. 2D. 2
6.已知直线l:x+ycsθ-3=0，则l的倾斜角α的取值范围是
( )
A. 0,πB. π4,π2
C. π4,3π4D. π4,π2∪π2,3π4
7.已知直线3x+2y-6=0分别与x,y轴交于A,B两点，若直线x+y-1=0上存在一点C，使CA+CB最小，则点C的坐标为
( )
A. 23,13B. 65,-15C. 43,-13D. 45,15
8.如图，二面角α-l-β的棱上有两点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，若AB=2,AC=3,BD=4,CD= 41，则二面角α-l-β的大小为
( )
A. π6B. π3C. 23πD. 5π6
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是侧面AB1，底面A1C1的中心，则下列结论正确的是
( )
A. EF⊥DB1B. EF//平面ACD1
C. 异面直线EF与AC所成的角为60∘D. 直线EF与平面ABCD所成的角为60∘
10.直线y=x+b与曲线y= 1-x2恰有一个交点，则实数b可以为
( )
A. 1B. -1C. 2D. - 2
11.已知点A2,2，E、F为圆C:x-12+y-12=4上的动点，且EF=2 3，若圆C上存在点P，使得AE+AF=nCPn>0，则n的值可以是
( )
A. 2-1B. 2- 2C. 2 2D. 2+2
12.已知圆心为O的圆x2+y2-5=0与圆心为C的圆x2+y2-4x-8y+5=0相交于A,B两点，则下列说法正确的是
( )
A. 直线AB 的 方程为2x+4y-5=0
B. O,A,C,B四个点在同一个圆上
C. 四边形OACB的面积为10 3．
D. 圆O与圆C围成的公共部分的面积为256π-5 3
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若圆x2+y2-mx-1=0关于直线x+3y-2=0对称，则m=__________．
14.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 ．
15.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1长为3，且∠A1AB=∠A1AD=120∘，则AC1=__．
16.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，且AB=AQ=1，平面ABCD⊥平面ADPQ,E,F分别为AB,BC 的 中点，M为线段PQ上的动点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值最大时，EM=__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知直线l1:ax+y-2=0和直线l2:3x+y+b=0交于点M1,1，求满足下列条件的直线l的方程．
(1)直线l经过点M1,1，点Nb,-a；
(2)l//l1，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为4．
18.(本小题12分)
在棱长为2的正四面体ABCD中，BM=2MC,AN=λADλ∈R．
(1)设AB=a,AC=b,AD=c,用a，b，c表示MN；
(2)若AM⋅CN=-73,求λ．
19.(本小题12分)
已知▵ABC的三个顶点分别是A-2,4,B5,5,C6,-2，圆E是▵ABC的外接圆．
(1)求圆E的方程；
(2)求过点M-3,0且与圆E相切的直线的方程．
20.(本小题12分)
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=2,AD=1,AC= 7,DD1= 3．
(1)证明：BD⊥平面A1D1DA；
(2)求AA1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知动点E与两定点A45,45,B5,5的距离之比为25
(1)求动点E的轨迹C的方程；
(2)过点P2,2作两条直线分别与轨迹C相交于M,N两点，若直线PM与PN的斜率之积为1，试问线段MN的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
22.(本小题12分)
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P,P1分别为底面ABCD,A1B1C1D1内一动点，E为P1B的中点．
(1)如图1，若P1为D1C1的中点，求平面ADE与平面ABP1D1的夹角的余弦值；
(2)如图2，若PP1⊥平面ABCD,P1A=P1B，求证：PE//平面P1AD．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，由直线的 方向向量的定义，即可得到结果．
解：因为直线 3x-2y-3=0 的斜率为 32 ，
对比选项检验可知：该直线的一个方向向量是 2,3 ．
故选：B
2.【答案】A
【解析】【分析】空间向量的分解．
解：根据题意，结合正方体的性质，可知 AE=AA1+A1E=AA1+12A1B1+12A1D1 =AA1+12AB+12AD ，所以有 x=12 ， y=12 ，故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断和两直线垂直的充要条件，属于基础题．
由“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”和两直线垂直的充要条件，可求得：a=-2，即可得“a=-2”是“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的充要条件．
【解答】
解：当“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直时，
由两直线垂直的充要条件得：6×a+4×3=0，
得：a=-2．
即“a=-2”⇔“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”．
即“a=-2”是“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的充要条件．
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设圆的半径为 r ，求得圆的方程为 x2+(y+10)2=100 ，结合圆的方程，即可求解．
解：以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为 y 轴，建立直角坐标系，
设圆心为 C ，水面所在弦的端点为 A,B ，则由已知可得 A(6,-2) ，
再设圆的半径为 r ，则圆心 C(0,-r) ，即圆的方程为 x2+(y+r)2=r2 ，
将点 A 代入圆的方程，可得 r=10 ，即圆的方程为 x2+(y+10)2=100 ，
当水面下降1米后，可得 A'(x0,-3)(x0>0) ，
代入圆的方程，可得 x0= 51 ，所以当水面下降1米后，水面宽度为 2 51 米．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】设圆心坐标，由题意表示出圆的方程，将点 (1,2) 代入方程求出a，利用点到直线的距离公式计算即可求解．
解：由题意知圆心在第一象限，设圆心为 (a,a) ，则圆的半径为 r=a ，
圆的方程为 (x-a)2+(y-a)2=a2 ，
由圆过点 (1,2) ，得 (1-a)2+(2-a)2=a2 ，解得 a=1 或5，
当 a=1 时，圆心为 (1,1) ，到直线 x-y-5=0 的距离为 1-1-5 2=5 22 ；
当 a=5 时，圆心为 (5,5) ，到直线 x-y-5=0 的距离为 5-5-5 2=5 22 ，
所以圆心到直线 x-y-5=0 的距离为 5 22 ．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】当 csθ=0 时，可得倾斜角为 π2 ，当 csθ≠0 时，由直线方程可得斜率 k=-1csθ=tanα ，然后由余弦函数和正切函数的性质分析求解．
解：当 csθ=0 时，方程变为 x-3=0 ，其斜率不存在，倾斜角为 π2 ；
当 csθ≠0 时，由直线方程可得斜率 k=-1csθ ，
因为 csθ∈-1,1 且 csθ≠0 ，
则 k∈-∞,-1∪1,+∞ ，即 tanα∈-∞,-1∪1,+∞ ，
又因为 α∈0,π ， α∈π4,π2∪π2,3π4 ；
综上所述：倾斜角的范围是 π4,3π4 ．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】作点 B 关于直线 x+y-1=0 对称的点 B1 ，连接 B1A 交直线 x+y-1=0 于点 C ，求出 C 坐标即可．
解：
由题直线 3x+2y-6=0 分别与 x,y 轴交于 A,B 两点，
则 A2,0,B0,3 ，
设点 B 关于直线 x+y-1=0 对称的点为 B1x0,y0 ，
则 y0-3x0=1x02+y0+32-1=0⇒x0=-2y0=1 ，所以 B1-2,1 ，
则直线 AB1:y=-14x-2⇒y=-14x+12 ，
联立 y=-14x+12x+y-1=0⇒x=23y=13 ，
所以 C23,13 ．
故选：A
8.【答案】C
【解析】【分析】设 AC,BD=θ(0≤θ≤π) ，则二面角 α-l-β 的大小为 θ ，根据 CD2=(CA+AB+BD)2 ，展开计算可得 csθ=-12 ，即可求解．
解：设 AC,BD=θ(0≤θ≤π) ，则二面角 α-l-β 的大小为 θ ，
由题意， CA⊥AB,AB⊥BD ，则 AC⋅AB=BD⋅AB=0,CA,BD=π-θ ，
所以 CD2=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2CABDcs(π-θ) ，
即 41=9+4+16+2×3×4(-csθ) ，得 csθ=-12 ，所以 θ=2π3 ，
即二面角 α-l-β 的大小为 2π3 ．
故选：C．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】根据空间线线、线面的位置关系和所成角大小即可逐项判断．
解：
如图，在 ▵B1AD1 中， EF 为中位线，所以 EF//AD1 ，
对于A，因为在正方体中 A1B1⊥ 平面 A1D1DA ，所以 A1B1⊥A1D ，
AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1B1∩A1D=A1,A1D⊂ 平面 A1B1D ， A1B1⊂ 平面 A1B1D ，
所以 AD1⊥ 平面 A1B1D ，所以 AD1⊥DB1⇒EF⊥DB1 ，A正确；
对于B， EF//AD1,AD1⊂ 平面 ACD1 ， EF⊄ 平面 ACD1 ，所以 EF// 平面 ACD1 ，B正确；
对于C，因为 EF//AD1 ，所以直线 AD1 与 AC 所成角为异面直线 EF 与 AC 所成的角，即 ∠D1AC ，
因为 △ACD1 为正三角形，所以 ∠D1AC=60∘ ，故C正确；
对于D，因为 EF//AD1 ，所以直线 AD1 与平面 ABCD 所成的角为直线 EF 与平面 ABCD 所成的角，
又因为 DD1⊥ 平面 ABCD ，
所以直线 AD1 与平面 ABCD 所成的角为 ∠D1AD ，
易得 ∠D1AD=45∘ ，故D错误；
故选：ABC．
10.【答案】BC
【解析】【分析】画出图像，结合图像确定一个公共点时的位置，求出相应的 b 的值，数形结合可得答案．
解：
曲线 y= 1-x2 表示圆心在原点，半径为 1 的圆的上半部分，
如图所示，由图可知，当直线 y=x+b 在 l2 和 l3 之间移动或与半圆相切，即处于 l1 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，
当直线 y=x+b 在 l3 时，经过点 1,0 ，所以 b=-1 ，
当直线 y=x+b 在 l2 时，经过点 -1,0 ，所以 b=1 ，
当直线与半圆相切时， |b| 2=1 ，
所以 b= 2 ，或者 b=- 2 (舍)，
故 b= 2 或者 -1≤b<1 ．
故选：BC
11.【答案】AB
【解析】【分析】解本题的关键在于求出点 M 的轨迹方程，利用点与圆的位置关系求出 AM 的取值范围，即可转化为 n 的取值范围即可．
取 EF 中点为 M ，连接 AM ，得到 AE+AF=2AM ，由 AE+AF=nCPn>0 得到 m=AM ，再由 E 、 F 为圆 C:x-12+y-12=4 上的两动点，且 EF=2 3 ，得到 CM=1 ，设 Mx,y ，求出点 M 的轨迹，再由点与圆位置关系，求出 AM 的取值范围，即可求出结果．
解：取 EF 中点为 M ，连接 AM ，
则 AM=AE+EM=AE+12EF=AE+12AF-AE=12AE+12AF ，
则 AE+AF=2AM ，
又圆 C:x-12+y-12=4 上存在点 P ，使得 AE+AF=nCPn>0 ，
所以 2AM=nCP ，
因此 2AM=nCP=2n ，即 n=AM ，
因为 E 、 F 为圆 C:x-12+y-12=4 上的两动点，且 EF=2 3 ，
所以 CM= 22-EF22= 4-3=1 ，
设 Mx,y ，则 CM= x-12+y-12=1 ，
即 x-12+y-12=1 即为动点 M 的轨迹方程，
所以 AM 表示圆 x-12+y-12=1 上的点 M 与定点 A2,2 之间的距离，
又因为 2-12+2-12>1 ，则点 A 在圆 x-12+y-12=1 外，
因此 AC-1≤AM≤AC+1 ，即 2-1≤AM≤ 2+1 ．
当且仅当 M 为线段 AC 与圆 x-12+y-12=1 的 交点时， AM 取最小值 2-1 ，
当且仅当 M 为射线 AC 与圆 x-12+y-12=1 的交点时， AM 取最大值 2+1 ，
即 2-1≤n≤ 2+1 ．
故选：AB．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】本题选项D解题关键是分别求出两圆的弓形面积，相加可得答案．
直接两圆方程作差判断A；计算 OC2=OA2+AC2=OB2+BC2 可判断B；求出四边形 OACB 的面积判断C；求出圆 O 与圆 C 围成的公共部分的面积判断D．
解：对于A：将圆 x2+y2-5=0 与圆 x2+y2-4x-8y+5=0 的方程作差可得
4x+8y-10=0 ，即 2x+4y-5=0 ，A正确；
对于B：圆心为 C 的圆 x2+y2-4x-8y+5=0 ，即 x-22+y-42=15 ，圆心 C2,4 ，半径 r1= 15 ，
圆心为 O 的圆 x2+y2-5=0 ，圆心 O0,0 ，半径 r2= 5 ，
则 AC=BC= 15,OA=OB= 5,OC= 4+16=2 5 ，
所以 OC2=OA2+AC2=OB2+BC2
所以 ▵OAC 以及 ▵OBC 均为直角三角形，故 O,A,C,B 四个点在同一个圆上，B正确；
对于C：四边形 OACB 的面积为 15× 5=5 3 ，C错误；
对于D：在 Rt▵AOC 中， sin∠AOC=ACOC= 152 5= 32 ，所以 ∠AOC=60∘ ，
即 ∠AOB=120∘,∠ACB=60∘ ，
在圆 O 中，扇形 AOB 的面积 S=13⋅πr22=13π⋅5=5π3 ，
S▵AOB=12⋅|OA|⋅|OB|sin120∘=12× 5× 5× 32=5 34 ，
在圆 C 中，扇形 ABC 的面积 S'=16⋅πr12=5π2 ，
S▵ABC=12⋅|CA|⋅|CB|sin60∘=12× 15× 15× 32=15 34 ，
所以圆 O 与圆 C 围成的公共部分的面积为 5π3-5 34+5π2-15 34=256π-5 3 ，D正确．
故选：ABD．
13.【答案】4
【解析】【分析】根据题意，得到圆心在直线 x+3y-2=0 上，代入即可求解．
解：由圆 x2+y2-mx-1=0 关于直线 x+3y-2=0 对称，
即圆心 C(m2,0) 在直线 x+3y-2=0 ，可得 m2-2=0 ，解得 m=4 ．
故答案为： 4 ．
14.【答案】1或-2
【解析】【分析】
本题考查直线的截距，属于基础题．
当a≠0时，求出直线在x轴，y轴的截距，相等即可得答案．
【解答】
解：易知a≠0，令x=0，则y=2+a;
令y=0，则x=2+aa．
由2+a=2+aa，可得a=1或-2．
故答案为1或-2．
15.【答案】 5
【解析】【分析】由空间向量的加法法则有 AC1=AD+AB+AA1 ，然后平方，转化为数量积运算可得．
解：平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， AC1=AD+AB+AA1 ，
AC12=(AD+AB+AA1)2 =AD2+AB2+AA12+2AB⋅AD+2AD⋅AA1+2AB⋅AA1
=4+4+9+0+2×2×3×(-12)+2×2×3×(-12)=5
. ∴AC1=AC1= 5 ．
故答案为： 5 ．
16.【答案】 52
【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值最大时点 M 位置，进而求出 EM 大小．
解：
由题可以 A 为原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则 E12,0,0,F1,12,0 ，设 M0,t,1,t∈0,1 ，
则 EM=-12,t,1,AF=1,12,0 ，
设异面直线 EM 与 AF 所成角为 θ ，
则 csθ=EM⋅AFEMAF=-12+12t t2+54× 1+14=1-t 5 t2+54,t∈0,1 ，
令 m=1-t∈0,1 ，
则 csθ=1-t 5 t2+54=m 5 m2-2m+94 ，
当 m=0 时， csθ=0 ，
当 m∈0,1 时， csθ=m 5 m2-2m+94=1 5 1-2m+94m2 ，
令 1m=k∈1,+∞ ，则 csθ=1 5 1-2m+94m2=1 5 1-2k+94k2 ，
因为 1-2k+94k2=94k-492+59,k∈1,+∞ ，
当 k=1 时， 1-2k+94k2 有最小值 54 ，
此时 csθ=1 5 1-2k+94k2 有最大值 25 ，
由 k=1 得 m=1 ， t=0 ，
则异面直线 EM 与 AF 所成角的 余弦值最大时 t=0 ，
即 M0,0,1 ， E12,0,0 ，
所以 EM= 122+1= 52 ．
故答案为： 52
17.【答案】解：(1)因为点 M1,1 在直线 l1:ax+y-2=0 和直线 l2:3x+y+b=0 上，
所以 a-1=04+b=0 ，解得 a=1b=-4 ．
故所求直线 l 经过点 M1,1 ，点 N-4,-1 ，
其斜率为 1+11+4=25 ，点斜式方程为 y-1=25x-1 ，
即所求直线 l 的方程为 2x-5y+3=0 ．
(2)由(1)知，直线 l1 的方程为 x+y-2=0 ，而 l//l1 ，
故 l 的直线方程可设为 x+y+c=0,(c≠-2) ，
令 x=0 ，可得 y=-c ，令 y=0 ，可得 x=-c ，
则直线 l 与两坐标轴的交点分别为 -c,0,0,-c
因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，所以 12c2=4 ，解得 c=±2 2 ，
故所求直线 l 的方程为 x+y+2 2=0 或 x+y-2 2=0 ．

【解析】【分析】(1)根据两直线交点坐标求出 a,b ，再由 M,N 两点坐标写出直线方程；
(2)利用两直线平行设出直线方程，再由三角形面积求出参数即得．
18.【答案】(1)解：因为 BM=2MC ，所以 AM-AB=2AC-AM ，
则 AM=13AB+23AC=13a+23b ，
所以 MN=AN-AM=λc-13a+23b=-13a-23b+λc ．
(2)解：因为 AN=λAD ，所以 CN=AN-AC=λAD-AC=-b+λc ，
在棱长为2的正四面体 ABCD 中， a⋅b=a⋅c=b⋅c=2,b=2 ，
所以 AM⋅CN=13a+23b⋅-b+λc=13-2+2λ-2×22+4λ=136λ-10=-73 ，
解得 λ=12 ．

【解析】【分析】(1)根据向量的线性运算法则，结合题意，求得 AM=13a+23b ，再由 MN=AN-AM ，即可求解；
(2)由 AN=λAD ，得到 CN=-b+λc ，结合向量的数量积列出方程，即可求解．
19.【答案】解：(1)设圆 E 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) ，
因为 A-2,4,B5,5,C6,-2 在圆 E 上，所以它们的坐标都满足圆 E 的方程，
可得的 20-2D+4E+F=050+5D+5E+F=040+6D-2E+F=0 ，解得 D=-4,E=-2,F=-20 ，
所以圆 E 的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0 ．
(2)由(1)知圆 E 的标准方程为 (x-2)2+(y-1)2=25 ，
故圆心 E 的坐标为 2,1 ，半径为 5 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 x=-3 ，圆心到直线的距离 d=2--3=5 ，
此时直线和圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 y=kx+3 ，即 kx-y+3k=0 ，
则圆心到直线的距离 d=2k-1+3k 1+k2=5k-1 1+k2=5 ，解得 k=-125 ，
此时切线方程为 12x+5y+36=0 ，
综上，过点 M-3,0 且与圆 E 相切的直线方程为 12x+5y+36=0 或 x=-3 ．

【解析】【分析】(1)设圆 E 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) ，将 A,B,C 代入圆方程，得出方程组，求得 D,E,F 的值，即可求解；
(2)由(1)知圆 E 的标准方程为 (x-2)2+(y-1)2=25 ，分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解．
20.【答案】(1)证明：平行四边形 ABCD 中，
cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB⋅BC=22+12- 722×2×1=-12 ，
则 ∠ABC=2π3 ．
在 ▵ABD 中， AB=2,AD=1,∠DAB=π3 ．
由余弦定理知 BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcs∠DAB=3 ，
则 AB2=BD2+AD2 ，即 BD⊥AD ．
又因为 DD1⊥ 底面 ABCD,BD⊂ 底面 ABCD ，所以 BD⊥DD1 ，
又 AD∩DD1=D,AD,DD1⊂ 平面 A1D1DA ，
所以 BD⊥ 平面 A1D1DA ．
(2)解：
因为 DD1⊥ 底面 ABCD,AD⊂ 底面 ABCD ，
所以 AD⊥DD1 ，
由(1)知 BD⊥AD,BD⊥DD1 ，
以 D 为原点， DA,DB,DD1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，
建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz ．
则 A1,0,0,B0, 3,0,D10,0, 3 ，
A11,0, 3 ，
因此 AB=-1, 3,0,AD1=-1,0, 3,AA1=0,0, 3 ，
设平面 ABC1D1 的法向量为 n=x,y,z ，
则 n⊥AB,n⊥AD1 ，所以 n⋅AB=-x+ 3y=0n⋅AD1=-x+ 3z=0 ，
所以 x= 3yz=y ，取 y=1 ，则 x= 3,z=1 ，
于是平面 ABC1D1 的一个法向量为 n= 3,1,1 ，
设直线 AA1 与平面 ABC1D1 所成的角为 α ，
则 sinα=csn,AA1=n⋅AA1n⋅AA1= 3 5× 3= 55 ，
即 AA1 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值为 55 ．

【解析】【分析】(1)首先求解三角形，证明 BD⊥AD ，再根据线面垂直的性质定理和判断定理，即可证明；
(2)根据(1)的结合，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，求平面 ABC1D1 的法向量，再根据线面角的向量公式，即可求解．
21.【答案】解：(1)设点 E 的坐标为 x,y ，由题意知 AEBE=25 ，
即 x-452+y-452=25 (x-5)2+(y-5)2 ，
平方整理得 x2+y2=8 ，
即动点 E 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=8 ．
(2)设直线 PM 的方程为： y=kx-2+2 ，代入 x2+y2=8 ，
整理得 1+k2x2+4k-4k2x+4k2-8k-4=0 ，
因为点 P,M 都在圆 x2+y2=8 上，
所以 2xM=4k2-8k-41+k2 ，即 xM=2k2-4k-21+k2 ，
此时 yM=kxM-2+2=k2k2-4k-21+k2-2+2=-2k2-4k+21+k2 ．
因为直线 PM 与 PN 的斜率之积为1，
同理可得 xN=2k2-4k-21+1k2=2-4k-2k21+k2 ，
yN=-21k2-41k+21+1k2=-2-4k+2k21+k2 ．
设 MN 的中点为 G ，此时 xG=xM+xN2=-4k1+k2,yG=yM+yN2=-4k1+k2 ，则 xG=yG ．
故线段 MN 的中点在定直线 y=x 上．

【解析】【分析】(1)设点 E 的坐标为 x,y ，由题意知 AEBE=25 ，代入点的坐标整理计算即可；
(2)设直线 PM 的方程为： y=kx-2+2 ，与圆的方程联立，求出点 M 坐标，同理求出点 N 的坐标，进而可求出中点坐标得到答案．
22.【答案】解：(1)
以 D 为原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz ．
设正方体棱长为 a ，则 P10,a2,a,Ba,a,0,D0,0,0,Aa,0,0 ，
因为 E 为 P1B 的中点，所以 Ea2,3a4,a2 ．
则 DE=a2,3a4,a2,DA=a,0,0 ．
设平面 ADE 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ，则 n1⊥DE,n1⊥DA ，
所以 n1⋅DE=a2x1+3a4y1+a2z1=0n1⋅DA=ax1=0 ，
所以 x1=0y1=-23z1 ，取 z1=3 ，则 y1=-2 ．
于是平面 ADE 的一个法向量为 n1=0,-2,3 ．
因为 DA1⊥AD1,DA1⊥AB,AD1∩AB=A ，则 DA1⊥ 平面 ABP1D1 ，
所以平面 ABP1D1 的一个法向量为 n2=1,0,1 ，
设平面 ADE 与平面 ABP1D1 的夹角为 θ ，
则 csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=3 13× 2=3 2626 ．
(2)设 P1m,n,a ，由 P1A=P1B 知，
(m-a)2+(n-0)2+(a-0)2=(m-a)2+(n-a)2+(a-0)2 ，解得 n=a2 ．
即 P1m,a2,a ，此时 Ea+m2,3a4,a2,Pm,a2,0 ．
则 PE=a-m2,a4,a2,DA=a,0,0,DP1=m,a2,a ．
由 PE=a-2m2aDA+12DP1 知， PE,DA,DP1 是共面向量，
又 PE⊄ 平面 P1AD ，则 PE /​/ 平面 P1AD ．

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，再求出两个平面的法向量，进而求出平面 ADE 与平面 ABP1D1 的夹角的余弦值．
(2)根据 P1A=P1B 求出点 P,P1 所在直线，求得 PE,DA,DP1 是共面向量，又 PE⊄ 平面 P1AD ，所以得证．