专题01 空间直角坐标系与空间向量--2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第二册）

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空间向量的线性运算
1．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（ ）

A．B．C．D．
2．（2023上·辽宁丹东·高二统考期末）已知空间向量，，若，，，共面，则实数的值为（ ）
A．B．6C．D．12
3．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·广东深圳·高二统考期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．（2023上·北京东城·高二统考期末）已知向量，，且，那么实数的值为（ ）
A．B．C．D．
空间向量的数量积的运算及应用
6．（2023上·湖南怀化·高二校联考期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·吉林白城·高二校考期末）如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ）
A．5B．3C．D．
8．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）在三棱锥中，为的中点，则等于（ ）
A．-1B．0C．1D．3
9．（2023上·重庆·高二校联考期末）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
10．（2023上·广东湛江·高二统考期末）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为60°，则 ．
11．（2023上·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知，，则 .
利用空间向量证明平行问题
12．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．7
13．（2023上·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
14．（2023上·广东·高二校考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
15．（2023上·天津滨海新·高二校考期末）已知平面和平面的法向量分别为，，若，则 ．
16．（2023上·陕西榆林·高二统考期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
利用空间向量证明垂直问题
17．（2023上·河南三门峡·高二统考期末）已知平面、的法向量分别为、，若，则等于（ ）
A．1B．2C．0D．3
18．（2023上·湖北武汉·高二校联考期末）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023上·北京西城·高二北京市西城外国语学校校考期末）已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则
20．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）如图，在棱长都相等的平行六面体中，，，两两夹角均为60°.
(1)求的值；
(2)求证：平面.
21．（2023上·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
22．（2023上·四川资阳·高二统考期末）如图，四棱锥，平面ABCD，为等边三角形，，B，D位于AC的异侧，.
(1)若，求证：平面平面PBD；
(2)若直线平面PAD，求四棱锥的体积.
23．（2023上·新疆·高二校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（ ）

A．B．C．D．
24．（2023上·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
26．（2023上·广西防城港·高二统考期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ）
A．B．0C．D．
27．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为 ．
28．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 .
29．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为 .
30．（2023上·广西钦州·高二浦北中学统考期末）平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.
(1)求线段的长；
(2)若，，，用空间向量的一组基底表示向量.
31．（2023上·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
32．（2023上·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）如图所示，在正方体中，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．