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苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第9讲 直线与圆的位置关系（学生版+教师版）
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知识精讲
知识点01 直线和圆的位置关系
1.直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线1的距离为d，那么
直线1与⊙O相交⟺d直线1与⊙O相切⟺d=r；
直线1与⊙O相离⟺d>r。
【微点拨】
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【即学即练1】如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】A
【解析】解：如图，圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，
平移后的点P的坐标为，
，
半径为，
，
圆P与x轴相交，
故选
知识点02 切线的判断定理、性质定理和切线长定理
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【微点拨】
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【微点拨】
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【微点拨】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
【微点拨】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
【即学即练2】如图，PA与相切于A点，，则（ ）
A．20°B．35°C．70°D．140°
【答案】C
【解析】∵PA与⊙O相切于A点，
∴，
∴．
故选C．
能力拓展
考法01 直线与圆的位置关系
【典例1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．
【答案】(1)y＝（0＜x＜4）
(2)当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交
【解析】(1)解：连接PB，设点P到AB的距离为PD=y，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵AC=4，AB=5，
∴ BC＝3．
∵S△ABC＝S△PBC+S△APB，
∴，
∴，
即x+y＝6，
∴y＝（0＜x＜4）．
(2)当x＝y时，
则x＝﹣x+，
解得：x＝．
∴当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；
当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；
当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交．
考法02 切线的性质和判定的综合应用
【典例2】已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(1)如图①，△OPC的最大面积是________；
(2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
【答案】(1)4；(2)见解析
【解析】(1)解：∵AB＝4，
∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S△OPCOC•h＝2h，
∴当h最大时，S△OPC取得最大值．
作PH⊥OC，如图①，则，当OP⊥OC时，，此时h最大，如答图1所示：
此时h＝半径＝2，．
∴△OPC的最大面积为4，
故答案为：4．
(2)证明：如答图②，连接AP，BP．
∵∠AOP＝∠BOD，
∴AP＝BD，
∵CP＝DB，
∴AP＝CP，
∴∠A＝∠C，
在△APB与△CPO中，
，
∴△APB≌△CPO（SAS），
∴∠APB＝∠OPC，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠OPC＝90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．过任意三点可以画一个圆
D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，故该选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不符合题意；
D、对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
2．如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ）
A．20°B．35°C．70°D．110°
【答案】A
【解析】解：∵PA与⊙O相切于A点，
∴∠PAO=90°．
又∵∠POA＝70°，
∴Rt中，，
故选A．
3．已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，
∴该圆的半径＞4，
故选：D．
4．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上，下列说法正确的是（ ）
A．点O是ABC的内心B．点O是ABC的外心
C．点O是ABD的内心D．点O是ABD的外心
【答案】D
【解析】解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．
可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，
所以点O是△ABD的外心，
故选：D．
5．如图，点，，在上，，是的切线，为切点，的延长线交于点，则________度．
【答案】50
【解析】解：点，，在上，，则∠COD=2∠A=40°，
是的切线，为切点，则DC⊥OC，∠OCD=90°，
△OCD中，∠ODC=180°－∠COD－∠OCD=50°，
故答案为：50；
6．如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．
【答案】128°．
【解析】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=76°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=104°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×104°=128°．
故答案为：128°．
7．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是____________．
【答案】相离
【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
8．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A=__________°．
【答案】35
【解析】解：连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：35．
9．已知，如图，是的直径，平分交平点.过点的切线交的延长线于.求证:.
【解析】连接.
是的切线，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
.
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6
【解析】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
题组B 能力提升练
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若，则∠ACB的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-37°=53°，
故选：C．
2．P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，下列叙述正确的是（ ）
A．点P在⊙O外
B．点Q在⊙O外
C．直线l与⊙O一定相切
D．若OQ＝5，则直线l与⊙O相交
【答案】D
【解析】解：∵OP＝5，⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上，故A错误；
∵P是直线l上的点，
∴直线l与⊙O相切或相交；
∴若相切，则OQ＞5，且点Q在⊙O外；若相交，则点Q可能在⊙O上，⊙O外，⊙O内；故B，C错误．
∴若OQ＝5，则直线l与⊙O相交；故D正确．
故选：D．
3．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（ ）
A．D点是△ABC的内心B．D点是△ABC的外心
C．E点是△ABC的内心D．E点是△ABC的外心
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC中线，
∴D点是△ABC的外心．
故选：B．
4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=63°，则∠APB等于（ ）
A．62°B．54°C．53°D．63°
【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=63°，
∴∠AOB=2∠ACB=126°，
∵PA、PB都是圆O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴∠APB=360°-∠AOB-∠OBP-∠OAP=54°，
故选：B．
5．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
【答案】72°
【解析】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-126°=54°，
∴∠AOB=2∠ADB=108°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=180°-108°=72°．
故答案为：72°．
6．如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
【答案】
【解析】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案为：．
7．如图，已知平行四边形OABC，⊙O恰好经过B，C两点，且与边AB相切，延长AO交⊙O于点D，连接BD，则∠ADB的度数为______．
【答案】22.5°
【解析】连接OB，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OC=OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠AOB=45°，
∵OD=OB，
∴∠D=∠OBD，
∵∠D+∠OBD=∠AOB=45°，
∴∠D=∠OBD=22.5°，
故答案为：22.5°．
8．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】
【解析】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析；(2)2
【解析】(1)解：如图，切线AD即为所求；
(2)如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cs30°＝，
∴BC＝2．
10．如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)13
【解析】(1)如图，连接，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
(2)如图，过点作，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝40°，则∠B的大小为（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【答案】B
【解析】解：如下图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，A为切点，
∴∠CAO=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=90°-40°=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠BAO，
∴∠B=50º÷2=25º，
故选：B．
2．如图，AB是的直径，点C在上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在弧AC上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若，则的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴．
故选：B
3．如图，是的直径，切于点，交于点，连接．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：，
是的直径，切于点A，
，
即，
故选：D．
4．如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥AB，
∵P在EF上，AB=8，BC=6，
∴S△PAB=×8×3=12，
设△PAB内切圆半径是r，
∵S△PAB=（AP+PB+AB）•r=12，
∴AP+BP最小时，r有最大值，
如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'，
∵AP+BP=AP+CP≥CA，
∴此时CA即为AP+BP最小值，
∵AB=8，AD=6，
∴AC==10，
∴AP+BP最小值为10，
∴PA=PB=5，
∴×5×r+×5×r+×8×r=12，
解得r=，
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于A、C两点，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】解：如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，
则轴，
为直径，则，
，
轴，
∵
，，
，，
，
轴，
．
故答案为：．
6．如图，AB是的直径，点E、C在上，点A是弧EC的中点，过点A画的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，若，则______°．
【答案】31
【解析】如图，连接AE，
∵AD为圆O切线，
∴，
∴，
∴，
∵点A是弧EC的中点，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：31．
7．在中，，若，，点是线段上一动点，以为圆心，为半径的圆与相切，则的长为______．
【答案】
【解析】解：设以为圆心，为半径的圆与相切于点E，
，，，
是圆D的切线，
设圆的半径为r，则
解得：
故答案为：
8．如图，已知内切于边上切点为点D，作的直径，连结并延长交于点F，若，则的长为________．
【答案】5
【解析】解：设AC与的切点为点G，AB与的切点为H，连接OG，OH，如图，
则
∴
∵BC是的切线，DE是直径，D为切点
∴，即
又∵
∴ED//AC
∴
∵
∴
∴FD=ED=2，AC=FC，OD=OG=DC=CG=12ED=1
∵FC=FD+DC=2+1=3
∴AC=3
∴
设BF=x，则BH=BD=2+x，
∴BC=BD+CD=3+x，AB=AH+BH=4+x
在Rt△ABC中，
∴
解得，
∴
故答案为5．
9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．
(1)若∠A＝36°，求∠C的度数；
(2)若弦BC＝24，圆心O到弦BC的距离为6，求⊙O的半径．（结果用根号表示）
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：连接OB，
∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OB，
∵∠BOC为△AOB的外角，
∴∠BOC＝∠OBA+∠A＝126°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC==27°；
(2)解：过O作OD⊥BC于D，如图，
∵OB=OC，OD⊥CD，
∴D为BC中点，即BD＝CD=BC＝12，
在Rt△COD中，OD＝6，CD＝12，
则OC==,
即⊙O的半径为．
10．如图，已知，∠B＝90°．
(1)作⊙O，使得圆心O在线段AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D；
(2)若AD＝3，⊙O的半径为4，求BC的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)解：如图，⊙O即为所求作．
(2)解：∵AB是的切线，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点D．
(1)判断△CBD的形状，并说明理由；
(2)若CD＝3OD，AD＝8，求⊙O的半径．
【答案】(1)△CBD是等腰三角形，理由见解析
(2)
【解析】(1)△CBD是等腰三角形，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠ADO=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBD=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠ADO=∠CBD，
∵∠ADO=∠CDB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=CB；
∴△CBD是等腰三角形；
(2)∵CD＝3OD，AD＝8，
∴设，则，
∴BC=3x，
在Rt中，，
∴，
在Rt中，，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴．
12．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
(1)求证：AD与⊙O相切；
(2)若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径 r．
【答案】(1)见解析；(2)2.5
【解析】(1)证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°．
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴△ABE≌△DCE．
∴EB＝EC．
∵OB＝OC，
∴EF垂直平分BC，即∠EFC＝90°．
∴∠DEF＋∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝180°－∠EFC＝180°－90°＝90°，即EF⊥AD．
∵点E在⊙O上，
∴AD与⊙O相切．
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为F，连接OE、ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°．
∵AD切⊙O于点E，
∴∠OED＝90°．
∵∠OFD＝90°，
∴四边形OEDF是矩形．
∴OF＝ED，DF＝OE＝r．
∵E是AD的中点，
∴OF＝ED＝0.5AD＝2．
在Rt△OFN中，由勾股定理得：
OF2＋NF2＝ON2，即22＋(r－1)2＝r2．
∴解得r＝2.5．
13．图，AB为的直径，是的内接三角形，PB切于点B，
(1)如图①，延长AD交PB于点P，若，求∠P和∠BAP的度数；
(2)如图②，连接AP交于点E，若，，求∠P和∠BAP的度数．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】(1)连接BD，如图①
∵PB切于点B，
∴．
∵，
∴．
∵AB为的直径，
∴，
∴，
∴；
(2)：连接CE与AB相交于点F，如图②
∵，，
∴，
∴．
∵PB切于点B，
∴，
∴．
∵AB为的直径，
∴AB是CE的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
课程标准
课标解读
1.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。
2.了解三角形的内心，能用尺规作图过不在同一直线上的三点作圆作三角形的内切圆。
3.能用尺规作图∶过圆外一点作圆的切线
4.探索并证明切线长定理过圆外一点的两条切线长相等。
能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
目标导航
知识精讲
知识点01 直线和圆的位置关系
1.直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线1的距离为d，那么
直线1与⊙O相交⟺d
直线1与⊙O相离⟺d>r。
【微点拨】
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【即学即练1】如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】A
【解析】解：如图，圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，
平移后的点P的坐标为，
，
半径为，
，
圆P与x轴相交，
故选
知识点02 切线的判断定理、性质定理和切线长定理
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【微点拨】
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【微点拨】
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【微点拨】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
【微点拨】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
【即学即练2】如图，PA与相切于A点，，则（ ）
A．20°B．35°C．70°D．140°
【答案】C
【解析】∵PA与⊙O相切于A点，
∴，
∴．
故选C．
能力拓展
考法01 直线与圆的位置关系
【典例1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．
【答案】(1)y＝（0＜x＜4）
(2)当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交
【解析】(1)解：连接PB，设点P到AB的距离为PD=y，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵AC=4，AB=5，
∴ BC＝3．
∵S△ABC＝S△PBC+S△APB，
∴，
∴，
即x+y＝6，
∴y＝（0＜x＜4）．
(2)当x＝y时，
则x＝﹣x+，
解得：x＝．
∴当0＜x＜时，⊙P与AB所在直线相离；
当x＝时，⊙P与AB所在直线相切；
当＜x＜4时，⊙P与AB所在直线相交．
考法02 切线的性质和判定的综合应用
【典例2】已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(1)如图①，△OPC的最大面积是________；
(2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
【答案】(1)4；(2)见解析
【解析】(1)解：∵AB＝4，
∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S△OPCOC•h＝2h，
∴当h最大时，S△OPC取得最大值．
作PH⊥OC，如图①，则，当OP⊥OC时，，此时h最大，如答图1所示：
此时h＝半径＝2，．
∴△OPC的最大面积为4，
故答案为：4．
(2)证明：如答图②，连接AP，BP．
∵∠AOP＝∠BOD，
∴AP＝BD，
∵CP＝DB，
∴AP＝CP，
∴∠A＝∠C，
在△APB与△CPO中，
，
∴△APB≌△CPO（SAS），
∴∠APB＝∠OPC，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠OPC＝90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．过任意三点可以画一个圆
D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，故该选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不符合题意；
D、对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
2．如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ）
A．20°B．35°C．70°D．110°
【答案】A
【解析】解：∵PA与⊙O相切于A点，
∴∠PAO=90°．
又∵∠POA＝70°，
∴Rt中，，
故选A．
3．已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，
∴该圆的半径＞4，
故选：D．
4．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上，下列说法正确的是（ ）
A．点O是ABC的内心B．点O是ABC的外心
C．点O是ABD的内心D．点O是ABD的外心
【答案】D
【解析】解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．
可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，
所以点O是△ABD的外心，
故选：D．
5．如图，点，，在上，，是的切线，为切点，的延长线交于点，则________度．
【答案】50
【解析】解：点，，在上，，则∠COD=2∠A=40°，
是的切线，为切点，则DC⊥OC，∠OCD=90°，
△OCD中，∠ODC=180°－∠COD－∠OCD=50°，
故答案为：50；
6．如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．
【答案】128°．
【解析】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=76°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=104°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×104°=128°．
故答案为：128°．
7．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是____________．
【答案】相离
【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
8．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A=__________°．
【答案】35
【解析】解：连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：35．
9．已知，如图，是的直径，平分交平点.过点的切线交的延长线于.求证:.
【解析】连接.
是的切线，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
.
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6
【解析】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
题组B 能力提升练
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若，则∠ACB的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-37°=53°，
故选：C．
2．P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，下列叙述正确的是（ ）
A．点P在⊙O外
B．点Q在⊙O外
C．直线l与⊙O一定相切
D．若OQ＝5，则直线l与⊙O相交
【答案】D
【解析】解：∵OP＝5，⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上，故A错误；
∵P是直线l上的点，
∴直线l与⊙O相切或相交；
∴若相切，则OQ＞5，且点Q在⊙O外；若相交，则点Q可能在⊙O上，⊙O外，⊙O内；故B，C错误．
∴若OQ＝5，则直线l与⊙O相交；故D正确．
故选：D．
3．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（ ）
A．D点是△ABC的内心B．D点是△ABC的外心
C．E点是△ABC的内心D．E点是△ABC的外心
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC中线，
∴D点是△ABC的外心．
故选：B．
4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=63°，则∠APB等于（ ）
A．62°B．54°C．53°D．63°
【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=63°，
∴∠AOB=2∠ACB=126°，
∵PA、PB都是圆O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴∠APB=360°-∠AOB-∠OBP-∠OAP=54°，
故选：B．
5．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB=126°，则∠P的度数为________．
【答案】72°
【解析】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-126°=54°，
∴∠AOB=2∠ADB=108°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=180°-108°=72°．
故答案为：72°．
6．如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
【答案】
【解析】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案为：．
7．如图，已知平行四边形OABC，⊙O恰好经过B，C两点，且与边AB相切，延长AO交⊙O于点D，连接BD，则∠ADB的度数为______．
【答案】22.5°
【解析】连接OB，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OC=OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠AOB=45°，
∵OD=OB，
∴∠D=∠OBD，
∵∠D+∠OBD=∠AOB=45°，
∴∠D=∠OBD=22.5°，
故答案为：22.5°．
8．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】
【解析】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析；(2)2
【解析】(1)解：如图，切线AD即为所求；
(2)如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cs30°＝，
∴BC＝2．
10．如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)13
【解析】(1)如图，连接，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
(2)如图，过点作，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝40°，则∠B的大小为（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【答案】B
【解析】解：如下图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，A为切点，
∴∠CAO=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=90°-40°=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠BAO，
∴∠B=50º÷2=25º，
故选：B．
2．如图，AB是的直径，点C在上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在弧AC上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若，则的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴．
故选：B
3．如图，是的直径，切于点，交于点，连接．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：，
是的直径，切于点A，
，
即，
故选：D．
4．如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥AB，
∵P在EF上，AB=8，BC=6，
∴S△PAB=×8×3=12，
设△PAB内切圆半径是r，
∵S△PAB=（AP+PB+AB）•r=12，
∴AP+BP最小时，r有最大值，
如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'，
∵AP+BP=AP+CP≥CA，
∴此时CA即为AP+BP最小值，
∵AB=8，AD=6，
∴AC==10，
∴AP+BP最小值为10，
∴PA=PB=5，
∴×5×r+×5×r+×8×r=12，
解得r=，
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于A、C两点，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】解：如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，
则轴，
为直径，则，
，
轴，
∵
，，
，，
，
轴，
．
故答案为：．
6．如图，AB是的直径，点E、C在上，点A是弧EC的中点，过点A画的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，若，则______°．
【答案】31
【解析】如图，连接AE，
∵AD为圆O切线，
∴，
∴，
∴，
∵点A是弧EC的中点，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：31．
7．在中，，若，，点是线段上一动点，以为圆心，为半径的圆与相切，则的长为______．
【答案】
【解析】解：设以为圆心，为半径的圆与相切于点E，
，，，
是圆D的切线，
设圆的半径为r，则
解得：
故答案为：
8．如图，已知内切于边上切点为点D，作的直径，连结并延长交于点F，若，则的长为________．
【答案】5
【解析】解：设AC与的切点为点G，AB与的切点为H，连接OG，OH，如图，
则
∴
∵BC是的切线，DE是直径，D为切点
∴，即
又∵
∴ED//AC
∴
∵
∴
∴FD=ED=2，AC=FC，OD=OG=DC=CG=12ED=1
∵FC=FD+DC=2+1=3
∴AC=3
∴
设BF=x，则BH=BD=2+x，
∴BC=BD+CD=3+x，AB=AH+BH=4+x
在Rt△ABC中，
∴
解得，
∴
故答案为5．
9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．
(1)若∠A＝36°，求∠C的度数；
(2)若弦BC＝24，圆心O到弦BC的距离为6，求⊙O的半径．（结果用根号表示）
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：连接OB，
∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OB，
∵∠BOC为△AOB的外角，
∴∠BOC＝∠OBA+∠A＝126°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC==27°；
(2)解：过O作OD⊥BC于D，如图，
∵OB=OC，OD⊥CD，
∴D为BC中点，即BD＝CD=BC＝12，
在Rt△COD中，OD＝6，CD＝12，
则OC==,
即⊙O的半径为．
10．如图，已知，∠B＝90°．
(1)作⊙O，使得圆心O在线段AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D；
(2)若AD＝3，⊙O的半径为4，求BC的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)解：如图，⊙O即为所求作．
(2)解：∵AB是的切线，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点D．
(1)判断△CBD的形状，并说明理由；
(2)若CD＝3OD，AD＝8，求⊙O的半径．
【答案】(1)△CBD是等腰三角形，理由见解析
(2)
【解析】(1)△CBD是等腰三角形，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠ADO=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBD=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠ADO=∠CBD，
∵∠ADO=∠CDB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=CB；
∴△CBD是等腰三角形；
(2)∵CD＝3OD，AD＝8，
∴设，则，
∴BC=3x，
在Rt中，，
∴，
在Rt中，，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴．
12．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
(1)求证：AD与⊙O相切；
(2)若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径 r．
【答案】(1)见解析；(2)2.5
【解析】(1)证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°．
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴△ABE≌△DCE．
∴EB＝EC．
∵OB＝OC，
∴EF垂直平分BC，即∠EFC＝90°．
∴∠DEF＋∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝180°－∠EFC＝180°－90°＝90°，即EF⊥AD．
∵点E在⊙O上，
∴AD与⊙O相切．
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为F，连接OE、ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°．
∵AD切⊙O于点E，
∴∠OED＝90°．
∵∠OFD＝90°，
∴四边形OEDF是矩形．
∴OF＝ED，DF＝OE＝r．
∵E是AD的中点，
∴OF＝ED＝0.5AD＝2．
在Rt△OFN中，由勾股定理得：
OF2＋NF2＝ON2，即22＋(r－1)2＝r2．
∴解得r＝2.5．
13．图，AB为的直径，是的内接三角形，PB切于点B，
(1)如图①，延长AD交PB于点P，若，求∠P和∠BAP的度数；
(2)如图②，连接AP交于点E，若，，求∠P和∠BAP的度数．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】(1)连接BD，如图①
∵PB切于点B，
∴．
∵，
∴．
∵AB为的直径，
∴，
∴，
∴；
(2)：连接CE与AB相交于点F，如图②
∵，，
∴，
∴．
∵PB切于点B，
∴，
∴．
∵AB为的直径，
∴AB是CE的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
课程标准
课标解读
1.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。
2.了解三角形的内心，能用尺规作图过不在同一直线上的三点作圆作三角形的内切圆。
3.能用尺规作图∶过圆外一点作圆的切线
4.探索并证明切线长定理过圆外一点的两条切线长相等。
能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
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