2023年初中数学8年级下册同步压轴题 专题10 一次函数的应用三种考法全攻略（学生版+解析版）

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类型一、分配方案问题
例．某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元．
(1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社与旅游人数的函数关系式；
(2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？
(3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？
【答案】(1)，
(2)选择乙旅行社比较合算
(3)为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社
【详解】(1)解：由题意，得：；
；
(2)解：当时，，，
∴；
故选择乙旅行社比较合算．
(3)解：当时：，解得：；
当时：，解得：；
∵，
∴为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社．
【变式训练1】文德中学为了缓解学生用餐拥挤，计划购进某种餐桌、餐椅，这是某商场给出的报价表：
已知用720元购进的餐桌数量与用320元购进的餐椅数量相同．
(1)求每张餐桌和餐椅的零售价．
(2)采购人员计划购进餐椅的数量是餐桌数量的6倍还多10张，且餐桌和餐椅的总数量不少于220张．如果成套购买可享受该商场的成套售价(一张餐桌和四张餐椅配成一套)．采购人员决定先成套购买，其余餐椅以零售价购入．设购进餐桌的数量为(张)，总价为(元)，求关于的函数关系式，并求出总价最低时的进货方案．
【答案】(1)每张餐桌和餐椅的零售价分别为180元、80元
(2)当进货餐桌30张，桌椅190张时，总价最低
【详解】(1)解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴每张餐桌和餐椅的零售价分别为180元、80元；
(2)解：由题意得，
∵餐桌和餐椅的总数量不少于220张，∴，∴，
∵，∴当时，W最小，最小为19100元，∴，，符合题意，
∴当进货餐桌30张，桌椅190张时，总价最低．
【变式训练2】根据以下素材，探索完成任务
【答案】任务1：至少需要A型冷链运输车8辆；
任务2：方案一：A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆；方案二：A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆；方案三：A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：当a=50时三种方案一样；当时，方案三最少；当时，方案一最少
【详解】任务1：
设需A型冷链运输车m辆，
根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴至少需A型冷链运输车8辆；
任务2：
设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车辆，
根据题意得：，
解得，
∵x是整数，
∴x可取6，7，8，
∴运输方案有3种：
方案一：用A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，
方案二：用A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆，
方案三：用A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：
设过路费总和为y元，
，
当时, ，三种方案一样；
当，即时，y随x的增大而增大，
∴时，y取最小值，最小值为(元)，
即安排A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，过路费总和最少；
当，即时，y随x的增大而减小，
∴时，y取最小值，最小值为元，
即安排A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆，过路费总和最少；
答：当a=50时三种方案一样；当时，方案三最少；当时，方案一最少．
【变式训练3】某市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，安排一列货车将这批苹果和梨运往深圳市．这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货箱的运费是0.8万元．
(1)设运输这批苹果和梨的总运费为y万元，用A型货箱的节数为x节，试写出y与x的函数关系式；
(2)已知苹果35吨和梨15吨可装满一节A型车厢，苹果25吨和梨35吨可装满一节B型车厢，按此要求安排A、B两种货箱的节数，有哪几种运输方案，请你设计出来；
(3)哪种方案的总运费最小？最少运费是多少？
【答案】(1)
(2)有三种方案，详见解析
(3)方案三的总运费最少，最少运费为万元
【详解】(1)解：设用型货箱节，则用型货箱节，
根据题意，可得：，
即；
(2)解：根据题意，可得，
解得：，
∵为整数，
∴的取值为，，，
∴运送方案有三种：
方案一：型货厢节，型货厢节；
方案二：型货厢节，型货厢节；
方案三：型货厢节，型货厢节；
(3)解：在中，
∵，
∴随的增大而减小，
∴ 当时，总运费最少，即方案三的总运费最少，此时总运费(万元)．
【变式训练4】咸阳是中国农业文明的发祥地，果业作为全市的支柱产业，近些年，咸阳市的果业规模迅速扩大，果品质量逐年提升，果业效益显著提升，已成为陕西第一果业大市．一家果业加工厂承担出口某种水果的加工任务，有一批水果需要装入某一规格的礼盒，而这种礼盒的来源有两种方案可供选择：
方案一：从礼盒加工厂订购，购买礼盒所需费用为(元)；
方案二：由该果业加工厂租赁机器，自己加工制作这种礼盒，所需费用(包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用)为(元)．
其中(元)、(元)与礼盒数(个)满足如图所示的函数关系，根据图象解答下列问题：
(1)请分别求出、与之间的函数关系式；
(2)若该果业加工厂需要这种礼盒2000个，你认为选择哪种方案更省钱？并说明理由；
(3)当该果业加工厂需要这种礼盒多少个时，选择两种方案所需的费用相同？
【答案】(1)；
(2)该果业加工厂需要这种礼盒2000个，选择方案二更省钱，理由见解析
(3)当该果业加工厂需要这种礼盒1250个时，选择两种方案所需的费用相同
【详解】(1)解：设．
将点代入，得
解得，
所以；
设．
因为图象经过点，
所以，即．
由图象知函数经过点，
将点代入，得，
解得，
所以．
(2)当时，
，
，
因为，
所以若该果业加工厂需要这种礼盒2000个，选择方案二更省钱．
(3)令，则
解得．
即当该果业加工厂需要这种礼盒1250个时，选择两种方案所需的费用相同．
类型二、最大利润问题
例．为了迎接兔年的到来，广大市民纷纷开始购买兔年装饰物，某网店上架了“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”这两款产品，已知10个“玉兔灯笼”和15个“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和20个“玉兔摆件”的售价为5200元．
(1)每个“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的售价分别为多少元？
(2)已知“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的成本分别为80元/个和50元/个．进入2023年一月后，这两款产品持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中“玉兔摆件”的数量不超过“玉兔灯笼”数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，网店决定对“玉兔灯笼”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款产品全部售出，则“玉兔灯笼”购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个 “玉兔摆件”的售价为元．
(2)“玉兔灯笼”购进个，所获得的利润最大，最大利润为元．
【详解】(1)解：设每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个 “玉兔摆件”的售价为元，则
，解得：，
答：每个“玉兔灯笼”的售价为元，每个 “玉兔摆件”的售价为元．
(2)设当月销售利润为元，“玉兔灯笼”购进个，则“玉兔摆件”购进个，
∴

，
又∵，
解得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
此时；
∴“玉兔灯笼”购进个，所获得的利润最大，最大利润为元．
【变式训练1】6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w(元)与m(件)的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
【答案】(1)A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元
(2)购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元
【详解】(1)解：设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元；
(2)解：根据题意，得，
解得，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最大值：，
(件)，
故购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元．
【变式训练2】服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．
①问有几种进货方案？
②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客元，要使①所有方案获利相同，求的值．
【答案】(1)400元；(2)①5种；②20
【详解】(1)设销售甲种品牌服装现价每件为元，依题意得
解得：
检验：当时，，所以，原分式方程的解为
答：销售甲种品牌服装现价每件为400元；
(2)①设购甲种品牌服装件，则乙种品种服装件
解得：，
∵为正整数，
∴8，9，10，11，12，共有5种进货方案，
答：共有5种进货方案．
②设总获利为元，
∵要使①中所有方案获利相同，
∴的结果与无关，
∴，
∴．
答：的值为20．
【变式训练3】某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超过6810元购进这两种商品共100件．
(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？
(2)设其中甲商品的进货件数为件，商店有几种进货方案？
(3)设销售两种商品的总利润为元，试写出利润与的函数关系式，并利用函数的性质说明哪一种进货方案可获得最大利润，并求出最大利润是多少？
【答案】(1)进价为40元，乙商品的进价为80元
(2)有三种进货方案：方案1，甲种商品30件，乙商品70件；方案2，甲种商品31件，乙商品69件；方案3，甲种商品32件，乙商品68件
(3)时，最大，此时
【详解】(1)解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，
由题意得，
，
解得，
答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；
(2)解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
由题意得，
，
解得：，
为整数，
，
有三种进货方案：
方案1，甲种商品30件，乙商品70件；
方案2，甲种商品31件，乙商品69件；
方案3，甲种商品32件，乙商品68件；
(3)解：设利润为元，
由题意得，
，
，
随的增大而减小，
时，最大，此时．
【变式训练4】某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品进价为100元/件，售价为150元/件．
(1)若商场用39000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润9500元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)现商场需购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，两种商品销售完后可获总利润为元，如果购进甲种商品的数量至少100件，求销售完这批商品获得的最大利润．
【答案】(1)甲种商品200件，乙种商品150件
(2)6000元
【详解】(1)解：设购进甲种商品件，乙种商品件，由题意，得
，
解得：，
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品150件．
(2)已知购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意，得
，
，
随的增大而减小．
当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，
最大利润元．
类型三、几何问题
例．A、B两地相距260km，甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了h，甲车休息前后速度一样，如图是甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数图象．
(1)直接写出和的值；
(2)甲车从A地到B地共用多少小时？
(3)乙车出发后，当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？
【答案】(1)，
(2)7小时
(3)小时或小时
【详解】(1)解：由题意，得
．
，
．
∴，；
(2)当时，设与之间的函数关系式为，由题意，得
，解得：，
，
当时，甲车与之间的函数关系式为，
当时，，
解得：，
甲车共行驶时间是7小时；
(3)设乙车行驶的路程与时间之间的解析式为，由题意，得
，
解得：，
．
当时，
解得：．
当时，
解得：，
，，
答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距．
【变式训练1】如图中的图像(折线)描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离(千米)和行驶时间(小时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：
(1)汽车共行驶了___________千米；
(2)汽车在行驶途中停留了___________小时；
(3)汽车自出发后4点到小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离(千米)和行驶时间(小时)之间的函数关系式(写出解题过程)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解：由，可得：
汽车共行驶了(千米)；
(2)由，可得：
汽车在行驶途中停留了(小时)；
(3)由，可得：
行驶速度为每小时： (千米)；
设，
∴，
解得： ，
∴．
【变式训练2】如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，沿轨道向C匀速行驶，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为(秒)，两车之间的距离为(米)，则与的关系如图2所示，根据图象解决下列问题：
(1)甲车经过______秒追上乙车，______．
(2)设相遇前两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______；
设相遇后两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______．
(3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米?
【答案】(1)3；8
(2)；
(3)5秒．
【详解】(1)由图2得3秒时，两车之间的距离为0，速度差为
设乙速度为xm/s,则甲速度为x+2m/s
由题得，
所以7秒后，甲行驶了28m，乙行驶了14m，再加上一开始相距的6m，．
(2)设，把带入得
∴，
因为速度差不变，所以斜率为2，代入得
(3)
，所以出发后1s和5s时，它们之间的距离为4米．
【变式训练3】共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有 A、B 两种品牌的共享电动车， 收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 A 品牌收费方式对应，B 品牌的收费方式对应．
(1)B 品牌10分钟后，每分钟收费 元；
(2)写出B品牌的函数关系式；
(3)如果小明每天早上需要骑行 A 品牌或 B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(4)直接写出两种收费相差 2 元时 x 的值是 ．
【答案】(1)0.2
(2)
(3)小明选择B品牌的共享电动车更省钱
(4)10或30
【详解】(1)解：由图像可知：B品牌的电动车在10分钟后，分钟收费为元，
∴B品牌电动车在10分钟后每分钟收费为元．
故答案为：0.2；
(2)解：设当时，B品牌的函数关系式为，
∴，
∴，
∴当时，B品牌的函数关系式为，
∴B品牌的函数关系式为，
(3)解：∵两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，
∴小明从家到工厂的时间为分钟，
∵，由图象可知，当骑行时间超过时，，即骑行B品牌的共享电动车更省钱，
∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱；
(4)解：同理可求出A品牌函数关系式为，
∵当时两种收费相同，
∴两种收费相差2元时，分前和后两种情况，
①当时，离越近收费相差的越少，
当时，，此时符合题意；
②当时，则，
解得：．
∴在10分钟或30分钟，两种收费相差2元．
故答案为：10或30．
零售价(元/张)
成套售价(元/套)
餐桌
450
餐椅
如何运输最省?
素材一
为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A 和 B型两种运输车，其中型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．
素材二
型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元．
问题解决
任务1
若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排型冷链运输车，则至少需型冷链运输车多少辆？
任务2
市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于元请你列出所有的运输方案．
任务3
在任务2的条件下，由于A型和 B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费， B型元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？