2023-2024学年福建省福州市山海联盟教学协作校高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市山海联盟教学协作校高二上学期期中联考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线过点3,-2与点1,0，则这条直线的倾斜角是
( )
A. π6B. π4C. 2π3D. 3π4
2.已知空间向量m=-1,2,4,n=2,-5,x，当m⊥n时，则x=( )
A. 12B. 3C. -2D. -8
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AD上一点，DE=2AE,F是棱D1C上一点，FC=3D1F，则异面直线A1E与BF所成角的余弦值为
( )
A. 8534B. 8568C. 6534D. 6568
4.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d，则a，d分别为
( )
A. a=6，d= 63B. a=6，d= 53
C. a=-6，d= 53D. a=-6，d= 63
5.圆M:x2+y2-2ax+4y+4=0与圆N:x2+y2=1外切，则正数a=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
6.圆x2+y2-4y=0关于直线y=2x+1对称的图形轨迹方程为
( )
A. (x-1)2+(y-1)2=2B. (x-1)2+(y-2)2=4
C. x-252+y-452=4D. x-452+y-852=4
7.直线kx-y+2-k=0与圆(x+1)2+(y+1)2=25相交于A,B两点，则弦长AB的最小值为
( )
A. 2 3B. 4C. 4 3D. 8
8.正方形ABCD中，边长为2,O为正方形中心，E为AB的中点，F为CD中点，将▵ABD沿着对角线BD缓慢折起，当∠EOF的余弦值为-13时，二面角A-BD-C的余弦值为
( )
A. 12B. 13C. -13D. -12
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知空间中三点A0,1,0,B1,2,0,C-1,3,1则下列说法正确的有
( )
A. AB= 2B. AB//AC
C. AC⋅AB=1D. AC在AB上投影向量的长度为 22
10.圆M与y轴相切，且经过A1,0,B2,1两点，则圆M可能是
( )
A. (x-1)2+(y-2)2=4B. (x-5)2+(y+3)2=25
C. (x-1)2+(y-1)2=1D. (x-3)2+(y+1)2=9
11.下列说法错误的是( )
A. 若有空间向量a,b，a//b，则存在唯一的实数λ，使得b=λa
B. A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若OP=34OA+18OB+18OC，则P，A，B，C四点共面
C. a=x,2,1，b=4,-2+x,x，a与b夹角为直角，则x的取值是0．
D. 若OA,OB,OC是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
12.已知点Pa,b是圆C：x2+y2=4上的点，则下列说法正确的是
( )
A. Pa,b到直线x-y+ 2=0的距离最大值为5
B. ba+4的最大值为 33
C. (a-3)2+(b-4)2的最小值为9
D. 2a+b的最小值为-2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知平面α/​/β，m和n分别是α和β的法向量，m=2,3,-1，n=x,y,2，则x+y=__________．
14.在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点D1到平面A1BD的距离为__________．
15.已知直线l经过点1,1，且A-4,-1，B-2,3两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为___________．
16.阿波罗尼斯(古希腊数学家)，证明过这样的一个命题：平面内与两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在▵ABC中，sinB=2sinA，AB=6，当▵ABC面积最大时，AC=__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
如图，在四面体O-ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA=a，OB=b，OC=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量a，b，c表示向量MN，OG；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
18.(本小题12分)
已知直线l过点P(-1,2)．
(1)若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
(2)设直线l的斜率k>0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．
19.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4，P为BC1上的点．
(1)求证：A1P//平面AD1C；
(2)求二面角P-AD1-C的余弦值
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x ​2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
21.(本小题12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，▵PAC为等边三角形，PB=AC=4,AB=2，∠BAC=60∘．
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)点D是棱BC上的动点，当直线BC与平面APD所成角的正弦值为2 55时，求D点的位置．
22.(本小题12分)
已知圆C:x2+y2-1+ax-ay+a=0．
(1)若圆C与直线l相切于点1,2，求直线l的方程；
(2)已知a>1，圆C与x轴相交于M,N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条不与坐标轴垂直的直线，该直线与圆O:x2+y2=6相交于A,B两点，问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用两点求出斜率，再求解倾斜角即可．
解：因为直线过点 3,-2 与点 1,0 ，所以该直线的斜率为 -2-03-1=-1 ，
设这条直线的倾斜角为 θ ，则 tanθ=-1 ，所以 θ=3π4 ．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据已知推得 m⋅n=0 ，代入列出方程，求解即可得出答案．
解：由已知可得， m⋅n=0 ，
所以有 -1×2+2×-5+4x=0 ，解得 x=3 ．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，写出坐标，根据夹角的向量公式，可得答案．
解：由题意，如下图所示建立空间直角坐标系：
设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1 ，
则 A0,0,0 ， B1,0,0 ， C1,1,0 ， D0,1,0 ， A10,0,1 ， D10,1,1 ，
设 ExE,yE,zE ， FxF,yF,zF ，
由 DE=2AE ，则 3AE=AD ，由 AE=xE,yE,zE ， AD=0,1,0 ，
则 3xE=03yE=13zE=0 ，解得 xE=0yE=1zE=0 ，所以 E0,13,0 ，
由 FC=3D1F ，则 4D1F=D1C ，由 D1F=xF,yF-1,zF-1 ， D1C=1,0,-1 ，
则 4xF=14yF-1=04zF-1=-1 ，解得 xF=14yE=1zE=34 ，所以 F14,1,34 ，
由 A1E=0,13,-1 ， BF=-34,1,34 ，
则 A1E= 0+19+1= 103 ， BF= 916+1+916= 344 ，
A1E⋅BE=0+13-34=-512 ，设异面直线 A1E 与 BF 的夹角为 θ ，
则 csθ=A1E⋅BFA1E⋅BF= 8534 ．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了两直线平行的位置关系，考查了两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
先由两直线平行求出a的值．再运用两平行直线的距离公式求出d的值即可．
【解答】
解：∵直线2x-y+3=0与直线ax-3y+4=0平行，
∴a2=-3-1≠43，
解得a=6，
∴直线ax-3y+4=0方程化为6x-3y+4=0，即2x-y+43=0，
∴两平行线间的距离d=|3-43| 22+(-1)2= 53，
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据圆的一般方程整理为标准方程，明确圆心与半径，结合两圆外切，建立方程，可得答案．
解：由圆 M:x2+y2-2ax+4y+4=0 ，则整理可得 x-a2+y+22=a2 ，
所以圆心 Ma,-2 ，半径 r=a ，
由 N:x2+y2=1 ，则圆心 N0,0 ，半径 R=1 ，
由两圆外切，则 R+r=MN ，所以 a+1= a2+4 ，解得正数 a=32 ．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】先将已知圆化为标准方程得出圆心、半径，根据点关于直线对称点坐标关系列出方程组，求解即可得出对称圆的圆心，进而得出答案．
解：圆关于直线对称的图形的轨迹仍为圆．
将圆的方程 x2+y2-4y=0 化为标准方程可得， x2+y-22=4 ，
圆心 C0,2 ，半径 r=2 ．
设点 C0,2 关于直线 y=2x+1 对称的点为 Dx0,y0 ，
则有 y0+22=2×x02+1y0-2x0-0×2=-1 ，解得 x0=45y0=85 ，
即对称圆的圆心为 D45,85 ．
又半径 r1=r=2 ，
所以，轨迹方程为 x-452+y-852=4 ．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】先求出圆心、半径，得出直线的定点.求出圆心到直线的最大距离，即可根据垂径定理，得出答案．
解：由已知可得，圆心 C-1,-1 ，半径 r=5 ．
将直线方程化为 kx-1-y-2=0 ，
由 x-1=0y-2=0 可得， x=1y=2 ，
所以直线恒过点 D1,2 ，显然点 D 在圆内．
当 CD 与直线垂直时，圆心 C-1,-1 到直线的距离 d 有最大值，最大值为 dmax=CD= 22+32= 13 ．
由垂径定理可得， AB=2 r2-d2 ，可知此时弦长 AB 有最小值，
最小值为 AB=2 r2-dmax2=4 3 ．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】由已知求出各边长度，推得 ∠AOC 即为二面角 A-BD-C 的平面角.结合图形，根据几何性质，用 OB,OE,OF 表示出 OA,OC ，根据数量积的计算公式，即可得出答案．
解：
由已知可得， OA=OB=OC=OD= 2 ， OA⊥BD ， OC⊥BD ，
所以， ▵AOB ， △COD 均为直角三角形， ∠AOC 即为二面角 A-BD-C 的平面角．
又 E,F 分别是 AB,CD 的中点，
所以， OE=12AB=1 ， OF=12CD=1 ，
且 ∠BOE=∠DOF=45∘ ，
所以， OB⋅OE= 2×1×cs45∘=1 ， OB⋅OF= 2×1×cs135∘=-1 ， OE⋅OF=1×1×cs∠EOF=-13 ．
由 OA+OB=2OE 可得， OA=2OE-OB ．
同理可得， OC=2OF-OD=2OF+OB ．
所以， OA⋅OC=2OE-OB⋅2OF+OB
=4OE⋅OF+2OE⋅OB-2OF⋅OB-OB2
=4×-13+2×1-2×-1- 22=23 ，
所以， cs∠AOC=csOA,OC =OA⋅OCOAOC=23 2× 2=13 ．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算，可得答案．
解：对于A，由AB=1,1,0，则AB= 1+1+0= 2，故 A正确；
对于B，由AB=1,1,0，AC=-1,2,1，因为1-1≠12，所以两向量显然不平行，故 B错误；
对于C，由AB=1,1,0，AC=-1,2,1，则AC⋅AB=-1+2+0=1，故 C正确；
对于D，AC在AB上投影向量的长度为ACcs∠BAC=AB⋅ACAB=1 1+1+0= 22，故 D正确．
故选：ACD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】设圆M的圆心为Ma,b，则半径r=a.根据已知可得MA=MB，代入坐标化简得出a+b=2．MA=r=a，整理可得，b2-2a+1=0.联立即可得出圆心以及半径，进而得出答案．
解：设圆M的圆心为Ma,b，则半径r=a．
又点A1,0，B2,1在圆上，
所以有MA=MB，
即 a-12+b2= a-22+b-12，
整理可得，a+b=2．
又MA=r=a，即 a-12+b2=a，
整理可得，b2-2a+1=0．
联立a+b=2b2-2a+1=0可得，a=1b=1或a=5b=-3,
所以，圆心坐标为1,1或5,-3．
当圆心坐标为1,1时，r=1，圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=1；
当圆心坐标为5,-3时，r=5，圆M的方程为(x-5)2+(y+3)2=25．
综上所述，圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y+3)2=25．
故选：BC．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】考虑a=0,b≠0，可判断A;由空间向量共面定理可判断B;由向量的夹角为直角的等价条件可判断C;由空间的一组基底的定义可判断D．
解：对于A，比如，a=0,b≠0，则不存在实数λ，故 A 错误;
对于B，A,B,C 三点不共线，空间中任意点O，若OP=34OA+18OB+18OC，
由于34+18+18=1，则P,A,B,C 四点共面，故 B正确;
对于C，a=(x,2,1)，b=(4,-2+x,x),a与b 的夹角为直角，
则a⋅b=0，可得4x+2(-2+x)+x=0，解得x=47;故 C错误;
对于D，若{OA,OB,OC} 是空间的一个基底，则O,A,B,C四点不共面，且不共线，故 D 错误．
故选：ACD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】求出圆心、半径，根据几何意义转化为圆心与直线或点的距离以及连线的斜率求解，即可得出答案．
解：由已知可得，圆心C0,0，半径r=2．
对于A项，圆心C0,0到直线x-y+ 2=0的距离d= 2 2=1，
所以，Pa,b到直线x-y+ 2=0的距离最大值为d+r=3，故 A项错误；
对于B项，设B-4,0，当PB与圆相切时，斜率k=ba+4取得最大值或最小值．
直线PB方程为y=kx+4，即kx-y+4k=0．
因为直线PB与圆相切，所以圆心C0,0到直线kx-y+4k=0的距离等于半径，
即4k k2+1=2，整理可得k2=13，解得k=± 33，
所以，ba+4的最大值为 33，故 B项正确；
对于C项，圆心C0,0到3,4的距离为 3-02+4-02=5>r，
所以，圆上点Pa,b到3,4的距离的最小值为5-r=3，
即 (a-3)2+(b-4)2≥3，
所以，(a-3)2+(b-4)2≥9，故 C项正确；
对于D项，设直线l方程为y=-2x+m，即2x+y-m=0，
当直线l与方程相切时，m有最大值或最小值，
则m 5=r=2，所以m=±2 5．
所以，2x+y的最小值为-2 5，
即2a+b的最小值为-2 5，故 D项错误．
故选：BC．
13.【答案】-10
【解析】【分析】因为平面 α /​/ β ，所以 m /​/ n ，所以 m=tn ， 2,3,-1=tx,y,2 ，求出结果．
解：因为平面 α /​/ β ，所以 m /​/ n ，
所以 m=tn ，即 2,3,-1=tx,y,2 ，
所以 t=-12 ，即 x=-4 ， y=-6 ，
所以 x+y=-10 ．
故答案为： -10
14.【答案】2 33
【解析】【分析】建立空间直角坐标，写出点的坐标以及向量的坐标，求出平面 A1BD 的法向量，根据向量法求解即可得出答案．
解：
如图，建立空间直角坐标，则 D0,0,0 ， B2,2,0 ， A12,0,2 ， D10,0,2 ，
所以， DB=2,2,0 ， DA1=2,0,2 ， DD1=0,0,2 ．
设 n=x,y,z 是平面 A1BD 的一个法向量，
则 DB⋅n=2x+2y=0DA1⋅n=2x+2z=0 ，
令 x=1 ，则 n=1,-1,-1 是平面 A1BD 的一个法向量．
所以，点 D1 到平面 A1BD 的距离为 d=DD1⋅nn=-2 3=2 33 ．
故答案为： 2 33 ．
15.【答案】y=1 或 y=2x-1
【解析】【分析】根据直线 l 与直线 AB 平行，过直线 l 过线段 AB 的中点进行分类讨论，从而求得 l 的方程．
解：直线 AB 的斜率为 -1-3-4--2=2 ，
所以过 1,1 且平行于直线 AB 的直线 l 方程为 y-1=2x-1,y=2x-1 ．
线段 AB 的中点坐标为 -3,1 ，
所以过 1,1 与线段 AB 中点 -3,1 的直线 l 的方程为 y=1 ．
所以直线 y=1 或 y=2x-1 符合题意．
故答案为： y=1 或 y=2x-1

16.【答案】4 5
【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出点 C 满足的轨迹方程.根据已知，求出 ▵ABC 面积最大时，点 C 的坐标，根据两点之间的距离公式，即可得出答案．
解：
如图，以 AB 为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
则 A-3,0 ， B3,0 ，设 Cx,y ．
由正弦定理结合已知条件可得， b=2a ，即 AC=2BC ，
所以有 x+32+y2=2 x-32+y2 ，
整理可得， x2+y2-10x+9=0 ，
即 x-52+y2=16 y≠0 ．
要使 ▵ABC 的面积最大，则点 C 的纵坐标的绝对值取得最大值．
由 x-52+y2=16 可得， y2=16-x-52≤16 ，
所以，点 C 的纵坐标为 4 或 -4 ．
根据已知，不妨设点 C 的纵坐标为 4 ，此时点 C 坐标为 5,4 ，
所以 AC= 5+32+42=4 5 ．
故答案为： 4 5 ．
17.【答案】解：(1)∵点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点，
∴MN=-12OA=-12a，OD=12(OB+OC)．
∵OG=OA+AG，G是△ABC的重心，
∴AG=23AD,AD=OD-OA，
∴OG=OA+23AD=OA+23(OD-OA)=OA+23×12(OB+OC)-23OA
=13(OA+OB+OC)=13(a+b+c)．
(2)∵H是△OBC的重心，
∴OH=23OD=23×12(OB+OC)=13(b+c)，
∴GH=OH-OG=13(b+c)-13(a+b+c)=-13a=-13OA．
∵MN=-12OA，
∴MN=32GH．
∴MNGH四点共面．

【解析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量共面定理，属于中档题．
(1)结合空间向量的线性运算即可求出结果；
(2)证得MN=32GH，即可得出结论．
18.【答案】解：(1)设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+2+k=0．
则它在两坐标轴上截距分别为-1-2k和k+2，
由题意，-1-2k+k+2=0，解得：k=-2或k=1，
直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0．
(2)设直线l的斜率k>0，
则直线l：kx-y+2+k=0与两坐标轴交点分别为A(-2k-1,0)、B(0,k+2)，
S△AOB=12-2k-1·k+2=(k+2)22k=k2+2+2k≥2 k2·2k+2=4，
当且仅当k=2时，等号成立，
故△AOB面积最小值为4．

【解析】本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属于中档题．
(1)设直线l的方程为y-2=k(x+1)，求出该直线在两坐标轴上截距，由截距和为0，求得k，则可得直线l的方程；
(2)由题意，可求得△AOB面积为S=12|-2k-1|·|k+2|=k2+2+2k，从而利用基本不等式求出最小值即可．
19.【答案】解：(1)长方体 ABCD-A1B1C1D1 ， AB=AD=2,AA1=4 ，
以 D 为坐标原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A12,0,4,Pm,2,4-2m,A2,0,0,D10,0,4,C0,2,0 ，
则 A1P=m-2,2,-2m ，
设平面 AD1C 的法向量为 n=x,y,z ，
则 n⋅AD1=x,y,z⋅-2,0,4=-2x+4z=0n⋅AC=x,y,z⋅-2,2,0=-2x+2y=0 ，
令 z=1 ，则 x=y=2 ，
故 n=2,2,1 ，
则 A1P⋅n=m-2,2,-2m⋅2,2,1=2m-4+4-2m=0 ，
所以 A1P⊥n ，故 A1P // 平面 AD1C ；
(2)设平面 PAD1 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ，
则 n1⋅AD1=x1,y1,z1⋅-2,0,4=-2x1+4z1=0n1⋅AB=x1,y1,z1⋅0,2,0=2y1=0 ，
解得 y1=0 ，令 z1=1 ，则 x1=2 ，
故 n1=2,0,1 ，
由(1)知，平面 AD1C 的法向量为 n=2,2,1 ，
故 csn,n1=n⋅n1n⋅n1=2,2,1⋅2,0,1 4+4+1× 4+1= 53 ，
由图形可看出二面角 P-AD1-C 为锐角，
故二面角 P-AD1-C 的余弦值为 53 ．

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，设 Pm,2,4-2m ，求出平面 AD1C 的法向量 n=2,2,1 ，由数量积为0得到 A1P⊥n ，证明出线面平行；
(2)求出平面 PAD1 的法向量，结合(1)中平面 AD1C 的法向量，求出二面角 P-AD1-C 的余弦值．
20.【答案】解：(Ⅰ)曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2 2,0).
故可设圆心坐标为(3,t)，
则有32+(t-1)2=(2 2)2+t2，
解得t=1，则圆的半径为 32+(1-1)2=3.
所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，其坐标满足方程组x-y+a=0(x-3)2+(y-1)2=9，
消去y得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0，
由已知可得判别式Δ=56-16a-4a2>0，
∴x1+x2=4-a，x1x2=a2-2a+12，①
由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0.
又y1=x1+a,y2=x2+a，
所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0 ②
由①②可得a=-1，满足Δ>0，故a=-1．
【解析】本题考查圆的方程及直线与圆的关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属中档题．
(Ⅰ)由抛物线与坐标轴的三个交点，利用圆的几何性质确定圆心和半径，求出圆C的方程；
(Ⅱ)把直线方程与圆的方程联立，由根与系数的关系得到坐标之间的关系，由OA⊥OB，得到x1x2+y1y2=0，从而求解．
21.【答案】解：(1)如图，取 AC 中点为 E ，连接 PE,BE ．
因为 AC=4 ， AB=2 ， ∠BAC=60∘ ，
在 ▵ABC 中，由余弦定理可得 BC2=AC2+AB2-2AC×ABcs60∘ =12 ，
所以 BC=2 3 ，且 BC2+AB2=AC2 ，
所以 BA⊥BC ．
又因为 ▵PAC 为等边三角形， AC 中点为 E ，
所以， BE=12AC=2 ， PE⊥AC ，且 PE= PA2-AE2=2 3 ．
在 ▵PEB 中，有 PE2+BE2=16=PB2 ，
所以， PE⊥BE ．
因为 BE⊂ 平面 ABC ， AC⊂ 平面 ABC ， BE∩AC=E ，
所以， PE⊥ 平面 ABC ．
因为 PE⊂ 平面 PAC ，
所以，平面 PAC⊥ 平面 ABC ．
(2)由(1)知， BA⊥BC ， PE⊥ 平面 ABC ．
分别以 BA,BC 所在的直线为 x,y 轴，以过点 B 且与 PE 平行的直线为 z 轴，如图建立空间直角坐标系，
则 B0,0,0 ， A0,2,0 ， C2 3,0,0 ， E 3,1,0 ， P 3,1,2 3 ，
设 Da,0,00≤a≤2 3 ，
则 BC=2 3,0,0 ， AP= 3,-1,2 3 ， AD=a,-2,0 ，
设 n=x,y,z 是平面 APD 的一个法向量，
则有 AP⋅n=0AD⋅n=0 ，即 3x-y+2 3z=0ax-2y=0 ，
取 x=4 3 ，则 y=2 3a ， z=a-2 3 ， n=4 3,2 3a,-a-2 3 ．
因为直线 BC 与平面 APD 所成角的正弦值为 2 55 时，
所以有 csBC,n=2 55 ，即 BC⋅nBCn=2 55 ，
所以有 2 3×4 32 3× 48+12a2+a+2 32=2 55 ，
整理可得， 13a2+4 3a=0 ，解得 a=0 或 a=-4 313 (舍去负值)．
所以，点 D 与点 B 重合．

【解析】【分析】(1)取 AC 中点为 E ，连接 PE,BE .根据余弦定理结合已知可推得 BA⊥BC ， PE⊥AC ，求出 BE,PE 的值.进而根据勾股定理推得 PE⊥BE .然后即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理得出证明；
(2)以点 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出 BC 以及平面 APD 的法向量，然后根据线面角列出关系式，求解即可得出答案．
22.【答案】解：(1)由已知可得，点 1,2在圆上，
所以有 1+4-1+a-2a+a=0 ，解得 a=2 ，
所以，圆的方程为 x2+y2-3x-2y+2=0 ，
化为标准方程为 x-322+y-12=54 ，圆心为 C32,1 ，半径 r= 52 ．
当直线斜率不存在时，直线方程为 x=1 ，此时直线与圆不相切；
当直线斜率存在时，设斜率为 k ，则直线方程为 y-2=kx-1 ，
即 kx-y-k+2=0 ．
因为直线与圆相切，所以有圆心 C32,1 到直线 kx-y-k+2=0 的距离 d=r ，
即 32k-1-k+2 k2+1= 52 ，
整理可得 4k2-4k+1=0 ，解得 k=12 ，
所以直线的方程为 x-2y+3=0 ．
(2)令 y=0 ，得 x2-1+ax+a=0 ，解得 x=1 或 x=a>1 ，
所以， M1,0 ， Na,0 ．
假设存在实数 a ，
由已知可设直线 AB 的方程为 y=mx-1 ，
代入 x2+y2=6 可得， 1+m2x2-2m2x+m2-6=0 ．
设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
从而 x1+x2=2m21+m2x1x2=m2-61+m2 ．
因为 kAN+kBN =y1x1-a+y2x2-a=y2x1-a+y1x2-ax1-ax2-a
=mx2-1x1-a+x1-1x2-ax1-ax2-a ，
又 x2-1x1-a+x1-1x2-a =2x1x2-a+1x1+x2+2a
=2×m2-61+m2-a+1⋅2m21+m2+2a =2a-121+m2 ．
因为 ∠ANM=∠BNM ，所以 kAN+kBN=0 ，
所以 2a-121+m2=0 ，所以 a=6 ．
所以，存在实数 a=6 ，使得 ∠ANM=∠BNM ．

【解析】【分析】假设存在实数 a ，使得 ∠ANM=∠BNM 成立，即可转化为 kAN+kBN=0 成立．
(1)根据已知求出 a 的值，进而得出圆心、半径.设出直线方程，根据相切关系得出圆心到直线的距离与半径的关系，列出方程，求解即可得出答案；
(2)先求出 M,N 的坐标，设出 AB 的直线，代入 O:x2+y2=6 的方程联立，根据韦达定理得出 A,B 坐标之间的关系.化简 kAN+kBN ，假设 kAN+kBN=0 ，列出方程，求解即可得出 a 的值．