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人教版高中物理必修第一册第4章素养提升课6传送带模型和板—块模型学案
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这是一份人教版高中物理必修第一册第4章素养提升课6传送带模型和板—块模型学案，共15页。
素养提升课(六) 传送带模型和板—块模型 传送带模型 1．传送带模型分类 传送带模型按放置方向分为水平传送带和倾斜传送带两种，如图所示。 2．水平传送带 (1)当水平传送带传送物体时，应特别注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化。摩擦力的突变，常常导致物体的受力情况和运动性质的突变。 (2)滑动摩擦力存在于发生相对运动的物体之间，因此两物体的速度达到相同时，滑动摩擦力突变为零。 3．倾斜传送带 (1)当传送带倾斜时，除了要注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化外，还要注意物体与传送带之间的动摩擦因数μ和传送带倾斜角度θ对受力的影响，从而正确判断物体的速度和传送带速度相等时物体的运动性质。 (2)倾斜传送带问题的两种类型。(物体从静止开始，传送带匀速运动且足够长)。 命题角度1 水平传送带模型 【典例1】 如图所示，水平传送带以不变的速度v＝10 m/s向右运动，将工件(可视为质点)轻轻放在传送带的左端，由于摩擦力的作用，工件做匀加速运动，经过时间t＝2 s，速度达到v；再经过时间t′＝4 s，工件到达传送带的右端，g取10 m/s2，求： (1)工件在水平传送带上滑动时的加速度的大小； (2)工件与水平传送带间的动摩擦因数； (3)传送带的长度。 [解析] (1)工作的加速度a＝vt 解得a＝5 m/s2。 (2)设工件的质量为m，则由牛顿第二定律得μmg＝ma 所以动摩擦因数μ＝mamg＝ag＝0.5。 (3)工件加速运动距离x1＝v2t 工件匀速运动距离x2＝vt′ 工件从左端到达右端通过的距离x＝x1＋x2 联立解得x＝50 m，此即为传送带的长度。 [答案] (1)5 m/s2 (2)0.5 (3)50 m 命题角度2 倾斜传送带模型 【典例2】 (2022·福建福州八县一中联考)如图所示，传送带与水平地面夹角θ＝37°，从A到B长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速地放一个质量为m＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知sin 37°＝0.6，g＝10 m/s2，求： (1)当煤块与传送带速度相等时，它们能否相对静止； (2)煤块从A到B的时间。 [解析] (1)煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，当煤块与传送带速度相等时，对煤块分析有 mgsin 37°＞μmgcos 37°，所以它们不能相对静止。 (2)煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为 a1＝mgsinθ+μcosθm＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2 加速过程中t1＝v0a1＝1 s， x1＝12a1t12＝5 m 达到v0后，煤块受到沿斜面向上的摩擦力，其加速度为 a2＝mgsinθ-μcosθm＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2 x2＝L－x1＝5.25 m x2＝v0t2＋12a2t22 t2＝0.5 s(t2＝－10.5 s舍去)。 煤块从A到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5 s。 [答案] (1)不能 (2)1.5 s 传送带模型的求解思路 [跟进训练] 1．如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行。现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹。下列说法中正确的是( ) A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧 B．木炭包的质量越大，径迹的长度越短 C．传送带运动的速度越大，径迹的长度越短 D．木炭包与传送带间动摩擦因数越大，径迹的长度越短 D [刚放上木炭包时，木炭包的速度小，传送带的速度大，木炭包相对传送带向后滑动，所以黑色的径迹出现在木炭包的右侧，所以A错误；木炭包与传送带共速所用时间t＝vμg，木炭包的位移x1＝v2t＝v22μg，传送带运动的位移x2＝vt＝v2μg，径迹长L＝x2－x1＝v22μg，由此可知选项D正确，B、C错误。] 2．(多选)如图甲所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，在传送带上某位置轻轻放置一小木块，小木块与传送带间动摩擦因数为μ，小木块速度随时间变化关系如图乙所示，v0、t0已知，则(重力加速度大小为g)( ) A．传送带一定逆时针转动 B．μ＝tan θ＋v0gt0cosθ C．传送带的速度大于v0 D．t0后木块的加速度为2g sin θ－v0t0 AD [若传送带顺时针转动，当木块下滑时(mg sin θ>μmg cos θ)，将一直匀加速到底端；当木块上滑时(mg sin θ<μmg cos θ)，先匀加速运动，在速度相等后将匀速运动，两种情况均不符合题图乙，故传送带是逆时针转动，选项A正确。在0～t0内，滑动摩擦力向下，木块匀加速下滑，a1＝g sin θ＋μg cos θ，由题图乙可知a1＝v0t0，则μ＝v0gt0cosθ－tan θ，选项B错误。当木块的速度等于传送带的速度时，木块所受的摩擦力变成沿传送带向上，故传送带的速度等于v0，选项C错误。速度相等后木块的加速度a2＝g sin θ－μg cos θ，代入μ值得a2＝2g sin θ－v0t0，选项D正确。] 板—块模型 1．模型概述：一个物体在另一个物体上，两者之间有相对运动。问题涉及两个物体、多个过程，两物体的运动时间、速度、位移间有一定的关系。 2．滑块—滑板模型的三个基本关系 【典例3】 如图所示，质量M＝8 kg的长木板放在光滑的水平面上，在长木板左端加一水平恒定推力F＝8 N，当长木板向右运动的速度达到1.5 m/s时，在长木板前端轻轻地放上一个大小不计、质量为m＝2 kg的小物块，物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.2，长木板足够长。(g取10 m/s2) (1)小物块放在长木板上后，小物块及长木板的加速度各为多大； (2)经多长时间两者达到相同的速度； (3)从小物块放在长木板上开始，经过t＝1.5 s小物块的位移大小为多少。 [思路点拨] 解此题注意以下三点： (1)“长木板足够长”说明小物块不会滑出木板。 (2)判断“两者达到相同的速度”后小物块的运动情况。 (3)明确“从小物块放在长木板上开始，经过t＝1.5 s”内小物块的运动情况。 [解析] (1)小物块的加速度am＝μg＝2 m/s2 长木板的加速度aM＝F-μmgM＝0.5 m/s2。 (2)由a1t＝v0＋aMt可得t＝1 s。 (3)在开始1 s内小物块的位移x1＝12amt2＝1 m 1 s末速度为v＝amt＝2 m/s 在接下来的0.5 s内小物块与长木板相对静止，一起做加速运动且加速度为a＝FM+m＝0.8 m/s2 这0.5 s内的位移为x2＝vt＋12at2＝1.1 m 通过的总位移x＝x1＋x2＝2.1 m。 [答案] (1)2 m/s2 0.5 m/s2 (2)1 s (3)2.1 m 解决板—块模型的思维方法 [跟进训练] 3．如图所示，物块A、木板B的质量均为m＝10 kg，不计A的大小，木板B长L＝3 m。开始时A、B均静止。现使A以水平初速度v0从B的最左端开始运动。已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10 m/s2。 (1)求物块A和木板B运动过程中的加速度的大小； (2)若A刚好没有从B上滑下来，求A的初速度v0的大小。 [解析] (1)分别对物块A、木板B进行受力分析可知，A在B上向右做匀减速运动，设其加速度大小为a1，则有 a1＝μ1mgm＝3 m/s2 木板B向右做匀加速运动，设其加速度大小为a2，则有 a2＝μ1mg-μ2·2mgm＝1 m/s2。 (2)由题意可知，A刚好没有从B上滑下来，则A滑到B最右端时的速度和B的速度相同，设为v，则有 时间关系t＝v0-va1＝va2 位移关系L＝v02-v22a1－v22a2 解得v0＝26 m/s。 [答案] (1)3 m/s2 1 m/s2 (2)26 m/s 素养提升练(六) 传送带模型和板—块模型 一、选择题 1．如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到水平向右的拉力F的作用向右滑行，但长木板保持静止不动。已知木块与长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是( ) A．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ1Mg B．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g C．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动 D．无论拉力F增加到多大，长木板都不会与地面发生相对滑动 D [对M分析，在水平方向受到m对M的摩擦力和地面对M的摩擦力，两个力平衡，则地面对木板的摩擦力Ff＝μ1mg，选项A、B错误；无论F大小如何，m在M上滑动时，m对M的摩擦力大小不变，M在水平方向上仍然受到两个摩擦力处于平衡，不可能运动，选项C错误，D正确。] 2．(多选)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度向右传动。将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、x、Ff表示物体速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小。下列选项正确的是( ) A B C D AB [物体在传送带上先做匀加速运动，当达到共同速度后再做匀速运动，故A、B正确。] 3．如图所示，物块在静止的足够长的传送带上以速度v0匀速下滑时，传送带突然启动，方向如图中箭头所示，在传送带的速度由零逐渐增加到2v0后匀速运动的过程中，下列分析正确的是( ) A．物块下滑的速度不变 B．物块开始在传送带上加速到2v0后匀速 C．物块先向下匀速运动，后向下加速，最后沿传送带向下匀速运动 D．物块受的摩擦力方向始终沿斜面向上 C [在传送带的速度由零逐渐增加到v0的过程中，物块相对于传送带下滑，故物块受到的滑动摩擦力向上，故这段过程中物块继续匀速下滑，在传送带的速度由v0逐渐增加到2v0过程中，物块相对于传送带上滑，物块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，物块加速下滑，当物块的速度达到2v0时，物块相对传送带静止，随传送带匀速下滑，故选项C正确。] 4．如图所示，水平桌面由粗糙程度不同的AB、BC两部分组成，且AB＝BC。小物块P(可视为质点)以某一初速度从A点滑上桌面，最后恰好停在C点，已知物块经过AB与BC两部分的时间之比为1∶4，则物块P与桌面上AB、BC部分之间的动摩擦因数μ1、μ2之比为(物块P在AB、BC上所做两段运动均可看作匀变速直线运动)( ) A．1∶4 B．8∶1 C．1∶1 D．4∶1 B [设物块P到达B点时的速度为vB，根据匀变速直线运动平均速度的推论有v0+v2t1＝v2t2，又t1∶t2＝1∶4，解得vB＝v03，P在AB上的加速度为a1＝μ1g＝v0-vt1，在BC上的加速度为a2＝μ2g＝vt2，联立解得μ1∶μ2＝8∶1，故选项B正确。] 5．(多选)如图所示，传送带的水平部分长为L，传动速率为v，在其左端无初速度释放一小木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左端运动到右端的时间可能是( ) A．Lv＋v2μg B．Lv C．2Lμg D．2Lv ACD [因木块运动到右端的过程不同，对应的时间也不同，若一直匀加速至右端，则L＝12μgt2，可得t＝2Lμg，故C正确；若一直加速到右端的速度恰好与传送带速度v相等，则L＝0+v2t，可得t＝2Lv，故D正确；若先匀加速到传送带速度v，再匀速到右端，则v22μg＋vt-vμg＝L，可得t＝Lv＋v2μg，故A正确；木块不可能一直匀速至右端，故B错误。] 6．(多选)如图甲所示，光滑水平面上静置一个薄长木板，长木板上表面粗糙，其质量为M，t＝0时刻质量为m的物块以水平速度v滑上长木板，此后木板与物块运动的v-t图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是( ) A．M＝m B．M＝2m C．木板的长度为8 m D．木板与物块间的动摩擦因数为0.1 BC [物块在木板上运动过程中，μmg＝ma1，而v-t图像的斜率大小表示加速度大小，故a1＝7-32 m/s2＝2 m/s2，解得μ＝0.2，D错误；对木板受力分析可知μmg＝Ma2，a2＝2-02 m/s2＝1 m/s2，解得M＝2m，A错误，B正确；由题图乙可知，2 s时物块和木板分离，0～2 s内，两者的v-t图像与坐标轴围成的面积之差等于木板的长度，故L＝12×(7＋3)×2 m－12×2×2 m＝8 m，C正确。] 7．(多选)如图所示，水平传送带A、B两端点相距x＝4 m，以v0＝2 m/s的速度(始终保持不变)顺时针运转。今将一小煤块(可视为质点)无初速度地轻放至A点处，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数为0.4，g取10 m/s2。由于小煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕。则小煤块从A运动到B的过程中( ) A．小煤块从A运动到B的时间是2 s B．小煤块从A运动到B的时间是2.25 s C．划痕长度是4 m D．划痕长度是0.5 m BD [小煤块刚放上传送带时，加速度a＝μg＝4 m/s2，由v0＝at1可知，小煤块加速到与传送带同速的时间为t1＝v0a＝0.5 s，此时小煤块运动的位移x1＝v02t1＝0.5 m，而传送带的位移为x2＝v0t1＝1 m，故小煤块在传送带上的划痕长度为l＝x2－x1＝0.5 m，选项D正确，C错误；之后小煤块匀速运动，其位移为x－x1＝3.5 m，故匀速运动的时间t2＝x-x1v0＝1.75 s，故小煤块从A运动到B的时间t＝t1＋t2＝2.25 s，选项A错误，B正确。] 二、非选择题 8．如图所示，在倾角为θ＝30°的足够长的固定的光滑斜面上，有一质量为M＝3 kg的长木板正以v0＝10 m/s的初速度沿斜面向下运动，现将一质量m＝1 kg 的小物块(大小可忽略)轻放在长木板正中央，已知物块与长木板间的动摩擦因数μ＝32，设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)放上小物块后，木板和小物块的加速度大小； (2)要使小物块不滑离长木板，长木板至少要有多长。 [解析] (1)小物块在长木板上滑动时受到的沿木板的滑动摩擦力大小为 f＝μmg cos θ＝7.5 N 由牛顿第二定律，对小物块有f＋mg sin θ＝ma1 代入数据得a1＝12.5 m/s2 对长木板，由牛顿第二定律有 Mg sin θ－f＝Ma2 代入数据得a2＝2.5 m/s2。 (2)设当小物块与长木板共速时速度为v1，有 v1＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝1 s，v1＝12.5 m/s 共速后，小物块与长木板相对静止，一起向下做匀加速运动，则共速前物块与木板的相对位移为 s＝v0+v12t1－v1+02t1＝5 m，故长木板长度至少为10 m。 [答案] (1)2.5 m/s2 12.5 m/s2 (2)10 m 9．(2022·乌鲁木齐八一中学高一阶段检测)如图所示传送带水平部分AB＝2 m，倾斜部分BC＝4 m且与水平面夹角为α＝37°，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25。传送带沿顺时针方向以2 m/s的速率转动。若将物块放在A处，它将从静止开始被传送带送到C处(物块始终不离开传送带)，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)小物块从A到B所用时间； (2)小物块从B到C所用时间。 [解析] (1)小物块放在A点后在摩擦力作用下向右做匀加速运动，假设达B之前可以和传送带共速，则有 a1＝μg＝2.5 m/s2 x1＝v22a＝0.8 m＜AB＝2 m 则假设成立，达到共速所需时间t1＝va1＝0.8 s 此后小物块随传送带匀速运动，到达B的时间t2＝AB-x1v＝0.6 s 则小物块从A到B所用时间t＝t1＋t2＝1.4 s。 (2)小物块在B到C过程中，由于mgsin 37°＝0.6mg＞μmgcos 37°＝0.2mg 所以小物块一直匀加速运动，在BC段的加速度大小为 a2＝mgsin 37°-μmgcos 37°m＝4 m/s2 BC＝vt3＋12a2t32 解得t3＝1 s。 [答案] (1)1.4 s (2)1 s 学习任务1．知道传送带模型的特点，掌握应用动力学角度解决传送带模型的方法。 2．知道板—块模型的特点，掌握应用动力学角度解决板—块模型的方法。项目条件运动性质向上传送物体μ>tan θ物体先沿传送带做向上的加速直线运动，速度相同以后二者相对静止，一起做匀速运动μ＝tan θ物体保持静止μ
素养提升课(六) 传送带模型和板—块模型 传送带模型 1．传送带模型分类 传送带模型按放置方向分为水平传送带和倾斜传送带两种，如图所示。 2．水平传送带 (1)当水平传送带传送物体时，应特别注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化。摩擦力的突变，常常导致物体的受力情况和运动性质的突变。 (2)滑动摩擦力存在于发生相对运动的物体之间，因此两物体的速度达到相同时，滑动摩擦力突变为零。 3．倾斜传送带 (1)当传送带倾斜时，除了要注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化外，还要注意物体与传送带之间的动摩擦因数μ和传送带倾斜角度θ对受力的影响，从而正确判断物体的速度和传送带速度相等时物体的运动性质。 (2)倾斜传送带问题的两种类型。(物体从静止开始，传送带匀速运动且足够长)。 命题角度1 水平传送带模型 【典例1】 如图所示，水平传送带以不变的速度v＝10 m/s向右运动，将工件(可视为质点)轻轻放在传送带的左端，由于摩擦力的作用，工件做匀加速运动，经过时间t＝2 s，速度达到v；再经过时间t′＝4 s，工件到达传送带的右端，g取10 m/s2，求： (1)工件在水平传送带上滑动时的加速度的大小； (2)工件与水平传送带间的动摩擦因数； (3)传送带的长度。 [解析] (1)工作的加速度a＝vt 解得a＝5 m/s2。 (2)设工件的质量为m，则由牛顿第二定律得μmg＝ma 所以动摩擦因数μ＝mamg＝ag＝0.5。 (3)工件加速运动距离x1＝v2t 工件匀速运动距离x2＝vt′ 工件从左端到达右端通过的距离x＝x1＋x2 联立解得x＝50 m，此即为传送带的长度。 [答案] (1)5 m/s2 (2)0.5 (3)50 m 命题角度2 倾斜传送带模型 【典例2】 (2022·福建福州八县一中联考)如图所示，传送带与水平地面夹角θ＝37°，从A到B长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速地放一个质量为m＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知sin 37°＝0.6，g＝10 m/s2，求： (1)当煤块与传送带速度相等时，它们能否相对静止； (2)煤块从A到B的时间。 [解析] (1)煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，当煤块与传送带速度相等时，对煤块分析有 mgsin 37°＞μmgcos 37°，所以它们不能相对静止。 (2)煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为 a1＝mgsinθ+μcosθm＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2 加速过程中t1＝v0a1＝1 s， x1＝12a1t12＝5 m 达到v0后，煤块受到沿斜面向上的摩擦力，其加速度为 a2＝mgsinθ-μcosθm＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2 x2＝L－x1＝5.25 m x2＝v0t2＋12a2t22 t2＝0.5 s(t2＝－10.5 s舍去)。 煤块从A到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5 s。 [答案] (1)不能 (2)1.5 s 传送带模型的求解思路 [跟进训练] 1．如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行。现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹。下列说法中正确的是( ) A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧 B．木炭包的质量越大，径迹的长度越短 C．传送带运动的速度越大，径迹的长度越短 D．木炭包与传送带间动摩擦因数越大，径迹的长度越短 D [刚放上木炭包时，木炭包的速度小，传送带的速度大，木炭包相对传送带向后滑动，所以黑色的径迹出现在木炭包的右侧，所以A错误；木炭包与传送带共速所用时间t＝vμg，木炭包的位移x1＝v2t＝v22μg，传送带运动的位移x2＝vt＝v2μg，径迹长L＝x2－x1＝v22μg，由此可知选项D正确，B、C错误。] 2．(多选)如图甲所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，在传送带上某位置轻轻放置一小木块，小木块与传送带间动摩擦因数为μ，小木块速度随时间变化关系如图乙所示，v0、t0已知，则(重力加速度大小为g)( ) A．传送带一定逆时针转动 B．μ＝tan θ＋v0gt0cosθ C．传送带的速度大于v0 D．t0后木块的加速度为2g sin θ－v0t0 AD [若传送带顺时针转动，当木块下滑时(mg sin θ>μmg cos θ)，将一直匀加速到底端；当木块上滑时(mg sin θ<μmg cos θ)，先匀加速运动，在速度相等后将匀速运动，两种情况均不符合题图乙，故传送带是逆时针转动，选项A正确。在0～t0内，滑动摩擦力向下，木块匀加速下滑，a1＝g sin θ＋μg cos θ，由题图乙可知a1＝v0t0，则μ＝v0gt0cosθ－tan θ，选项B错误。当木块的速度等于传送带的速度时，木块所受的摩擦力变成沿传送带向上，故传送带的速度等于v0，选项C错误。速度相等后木块的加速度a2＝g sin θ－μg cos θ，代入μ值得a2＝2g sin θ－v0t0，选项D正确。] 板—块模型 1．模型概述：一个物体在另一个物体上，两者之间有相对运动。问题涉及两个物体、多个过程，两物体的运动时间、速度、位移间有一定的关系。 2．滑块—滑板模型的三个基本关系 【典例3】 如图所示，质量M＝8 kg的长木板放在光滑的水平面上，在长木板左端加一水平恒定推力F＝8 N，当长木板向右运动的速度达到1.5 m/s时，在长木板前端轻轻地放上一个大小不计、质量为m＝2 kg的小物块，物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.2，长木板足够长。(g取10 m/s2) (1)小物块放在长木板上后，小物块及长木板的加速度各为多大； (2)经多长时间两者达到相同的速度； (3)从小物块放在长木板上开始，经过t＝1.5 s小物块的位移大小为多少。 [思路点拨] 解此题注意以下三点： (1)“长木板足够长”说明小物块不会滑出木板。 (2)判断“两者达到相同的速度”后小物块的运动情况。 (3)明确“从小物块放在长木板上开始，经过t＝1.5 s”内小物块的运动情况。 [解析] (1)小物块的加速度am＝μg＝2 m/s2 长木板的加速度aM＝F-μmgM＝0.5 m/s2。 (2)由a1t＝v0＋aMt可得t＝1 s。 (3)在开始1 s内小物块的位移x1＝12amt2＝1 m 1 s末速度为v＝amt＝2 m/s 在接下来的0.5 s内小物块与长木板相对静止，一起做加速运动且加速度为a＝FM+m＝0.8 m/s2 这0.5 s内的位移为x2＝vt＋12at2＝1.1 m 通过的总位移x＝x1＋x2＝2.1 m。 [答案] (1)2 m/s2 0.5 m/s2 (2)1 s (3)2.1 m 解决板—块模型的思维方法 [跟进训练] 3．如图所示，物块A、木板B的质量均为m＝10 kg，不计A的大小，木板B长L＝3 m。开始时A、B均静止。现使A以水平初速度v0从B的最左端开始运动。已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10 m/s2。 (1)求物块A和木板B运动过程中的加速度的大小； (2)若A刚好没有从B上滑下来，求A的初速度v0的大小。 [解析] (1)分别对物块A、木板B进行受力分析可知，A在B上向右做匀减速运动，设其加速度大小为a1，则有 a1＝μ1mgm＝3 m/s2 木板B向右做匀加速运动，设其加速度大小为a2，则有 a2＝μ1mg-μ2·2mgm＝1 m/s2。 (2)由题意可知，A刚好没有从B上滑下来，则A滑到B最右端时的速度和B的速度相同，设为v，则有 时间关系t＝v0-va1＝va2 位移关系L＝v02-v22a1－v22a2 解得v0＝26 m/s。 [答案] (1)3 m/s2 1 m/s2 (2)26 m/s 素养提升练(六) 传送带模型和板—块模型 一、选择题 1．如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到水平向右的拉力F的作用向右滑行，但长木板保持静止不动。已知木块与长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是( ) A．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ1Mg B．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g C．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动 D．无论拉力F增加到多大，长木板都不会与地面发生相对滑动 D [对M分析，在水平方向受到m对M的摩擦力和地面对M的摩擦力，两个力平衡，则地面对木板的摩擦力Ff＝μ1mg，选项A、B错误；无论F大小如何，m在M上滑动时，m对M的摩擦力大小不变，M在水平方向上仍然受到两个摩擦力处于平衡，不可能运动，选项C错误，D正确。] 2．(多选)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度向右传动。将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、x、Ff表示物体速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小。下列选项正确的是( ) A B C D AB [物体在传送带上先做匀加速运动，当达到共同速度后再做匀速运动，故A、B正确。] 3．如图所示，物块在静止的足够长的传送带上以速度v0匀速下滑时，传送带突然启动，方向如图中箭头所示，在传送带的速度由零逐渐增加到2v0后匀速运动的过程中，下列分析正确的是( ) A．物块下滑的速度不变 B．物块开始在传送带上加速到2v0后匀速 C．物块先向下匀速运动，后向下加速，最后沿传送带向下匀速运动 D．物块受的摩擦力方向始终沿斜面向上 C [在传送带的速度由零逐渐增加到v0的过程中，物块相对于传送带下滑，故物块受到的滑动摩擦力向上，故这段过程中物块继续匀速下滑，在传送带的速度由v0逐渐增加到2v0过程中，物块相对于传送带上滑，物块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，物块加速下滑，当物块的速度达到2v0时，物块相对传送带静止，随传送带匀速下滑，故选项C正确。] 4．如图所示，水平桌面由粗糙程度不同的AB、BC两部分组成，且AB＝BC。小物块P(可视为质点)以某一初速度从A点滑上桌面，最后恰好停在C点，已知物块经过AB与BC两部分的时间之比为1∶4，则物块P与桌面上AB、BC部分之间的动摩擦因数μ1、μ2之比为(物块P在AB、BC上所做两段运动均可看作匀变速直线运动)( ) A．1∶4 B．8∶1 C．1∶1 D．4∶1 B [设物块P到达B点时的速度为vB，根据匀变速直线运动平均速度的推论有v0+v2t1＝v2t2，又t1∶t2＝1∶4，解得vB＝v03，P在AB上的加速度为a1＝μ1g＝v0-vt1，在BC上的加速度为a2＝μ2g＝vt2，联立解得μ1∶μ2＝8∶1，故选项B正确。] 5．(多选)如图所示，传送带的水平部分长为L，传动速率为v，在其左端无初速度释放一小木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左端运动到右端的时间可能是( ) A．Lv＋v2μg B．Lv C．2Lμg D．2Lv ACD [因木块运动到右端的过程不同，对应的时间也不同，若一直匀加速至右端，则L＝12μgt2，可得t＝2Lμg，故C正确；若一直加速到右端的速度恰好与传送带速度v相等，则L＝0+v2t，可得t＝2Lv，故D正确；若先匀加速到传送带速度v，再匀速到右端，则v22μg＋vt-vμg＝L，可得t＝Lv＋v2μg，故A正确；木块不可能一直匀速至右端，故B错误。] 6．(多选)如图甲所示，光滑水平面上静置一个薄长木板，长木板上表面粗糙，其质量为M，t＝0时刻质量为m的物块以水平速度v滑上长木板，此后木板与物块运动的v-t图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是( ) A．M＝m B．M＝2m C．木板的长度为8 m D．木板与物块间的动摩擦因数为0.1 BC [物块在木板上运动过程中，μmg＝ma1，而v-t图像的斜率大小表示加速度大小，故a1＝7-32 m/s2＝2 m/s2，解得μ＝0.2，D错误；对木板受力分析可知μmg＝Ma2，a2＝2-02 m/s2＝1 m/s2，解得M＝2m，A错误，B正确；由题图乙可知，2 s时物块和木板分离，0～2 s内，两者的v-t图像与坐标轴围成的面积之差等于木板的长度，故L＝12×(7＋3)×2 m－12×2×2 m＝8 m，C正确。] 7．(多选)如图所示，水平传送带A、B两端点相距x＝4 m，以v0＝2 m/s的速度(始终保持不变)顺时针运转。今将一小煤块(可视为质点)无初速度地轻放至A点处，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数为0.4，g取10 m/s2。由于小煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕。则小煤块从A运动到B的过程中( ) A．小煤块从A运动到B的时间是2 s B．小煤块从A运动到B的时间是2.25 s C．划痕长度是4 m D．划痕长度是0.5 m BD [小煤块刚放上传送带时，加速度a＝μg＝4 m/s2，由v0＝at1可知，小煤块加速到与传送带同速的时间为t1＝v0a＝0.5 s，此时小煤块运动的位移x1＝v02t1＝0.5 m，而传送带的位移为x2＝v0t1＝1 m，故小煤块在传送带上的划痕长度为l＝x2－x1＝0.5 m，选项D正确，C错误；之后小煤块匀速运动，其位移为x－x1＝3.5 m，故匀速运动的时间t2＝x-x1v0＝1.75 s，故小煤块从A运动到B的时间t＝t1＋t2＝2.25 s，选项A错误，B正确。] 二、非选择题 8．如图所示，在倾角为θ＝30°的足够长的固定的光滑斜面上，有一质量为M＝3 kg的长木板正以v0＝10 m/s的初速度沿斜面向下运动，现将一质量m＝1 kg 的小物块(大小可忽略)轻放在长木板正中央，已知物块与长木板间的动摩擦因数μ＝32，设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)放上小物块后，木板和小物块的加速度大小； (2)要使小物块不滑离长木板，长木板至少要有多长。 [解析] (1)小物块在长木板上滑动时受到的沿木板的滑动摩擦力大小为 f＝μmg cos θ＝7.5 N 由牛顿第二定律，对小物块有f＋mg sin θ＝ma1 代入数据得a1＝12.5 m/s2 对长木板，由牛顿第二定律有 Mg sin θ－f＝Ma2 代入数据得a2＝2.5 m/s2。 (2)设当小物块与长木板共速时速度为v1，有 v1＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝1 s，v1＝12.5 m/s 共速后，小物块与长木板相对静止，一起向下做匀加速运动，则共速前物块与木板的相对位移为 s＝v0+v12t1－v1+02t1＝5 m，故长木板长度至少为10 m。 [答案] (1)2.5 m/s2 12.5 m/s2 (2)10 m 9．(2022·乌鲁木齐八一中学高一阶段检测)如图所示传送带水平部分AB＝2 m，倾斜部分BC＝4 m且与水平面夹角为α＝37°，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25。传送带沿顺时针方向以2 m/s的速率转动。若将物块放在A处，它将从静止开始被传送带送到C处(物块始终不离开传送带)，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)小物块从A到B所用时间； (2)小物块从B到C所用时间。 [解析] (1)小物块放在A点后在摩擦力作用下向右做匀加速运动，假设达B之前可以和传送带共速，则有 a1＝μg＝2.5 m/s2 x1＝v22a＝0.8 m＜AB＝2 m 则假设成立，达到共速所需时间t1＝va1＝0.8 s 此后小物块随传送带匀速运动，到达B的时间t2＝AB-x1v＝0.6 s 则小物块从A到B所用时间t＝t1＋t2＝1.4 s。 (2)小物块在B到C过程中，由于mgsin 37°＝0.6mg＞μmgcos 37°＝0.2mg 所以小物块一直匀加速运动，在BC段的加速度大小为 a2＝mgsin 37°-μmgcos 37°m＝4 m/s2 BC＝vt3＋12a2t32 解得t3＝1 s。 [答案] (1)1.4 s (2)1 s 学习任务1．知道传送带模型的特点，掌握应用动力学角度解决传送带模型的方法。 2．知道板—块模型的特点，掌握应用动力学角度解决板—块模型的方法。项目条件运动性质向上传送物体μ>tan θ物体先沿传送带做向上的加速直线运动，速度相同以后二者相对静止，一起做匀速运动μ＝tan θ物体保持静止μ
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