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苏科版九年级下册第6章 图形的相似6.5 相似三角形的性质精品课时训练
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这是一份苏科版九年级下册第6章 图形的相似6.5 相似三角形的性质精品课时训练，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知：在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90∘，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：
①AE⊥DE；②∠AEB=∠EDC；③AB⋅CD=BE⋅EC；④BE⋅ED=AE⋅EC
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
2.如图，在△ABC中，DE//BC，连接CD，若ADBD=12，下列结论中，错误的是
( )
A. DEBC=13
B. △ADE的周长△ABC的周长=13
C. △ADE的面积△BCD的面积=13
D. △CDE的面积△BCD的面积=13
3.如图，在▵ABC中，DE//BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC的长为
( )
A. 2B. 4C. 6D. 9
4.如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB//CD，根据图2中的数据可得x的值为
( )
A. 0.4B. 0.8C. 1D. 1.6
5.如图所示，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE//AB，CDAD=2：1，△ABC的面积是18，则四边形ABED的面积是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
6.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为
( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.已知△ABC∽△DEF，SΔABC：SΔDEF=1:4.若BC=1，则EF 的长为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 163
B. 8
C. 10
D. 323
9.如图，已知点A(0,4)，C(4,0)，点P为线段OC的中点，且PA⊥PB，BC⊥x 轴，则点B 的坐标为
( )
A. (4,3)B. (4,2)C. (4,1.5)D. (4,1)
10.如图，函数y=−1x(x<0)的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD.若AD=3，则△ABO的周长为( )
A. 12
B. 6+ 38
C. 6+2 10
D. 6+2 11
11.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，若AC=1，BD=2，OB=4.则OA的长为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
12.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC=75°；②CF=2AE；③DFBC=23；④△FPD∽△PHB.其中正确结论的个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在▱ABCD中，以CD为直径作⊙O，⊙O经过点A，且与BD交于点E，连接AE并延长，与BC交于点F，若F是BC的中点，AF=6，则AB= ．
14.如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN=12，则S△ADES△ABC= ．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB,OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8,6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足▵PBE∽▵CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
16.如图，在△ABC中，AC=BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF=4，BF=3，且DE=2EF，则EF的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
(1)求证：AB2=BD⋅BC；
(2)若BD=2，则AC的长是______．
18.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．
19.(本小题8分)
如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D．
求证：▵AOB∼▵DOC．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C，连接OC.已知点A(−4,0)，AB=2BC．
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积．
21.(本小题8分)
【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，由已知可以得到：
①△________≌△________；
②△________∽△________．
【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
求证：△ACE∽△ABD．
【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，ADBD= 3，求DFCF的值．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E.过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
(1)求证：BD=CD；
(2)若∠G=40∘，求∠AED的度数．
(3)若BG=6，CF=2，求⊙O的半径．
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，BC=DC，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E．
(1)求证：△AOB∽△DCB；
(2)若AE⊥BC，求证CD：AB=2：3；
(3)若CE=1，OE=2，求BE的长(直接写结果，不写过程)．
24.(本小题8分)
如图1，△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AB=10，BC=16，DE//AB，如图2，求BD的长．
25.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE//BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2=FG⋅FE．
(1)求证：△CAD∽△CBG；
(2)连接DG，求证：DG⋅AE=AB⋅AG．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据 AB//CD 和 AE 平分 ∠BAD ， DE 平分 ∠ADC 推出 ∠DAE+∠ADE=90∘ 即可证明 AE⊥DE ，可证明①正确；根据 ∠AED=90∘ 推出 ∠AEB+∠DEC=90∘ ，根据 ∠B=90∘ 推出 ∠C=90∘ ，从而推出 ∠EDC+∠DEC=90∘ ，即可推出 ∠AEB=∠EDC ，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定 ▵ABE∽▵ECD 后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出 AB⋅CD=BE⋅EC 可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．
【详解】∵ AB//CD ，
∴ ∠DAB+∠ADC=180∘
∵ AE 平分 ∠BAD ， DE 平分 ∠ADC
∴∠DAE=12∠BAD,∠ADE=12∠ADC ，
∴ ∠AED=90∘ ，
∴ AE⊥DE ；
故①正确；
∵ ∠AED=90∘ ，
∴ ∠AEB+∠DEC=90∘ ，
∵ AB//CD,∠B=90∘ ，
∴ ∠C=90∘ ，
∴ ∠EDC+∠DEC=90∘ ，
∴ ∠AEB=∠EDC ，
故②正确；
∵ ∠AEB=∠EDC,∠B=∠C=90∘
∴▵ABE∽▵ECD ，
∴ABEC=BECD,BECD=AEDE ，
∴AB⋅CD=BE⋅EC ，故③正确；
BE⋅ED=AE⋅CD 故④不正确；
正确的有①②③．
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∵ADBD=12，
∴ADAB=13，
∴DEBC=ADAB=13，
C△ADEC△ABC=ADAB=13，故A、B选项正确，不符合题意；
设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，
∵DE//BC，ADBD=12，
∴hh1=12，
∴S△ADES△BCD=12DE⋅h12BC⋅h1=DEBC⋅hh1=16，故C选项错误，符合题意；
∵DE//BC，
∴h1=h2，
∴S△CDES△BCD=12DE⋅h212BC⋅h1=DEBC⋅h2h1=13，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
易证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可判断A、B选项；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，根据平行线的性质可得hh1=12，以此即可判断C选项；根据平行线的性质可得h1=h2，以此即可判断D选项．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【详解】解： ∵DE//BC ，
∴▵ADE∽▵ABC ，
∴ADAB=AEAC ，即： 33+6=2AC ，
解得： AC=6 ，
∴CE=AC−AE=6−2=4 ，
故选B．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解： ∵AB//CD ，
∴▵COD∽▵BOA ，
∴CDBA=x0.5 ，
∴0.81=x0.5 ，
∴x=0.4 ，
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
由DE//AB，得△CDE∽△CAB，根据相似三角形相似比的平方等于面积比求出△CDE的面积，即可求出四边形ABED的面积．
【解答】
解：∵DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵CDAD=21，
∴CDCA=23，
，
∵△ABC的面积是18，
∴S△CDE=8，
∴S四边形ABED=S△ABC−S△CDE=18−8=10．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积.利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键.由∠ACD=∠B、∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD=1，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD=S△ABC−S△ACD中即可求出结论．
【解答】
解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴S△ABCS△ACD=(ACAD)2=4．
∵S△ACD=1，
∴S△ABC=4⋅S△ACD=4，
∴S△BCD=S△ABC−S△ACD=3．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4，
∴BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2，
故选B．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段EF的长．
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大．
8.【答案】D
【解析】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE= AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵AO=OE=2，OP//DE，
∴OP=12DE，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故选：D．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE= AD2−DE2=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质求出B点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质以及相似三角形的判定与性质．
先根据题意得到OA=4，OC=4，OP=PC=2，再证明△OAP∽△CPB，可得OACP=OPCB，即42=2CB，于是可得CB=1，由此可得答案．
【解答】解：∵A(0,4)，C(4,0)，
∴OA=4，OC=4，
∵点P为线段OC的中点，
∴OP=PC=2，
∵PA⊥PB，BC⊥x轴，
∴∠APB=∠PCB=∠AOP=90°，
∴∠OAP+∠OPA=90°=∠OPA+∠CPB，
∴∠OAP=∠CPB，
∴△OAP∽△CPB，
∴OACP=OPCB，即42=2CB，
解得CB=1，
∴点B 的坐标为(4,1)．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AO于E，
∵点D是BO的中点，
∴AD=BD=DO=3，
∴BO=6，
∵DE⊥AO，AB⊥AO，
∴AB//DE，
∴△ODE∽△OBA，
∴DOBO=DEAB=EOAO=12，
∴AB=2DE，AO=2EO，
∵S△DEO=12DE×EO=12，
∴S△ABO=12AB×AO=2，
∵AB2+AO2=OB2=36，
∴(AB+AO)2=36+8，
∴AB+AO=2 11，
∴△ABO的周长=AO+BO+AB=6+2 11，
故选：D．
过点D作DE⊥AO于E，由直角三角形的性质可得BO=6，由平行线分线段成比例可得AB=2DE，AO=2OE，由勾股定理可求OA+AB，即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】由 AC⊥CD,BD⊥CD ，得 ∠C=∠D=90∘ ，而 ∠AOC=∠BOD ，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明 ▵AOC∽▵BOD ，得 OAOB=ACBD ，再由 AC=1,BD=2,OB=4 ，求得 OA =2 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵ AC⊥CD,BD⊥CD ，
∴∠C=∠D=90∘ ，
∵∠AOC=∠BOD ，
∴△AOC∽△BOD ，
∴OAOB=ACBD ，
∵AC=1,BD=2,OB=4 ，
∴OA=AC⋅OBBD=1×42=2 ；
故选：B．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明 ▵AOC∽▵BOD 是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD=∠CDP=75°，故①正确；根据∠BPC=∠EPF=60°，得∠ABE=30°，△BPC是等边三角形，易得△PEF是等边三角形，PC=PB，PE=PF，得CF=BE，所以CF=2AE②正确；通过证明，可得∠PDF=∠PBH=15°，∠PFD=∠HPB=60°，可证△BHP∽△DPF，故④正确；由相似三角形的性质可得PFPH=DFBC= 33，故③错误，即可求解．
【解答】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF=∠PFE=60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE=PF，
∴CP+PF=BP+PE，
∴CF=BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE=∠ABC−∠PBC=30°，
∴BE=2AE，
∴CF=2AE，故②正确；
∵∠CPD=∠CDP=75°，
∴∠PDF=15°，
∵∠PBH=∠PBC−∠HBC=60°−45°=15°，
∴∠PDF=∠HBP=15°，
∵∠BPH=∠DFP=60°，
∴△FPD∽△PHB，故④正确；
∴PFPH=DFBP，
∴PFPH=DFBP=DFBC=DFDC，
∵∠DCF=30°，
∴CF=2DF，
根据勾股定理可得DC= 3DF，
∴DFDC= 33，
∴PFPH=DFBC= 33，故③错误，
故选：B．
13.【答案】4 3
【解析】解：连接AC，CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵F是BC中点，
∴BF=FC，
∵△BEF∽△DEA，
∴EF：EA=BF：AD=1：2，
∴EF=13AF=13×6=2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=∠DAC=90°，
∴∠ACF=∠DAC=90°，∠BEC=180°-∠DEC=90°，
∴EF=BF=FC=2，BC=2EF=4，
∵AC2=AF2−FC2=62−22=32，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=4 3．
故答案为：4 3．
连接AC，CE，由圆周角定理得到∠ACB，∠BEC是直角，由△BEF∽△DEA，得到EF：EA=BF：AD=1：2，即可求出EF的长，由直角三角形的性质得到BF=FC=FE=2，由勾股定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14.【答案】14
【解析】【分析】
根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DEBC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
【解答】
解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AMAN=12，
，
故答案为：14．
15.【答案】 4,3 或 325,65
【解析】【分析】由题意知， PE//OC ，点P在线段 BC 上，分两种情况：当 AP=CP 时，点P是线段 AC 的垂直平分线与 BC 的交点，即点P是 OA 的中点；当 CA=CP 时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【详解】解：∵ ▵PBE∽▵CBO ，
∴ ∠BEP=∠BOC=90∘,∠PBE=∠CBO ，
∴ PE//OC ，点P在线段 BC 上．
∵A点的坐标为 8,6 ，
∴ OB=8,OC=6 ，由勾股定理得： BC=10 ；
如图1所示，当 AP=CP 时，点P是线段 AC 的垂直平分线与 BC 的交点，即点P是 BC 的中点，
∴点P是 OA 的中点，
∴点P的坐标为 4,3 ；
如图2所示，当 CA=CP 时，
∵四边形 ABOC 是矩形，
∴ AC=OB=8 ，
∴ CP=8,BP=2 ，
∵ ▵PBE∽▵CBO ，
∴ PEOC=BEOB=BPBC=15 ，
∴ PE=15OC=65 ， BE=15OB=85 ，
∴ OE=OB−BE=8−85=325 ，
∴点P的坐标为 325,65 ；
综上所述， 4,3 或 325,65 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．
16.【答案】125
【解析】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF//AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴GFAB=CFCB=44+3=47，即2xAB=47，
∴AB=7x2，
∴AD+BE=AB−DE=7x2−2x=32x，
∵AC=BC，
在△ADG和△BEF中，
∠A=∠B∠ADG=∠BEFDG=EF，
∴△ADG≌△BEF(AAS)，
∴AD=BE=34x，
在△BEF中，BE2+EF2=BF2，
即(34x)2+x2=32，
解得：x=125或−125(舍)，
∴EF=125，
故答案为：125．
根据矩形的性质得到GF//AB，证明△CGF∽△CAB，可得AB=7x2，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=34x，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．
17.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BDA=∠DAC+∠C=120°，
∴∠BAC=∠BDA=120°，
∵∠B=∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴BABC=BDBA，
∴AB2=BD⋅BC；
(2)2 3．
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，再利用垂直定义可得∠DAC=90°，从而利用三角形的外角可得∠BDA=∠BAC=120°，然后证明△BDA∽△BAC，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论可得∠B=∠BAD=30°，从而可得BD=AD=2，然后在Rt△ADC中，进行计算即可解答．
【解答】
(1)见答案；
(2)∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°，
∵∠B=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=2，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴AC= 3AD=2 3，
故答案为：2 3．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
(2)解：∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵AB=6，
∴AE= AB2+BE2= 62+22=2 10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
∵△ABE∽△DFA，
∴ABDF=AEAD，
∴DF=AB⋅ADAE=6×42 10=6 105．
【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，由于∠AFD=∠B=90°，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．
19.【答案】解：∵ AC ， BD交于点O
∴ ∠BOA=∠DOC
∵ ∠A=∠D
∴△ AOB ∽△ DOC
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，作CD⊥y轴于D，
则△ABO∽△CBD，
∴ABBC=AOCD，
∵AB=2BC，
∴AO=2CD，
∵点A(−4,0)，
∴OA=4，
∴CD=2，
∵点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，
∴b=2，
∴y=12x+2，
当x=2时，y=3，
∴C(2,3)，
∵点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×3=6；
(2)作CE⊥x轴于E，
S△AOC=12×OA×CE=12×4×3=6．
【解析】(1)由点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，代入求得b=2，作CD⊥y轴于D，则△ABO∽△CBD，得出C的横坐标为2，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
(2)根据三角形的面积公式代入计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似的判定与性质，找出C的坐标是解题的关键．
21.【答案】解：【问题背景】①ABD；ACE；
②ABC；ADE；
【尝试应用】证明∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
∴△ABC∽△ADE，
∴ACAE=ABAD，∠CAB=∠EAD，
∴ACAB=AEAD，∠CAB−∠EAB=∠EAD−∠EAB，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE∽△ABD；
【问题解决】如图，连接CE．
由【尝试应用】知△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ADE=30°，BDCE=ABAC，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴BDCE=ABAC= 3．
∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴DFCF=ADEC，
∵ADBD= 3，
∴AD= 3BD，
∴DFCF= 3BDEC= 3⋅BDEC，
∵BDCE=ABAC= 3，
∴DFCF= 3× 3=3．
【解析】【分析】
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握基本几何模型--旋转型相似是解题的关键．
【问题背景】根据全等三角形的判定和相似三角形的判定可得答案；
【尝试应用】首先证明△ABC∽△ADE，得ACAE=ABAD，∠CAB=∠EAD，则ACAB=AEAD，∠CAE=∠BAD，从而可证△ACE∽△ABD；
【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知△ABD∽△ACE，所以BDCE=ABAC= 3，再证△ADF∽△ECF，得DFCF= 3BDEC= 3⋅BDEC=3．
【解答】
解：【问题背景】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE．
故答案为：①ABD；ACE；②ABC；ADE；
【尝试应用】见答案；
【问题解决】见答案．
22.【答案】(1)证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BC.
∵AB=AC，
∴BD=CD．
(2)解：连接OD．
∵GF是切线，OD是半径，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG=90°.
∵∠G=40°，
∴∠GOD=50°.
∵OB=OD，
∴∠OBD=65°
∵点A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED=180°，
∴∠AED=115°
(3)解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴ODAF=GOGA，
∴设⊙O的半径是r，则AB=AC=2r
∴AF=2r−2
∴r2r−2=6+r6+2r，
∴r=3，即⊙O的半径是3．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识，解答此题的关键是掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识．
(1)根据圆周角定理可知∠ODG=90°，再根据三角形三线合一的性质即可求证．
(2)根据切线性质可得∠ODG=90°，又根据三角形内角和定理可得∠OBD=65°，因为点A、B、D、E都在⊙O上，根据圆内接四边形的性质可得∠ABD+∠AED=180°，即可求解．
(3)根据相似三角形的判定与性质可得ODAF=GOGA，设⊙O的半径是r，可得r2r−2=6+r6+2r，求解即可．
23.【答案】(1)证明：∵∠DAB=90°，O是BD的中点，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
又∵AB//CD，
∴∠CDB=∠OBA，
∴∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，
∴△AOB∽△DCB；
(2)证明：连接OC，
∵BC=DC，O是BD的中点，
∴CD⊥AB，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠OAB+∠OBA+∠CBD=90°，
由(1)知∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，
∴∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB=30°，
∴CD：OD=2： 3，BD：AB=2： 3，
又∵BD=2OD，
∴CD：AB=2：3；
(3)解：BE= 33+12.理由如下：
延长AE与DC的延长线交于点F，如图，
∵DC//AB，
∴∠F=∠OAB，
∵∠AOB=∠DOF，OB=OD，
∴△OAB≌△OFD(AAS)，
∴OA=OF，AB=DF，
∴OA=OB=OD=OF，
设BE=x，OA=OB=OD=OF=y，
则CD=BC=x+1，BD=2y，AE=y+2，EF=y−2，
∵△AOB∽△DCB；
∴BCBO=DBAB，
即x+1y=2yAB，
∴AB=2y2x+1，
∴CF=DF−CD=2y2x+1−(x+1)，
∵CF//AB，
∴△CEF∽△BEA，
∴CEBE=CFBA=EFEA，
即1x=2y2x+1−(x+1)2y2x+1=y−2y+2，
∴1x=1−(x+1)22y2=y−2y+2，
消去y得x3−2x2−7x+8=0，
分解因式得(x−1)(x2−x−8)=0，
∵x≠1，
∴x2−x−8=0，
解得x=1− 332(舍)或x= 33+12，
∴BE= 33+12．
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OA=OB，再根据平行线性质与等腰三角形的性质得∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，再根据相似三角形的判定得结论；
(2)连接OC，根据等腰三角形的性质得CD⊥AB，由AE⊥BC，根据三角形的内角和定理求得∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB=30°，进而得CD：OD=2： 3，BD：AB=2： 3，结合BD=2OD，便可得CD：AB=2：3；
(3)延长AE与DC的延长线交于点F，证明得△OAB≌△OFD(AAS)，得OA=OF，AB=DF，设BE=x，OA=OB=OD=OF=y，由△AOB∽△DCB用x、y表示AB，再证明△CEF∽△BEA，由相似比得出x、y的方程，解方程便可求得结果．
本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，关键是证明三角形相似．
24.【答案】(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180∘，∠ADE+∠CDE+∠BDA=180∘，又∠B=∠ADE
∴∠BAD+∠BDA=∠CDE+∠BDA
∴∠BAD=∠CDE
∴ΔABD∽ΔDCE
(2)∵DE//AB
∴∠ADE=∠BAD
∵∠ADE=∠B
∴∠B=∠BAD
由(1)得∠B=∠C，
∴∠BAD=∠C
∵∠B=∠B
∴ΔBAD∽ΔBCA
∴ABBC=BDAB，即1016=BD10
∴BD=254
【解析】
(1)根据AB=AC推出∠B=∠C，根据三角形内角和定理推出∠BAD=∠CDE，即可证明ΔABD∽ΔDCE；
(2)根据平行线的性质推出∠B=∠BAD，证明ΔBAD∽ΔBCA，由形似三角形的性质即可求出BD．
本题主要考查了相似三角形，涉及了三角形内角和定理与平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．
∴AFFG=EFFA，且∠AFG=∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG=∠E，
∵AE//BC，
∴∠E=∠EBC，
∴∠DAC=∠GBC，且∠ACD=∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
(2)如图：
∵△CAD∽△CBG，
∴CDCG=CACB，且∠C=∠C，
∴△CDG∽△CAB，
∴DGAB=CGCB，
∵AE//BC，
∴AECB=AGCG
∴AGAE=CGBC，
∴DGAB=AGAE，
∴DG⋅AE=AB⋅AG．
【解析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC，即∠DAC=∠GBC，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
(2)由相似三角形的性质可得CDCG=CACB，且∠C=∠C，可证△CDG∽△CAB，可得DGAB=CGCB，由平行线分线段成比例可得AECB=AGCG，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知：在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90∘，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：
①AE⊥DE；②∠AEB=∠EDC；③AB⋅CD=BE⋅EC；④BE⋅ED=AE⋅EC
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
2.如图，在△ABC中，DE//BC，连接CD，若ADBD=12，下列结论中，错误的是
( )
A. DEBC=13
B. △ADE的周长△ABC的周长=13
C. △ADE的面积△BCD的面积=13
D. △CDE的面积△BCD的面积=13
3.如图，在▵ABC中，DE//BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC的长为
( )
A. 2B. 4C. 6D. 9
4.如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB//CD，根据图2中的数据可得x的值为
( )
A. 0.4B. 0.8C. 1D. 1.6
5.如图所示，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE//AB，CDAD=2：1，△ABC的面积是18，则四边形ABED的面积是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
6.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为
( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.已知△ABC∽△DEF，SΔABC：SΔDEF=1:4.若BC=1，则EF 的长为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 163
B. 8
C. 10
D. 323
9.如图，已知点A(0,4)，C(4,0)，点P为线段OC的中点，且PA⊥PB，BC⊥x 轴，则点B 的坐标为
( )
A. (4,3)B. (4,2)C. (4,1.5)D. (4,1)
10.如图，函数y=−1x(x<0)的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD.若AD=3，则△ABO的周长为( )
A. 12
B. 6+ 38
C. 6+2 10
D. 6+2 11
11.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，若AC=1，BD=2，OB=4.则OA的长为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
12.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC=75°；②CF=2AE；③DFBC=23；④△FPD∽△PHB.其中正确结论的个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在▱ABCD中，以CD为直径作⊙O，⊙O经过点A，且与BD交于点E，连接AE并延长，与BC交于点F，若F是BC的中点，AF=6，则AB= ．
14.如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN=12，则S△ADES△ABC= ．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB,OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8,6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足▵PBE∽▵CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
16.如图，在△ABC中，AC=BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF=4，BF=3，且DE=2EF，则EF的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
(1)求证：AB2=BD⋅BC；
(2)若BD=2，则AC的长是______．
18.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．
19.(本小题8分)
如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D．
求证：▵AOB∼▵DOC．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C，连接OC.已知点A(−4,0)，AB=2BC．
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积．
21.(本小题8分)
【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，由已知可以得到：
①△________≌△________；
②△________∽△________．
【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
求证：△ACE∽△ABD．
【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，ADBD= 3，求DFCF的值．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E.过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
(1)求证：BD=CD；
(2)若∠G=40∘，求∠AED的度数．
(3)若BG=6，CF=2，求⊙O的半径．
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，BC=DC，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E．
(1)求证：△AOB∽△DCB；
(2)若AE⊥BC，求证CD：AB=2：3；
(3)若CE=1，OE=2，求BE的长(直接写结果，不写过程)．
24.(本小题8分)
如图1，△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AB=10，BC=16，DE//AB，如图2，求BD的长．
25.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE//BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2=FG⋅FE．
(1)求证：△CAD∽△CBG；
(2)连接DG，求证：DG⋅AE=AB⋅AG．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据 AB//CD 和 AE 平分 ∠BAD ， DE 平分 ∠ADC 推出 ∠DAE+∠ADE=90∘ 即可证明 AE⊥DE ，可证明①正确；根据 ∠AED=90∘ 推出 ∠AEB+∠DEC=90∘ ，根据 ∠B=90∘ 推出 ∠C=90∘ ，从而推出 ∠EDC+∠DEC=90∘ ，即可推出 ∠AEB=∠EDC ，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定 ▵ABE∽▵ECD 后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出 AB⋅CD=BE⋅EC 可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．
【详解】∵ AB//CD ，
∴ ∠DAB+∠ADC=180∘
∵ AE 平分 ∠BAD ， DE 平分 ∠ADC
∴∠DAE=12∠BAD,∠ADE=12∠ADC ，
∴ ∠AED=90∘ ，
∴ AE⊥DE ；
故①正确；
∵ ∠AED=90∘ ，
∴ ∠AEB+∠DEC=90∘ ，
∵ AB//CD,∠B=90∘ ，
∴ ∠C=90∘ ，
∴ ∠EDC+∠DEC=90∘ ，
∴ ∠AEB=∠EDC ，
故②正确；
∵ ∠AEB=∠EDC,∠B=∠C=90∘
∴▵ABE∽▵ECD ，
∴ABEC=BECD,BECD=AEDE ，
∴AB⋅CD=BE⋅EC ，故③正确；
BE⋅ED=AE⋅CD 故④不正确；
正确的有①②③．
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∵ADBD=12，
∴ADAB=13，
∴DEBC=ADAB=13，
C△ADEC△ABC=ADAB=13，故A、B选项正确，不符合题意；
设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，
∵DE//BC，ADBD=12，
∴hh1=12，
∴S△ADES△BCD=12DE⋅h12BC⋅h1=DEBC⋅hh1=16，故C选项错误，符合题意；
∵DE//BC，
∴h1=h2，
∴S△CDES△BCD=12DE⋅h212BC⋅h1=DEBC⋅h2h1=13，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
易证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可判断A、B选项；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，根据平行线的性质可得hh1=12，以此即可判断C选项；根据平行线的性质可得h1=h2，以此即可判断D选项．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【详解】解： ∵DE//BC ，
∴▵ADE∽▵ABC ，
∴ADAB=AEAC ，即： 33+6=2AC ，
解得： AC=6 ，
∴CE=AC−AE=6−2=4 ，
故选B．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解： ∵AB//CD ，
∴▵COD∽▵BOA ，
∴CDBA=x0.5 ，
∴0.81=x0.5 ，
∴x=0.4 ，
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
由DE//AB，得△CDE∽△CAB，根据相似三角形相似比的平方等于面积比求出△CDE的面积，即可求出四边形ABED的面积．
【解答】
解：∵DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵CDAD=21，
∴CDCA=23，
，
∵△ABC的面积是18，
∴S△CDE=8，
∴S四边形ABED=S△ABC−S△CDE=18−8=10．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积.利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键.由∠ACD=∠B、∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD=1，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD=S△ABC−S△ACD中即可求出结论．
【解答】
解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴S△ABCS△ACD=(ACAD)2=4．
∵S△ACD=1，
∴S△ABC=4⋅S△ACD=4，
∴S△BCD=S△ABC−S△ACD=3．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4，
∴BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2，
故选B．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段EF的长．
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大．
8.【答案】D
【解析】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE= AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵AO=OE=2，OP//DE，
∴OP=12DE，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故选：D．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE= AD2−DE2=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质求出B点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质以及相似三角形的判定与性质．
先根据题意得到OA=4，OC=4，OP=PC=2，再证明△OAP∽△CPB，可得OACP=OPCB，即42=2CB，于是可得CB=1，由此可得答案．
【解答】解：∵A(0,4)，C(4,0)，
∴OA=4，OC=4，
∵点P为线段OC的中点，
∴OP=PC=2，
∵PA⊥PB，BC⊥x轴，
∴∠APB=∠PCB=∠AOP=90°，
∴∠OAP+∠OPA=90°=∠OPA+∠CPB，
∴∠OAP=∠CPB，
∴△OAP∽△CPB，
∴OACP=OPCB，即42=2CB，
解得CB=1，
∴点B 的坐标为(4,1)．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AO于E，
∵点D是BO的中点，
∴AD=BD=DO=3，
∴BO=6，
∵DE⊥AO，AB⊥AO，
∴AB//DE，
∴△ODE∽△OBA，
∴DOBO=DEAB=EOAO=12，
∴AB=2DE，AO=2EO，
∵S△DEO=12DE×EO=12，
∴S△ABO=12AB×AO=2，
∵AB2+AO2=OB2=36，
∴(AB+AO)2=36+8，
∴AB+AO=2 11，
∴△ABO的周长=AO+BO+AB=6+2 11，
故选：D．
过点D作DE⊥AO于E，由直角三角形的性质可得BO=6，由平行线分线段成比例可得AB=2DE，AO=2OE，由勾股定理可求OA+AB，即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】由 AC⊥CD,BD⊥CD ，得 ∠C=∠D=90∘ ，而 ∠AOC=∠BOD ，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明 ▵AOC∽▵BOD ，得 OAOB=ACBD ，再由 AC=1,BD=2,OB=4 ，求得 OA =2 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵ AC⊥CD,BD⊥CD ，
∴∠C=∠D=90∘ ，
∵∠AOC=∠BOD ，
∴△AOC∽△BOD ，
∴OAOB=ACBD ，
∵AC=1,BD=2,OB=4 ，
∴OA=AC⋅OBBD=1×42=2 ；
故选：B．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明 ▵AOC∽▵BOD 是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD=∠CDP=75°，故①正确；根据∠BPC=∠EPF=60°，得∠ABE=30°，△BPC是等边三角形，易得△PEF是等边三角形，PC=PB，PE=PF，得CF=BE，所以CF=2AE②正确；通过证明，可得∠PDF=∠PBH=15°，∠PFD=∠HPB=60°，可证△BHP∽△DPF，故④正确；由相似三角形的性质可得PFPH=DFBC= 33，故③错误，即可求解．
【解答】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF=∠PFE=60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE=PF，
∴CP+PF=BP+PE，
∴CF=BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE=∠ABC−∠PBC=30°，
∴BE=2AE，
∴CF=2AE，故②正确；
∵∠CPD=∠CDP=75°，
∴∠PDF=15°，
∵∠PBH=∠PBC−∠HBC=60°−45°=15°，
∴∠PDF=∠HBP=15°，
∵∠BPH=∠DFP=60°，
∴△FPD∽△PHB，故④正确；
∴PFPH=DFBP，
∴PFPH=DFBP=DFBC=DFDC，
∵∠DCF=30°，
∴CF=2DF，
根据勾股定理可得DC= 3DF，
∴DFDC= 33，
∴PFPH=DFBC= 33，故③错误，
故选：B．
13.【答案】4 3
【解析】解：连接AC，CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵F是BC中点，
∴BF=FC，
∵△BEF∽△DEA，
∴EF：EA=BF：AD=1：2，
∴EF=13AF=13×6=2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=∠DAC=90°，
∴∠ACF=∠DAC=90°，∠BEC=180°-∠DEC=90°，
∴EF=BF=FC=2，BC=2EF=4，
∵AC2=AF2−FC2=62−22=32，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=4 3．
故答案为：4 3．
连接AC，CE，由圆周角定理得到∠ACB，∠BEC是直角，由△BEF∽△DEA，得到EF：EA=BF：AD=1：2，即可求出EF的长，由直角三角形的性质得到BF=FC=FE=2，由勾股定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14.【答案】14
【解析】【分析】
根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DEBC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
【解答】
解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AMAN=12，
，
故答案为：14．
15.【答案】 4,3 或 325,65
【解析】【分析】由题意知， PE//OC ，点P在线段 BC 上，分两种情况：当 AP=CP 时，点P是线段 AC 的垂直平分线与 BC 的交点，即点P是 OA 的中点；当 CA=CP 时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【详解】解：∵ ▵PBE∽▵CBO ，
∴ ∠BEP=∠BOC=90∘,∠PBE=∠CBO ，
∴ PE//OC ，点P在线段 BC 上．
∵A点的坐标为 8,6 ，
∴ OB=8,OC=6 ，由勾股定理得： BC=10 ；
如图1所示，当 AP=CP 时，点P是线段 AC 的垂直平分线与 BC 的交点，即点P是 BC 的中点，
∴点P是 OA 的中点，
∴点P的坐标为 4,3 ；
如图2所示，当 CA=CP 时，
∵四边形 ABOC 是矩形，
∴ AC=OB=8 ，
∴ CP=8,BP=2 ，
∵ ▵PBE∽▵CBO ，
∴ PEOC=BEOB=BPBC=15 ，
∴ PE=15OC=65 ， BE=15OB=85 ，
∴ OE=OB−BE=8−85=325 ，
∴点P的坐标为 325,65 ；
综上所述， 4,3 或 325,65 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．
16.【答案】125
【解析】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF//AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴GFAB=CFCB=44+3=47，即2xAB=47，
∴AB=7x2，
∴AD+BE=AB−DE=7x2−2x=32x，
∵AC=BC，
在△ADG和△BEF中，
∠A=∠B∠ADG=∠BEFDG=EF，
∴△ADG≌△BEF(AAS)，
∴AD=BE=34x，
在△BEF中，BE2+EF2=BF2，
即(34x)2+x2=32，
解得：x=125或−125(舍)，
∴EF=125，
故答案为：125．
根据矩形的性质得到GF//AB，证明△CGF∽△CAB，可得AB=7x2，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=34x，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．
17.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BDA=∠DAC+∠C=120°，
∴∠BAC=∠BDA=120°，
∵∠B=∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴BABC=BDBA，
∴AB2=BD⋅BC；
(2)2 3．
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，再利用垂直定义可得∠DAC=90°，从而利用三角形的外角可得∠BDA=∠BAC=120°，然后证明△BDA∽△BAC，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论可得∠B=∠BAD=30°，从而可得BD=AD=2，然后在Rt△ADC中，进行计算即可解答．
【解答】
(1)见答案；
(2)∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°，
∵∠B=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=2，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴AC= 3AD=2 3，
故答案为：2 3．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
(2)解：∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵AB=6，
∴AE= AB2+BE2= 62+22=2 10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
∵△ABE∽△DFA，
∴ABDF=AEAD，
∴DF=AB⋅ADAE=6×42 10=6 105．
【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，由于∠AFD=∠B=90°，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．
19.【答案】解：∵ AC ， BD交于点O
∴ ∠BOA=∠DOC
∵ ∠A=∠D
∴△ AOB ∽△ DOC
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，作CD⊥y轴于D，
则△ABO∽△CBD，
∴ABBC=AOCD，
∵AB=2BC，
∴AO=2CD，
∵点A(−4,0)，
∴OA=4，
∴CD=2，
∵点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，
∴b=2，
∴y=12x+2，
当x=2时，y=3，
∴C(2,3)，
∵点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×3=6；
(2)作CE⊥x轴于E，
S△AOC=12×OA×CE=12×4×3=6．
【解析】(1)由点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，代入求得b=2，作CD⊥y轴于D，则△ABO∽△CBD，得出C的横坐标为2，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
(2)根据三角形的面积公式代入计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似的判定与性质，找出C的坐标是解题的关键．
21.【答案】解：【问题背景】①ABD；ACE；
②ABC；ADE；
【尝试应用】证明∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
∴△ABC∽△ADE，
∴ACAE=ABAD，∠CAB=∠EAD，
∴ACAB=AEAD，∠CAB−∠EAB=∠EAD−∠EAB，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE∽△ABD；
【问题解决】如图，连接CE．
由【尝试应用】知△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ADE=30°，BDCE=ABAC，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴BDCE=ABAC= 3．
∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴DFCF=ADEC，
∵ADBD= 3，
∴AD= 3BD，
∴DFCF= 3BDEC= 3⋅BDEC，
∵BDCE=ABAC= 3，
∴DFCF= 3× 3=3．
【解析】【分析】
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握基本几何模型--旋转型相似是解题的关键．
【问题背景】根据全等三角形的判定和相似三角形的判定可得答案；
【尝试应用】首先证明△ABC∽△ADE，得ACAE=ABAD，∠CAB=∠EAD，则ACAB=AEAD，∠CAE=∠BAD，从而可证△ACE∽△ABD；
【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知△ABD∽△ACE，所以BDCE=ABAC= 3，再证△ADF∽△ECF，得DFCF= 3BDEC= 3⋅BDEC=3．
【解答】
解：【问题背景】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE．
故答案为：①ABD；ACE；②ABC；ADE；
【尝试应用】见答案；
【问题解决】见答案．
22.【答案】(1)证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BC.
∵AB=AC，
∴BD=CD．
(2)解：连接OD．
∵GF是切线，OD是半径，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG=90°.
∵∠G=40°，
∴∠GOD=50°.
∵OB=OD，
∴∠OBD=65°
∵点A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED=180°，
∴∠AED=115°
(3)解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴ODAF=GOGA，
∴设⊙O的半径是r，则AB=AC=2r
∴AF=2r−2
∴r2r−2=6+r6+2r，
∴r=3，即⊙O的半径是3．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识，解答此题的关键是掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识．
(1)根据圆周角定理可知∠ODG=90°，再根据三角形三线合一的性质即可求证．
(2)根据切线性质可得∠ODG=90°，又根据三角形内角和定理可得∠OBD=65°，因为点A、B、D、E都在⊙O上，根据圆内接四边形的性质可得∠ABD+∠AED=180°，即可求解．
(3)根据相似三角形的判定与性质可得ODAF=GOGA，设⊙O的半径是r，可得r2r−2=6+r6+2r，求解即可．
23.【答案】(1)证明：∵∠DAB=90°，O是BD的中点，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
又∵AB//CD，
∴∠CDB=∠OBA，
∴∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，
∴△AOB∽△DCB；
(2)证明：连接OC，
∵BC=DC，O是BD的中点，
∴CD⊥AB，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠OAB+∠OBA+∠CBD=90°，
由(1)知∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，
∴∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB=30°，
∴CD：OD=2： 3，BD：AB=2： 3，
又∵BD=2OD，
∴CD：AB=2：3；
(3)解：BE= 33+12.理由如下：
延长AE与DC的延长线交于点F，如图，
∵DC//AB，
∴∠F=∠OAB，
∵∠AOB=∠DOF，OB=OD，
∴△OAB≌△OFD(AAS)，
∴OA=OF，AB=DF，
∴OA=OB=OD=OF，
设BE=x，OA=OB=OD=OF=y，
则CD=BC=x+1，BD=2y，AE=y+2，EF=y−2，
∵△AOB∽△DCB；
∴BCBO=DBAB，
即x+1y=2yAB，
∴AB=2y2x+1，
∴CF=DF−CD=2y2x+1−(x+1)，
∵CF//AB，
∴△CEF∽△BEA，
∴CEBE=CFBA=EFEA，
即1x=2y2x+1−(x+1)2y2x+1=y−2y+2，
∴1x=1−(x+1)22y2=y−2y+2，
消去y得x3−2x2−7x+8=0，
分解因式得(x−1)(x2−x−8)=0，
∵x≠1，
∴x2−x−8=0，
解得x=1− 332(舍)或x= 33+12，
∴BE= 33+12．
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OA=OB，再根据平行线性质与等腰三角形的性质得∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，再根据相似三角形的判定得结论；
(2)连接OC，根据等腰三角形的性质得CD⊥AB，由AE⊥BC，根据三角形的内角和定理求得∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB=30°，进而得CD：OD=2： 3，BD：AB=2： 3，结合BD=2OD，便可得CD：AB=2：3；
(3)延长AE与DC的延长线交于点F，证明得△OAB≌△OFD(AAS)，得OA=OF，AB=DF，设BE=x，OA=OB=OD=OF=y，由△AOB∽△DCB用x、y表示AB，再证明△CEF∽△BEA，由相似比得出x、y的方程，解方程便可求得结果．
本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，关键是证明三角形相似．
24.【答案】(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180∘，∠ADE+∠CDE+∠BDA=180∘，又∠B=∠ADE
∴∠BAD+∠BDA=∠CDE+∠BDA
∴∠BAD=∠CDE
∴ΔABD∽ΔDCE
(2)∵DE//AB
∴∠ADE=∠BAD
∵∠ADE=∠B
∴∠B=∠BAD
由(1)得∠B=∠C，
∴∠BAD=∠C
∵∠B=∠B
∴ΔBAD∽ΔBCA
∴ABBC=BDAB，即1016=BD10
∴BD=254
【解析】
(1)根据AB=AC推出∠B=∠C，根据三角形内角和定理推出∠BAD=∠CDE，即可证明ΔABD∽ΔDCE；
(2)根据平行线的性质推出∠B=∠BAD，证明ΔBAD∽ΔBCA，由形似三角形的性质即可求出BD．
本题主要考查了相似三角形，涉及了三角形内角和定理与平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．
∴AFFG=EFFA，且∠AFG=∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG=∠E，
∵AE//BC，
∴∠E=∠EBC，
∴∠DAC=∠GBC，且∠ACD=∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
(2)如图：
∵△CAD∽△CBG，
∴CDCG=CACB，且∠C=∠C，
∴△CDG∽△CAB，
∴DGAB=CGCB，
∵AE//BC，
∴AECB=AGCG
∴AGAE=CGBC，
∴DGAB=AGAE，
∴DG⋅AE=AB⋅AG．
【解析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC，即∠DAC=∠GBC，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
(2)由相似三角形的性质可得CDCG=CACB，且∠C=∠C，可证△CDG∽△CAB，可得DGAB=CGCB，由平行线分线段成比例可得AECB=AGCG，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
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