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专题01 有理数 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用）
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这是一份专题01 有理数 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用），文件包含专题01有理数原卷版docx、专题01有理数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
技巧1 绝对值的八种常见应用
技巧2 有理数中的六种易错类型
【题型】一、有理数概念理解
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
【题型】三、求一个数的相反数
【题型】四、求一个数的绝对值
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
【题型】六、科学记数法
【考纲要求】
1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点一一对应．
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
【考点总结】一、有理数
【注意】
数轴
1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【考点总结】二、有理数四则运算
【注意】
1、有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
2、多个有理数相乘的法则及规律：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
【技巧归纳】
技巧1：绝对值的六种常见应用
【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；
【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数
2.若|a|＝2，则a＝________.
3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________.
【类型】三、 绝对值在求字母的取值范围中的应用
4．若|x|＝－x，则x的取值范围是________．
5．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是________．
【类型】四、绝对值在比较大小中的应用
6．把－(－1)，－eq \f(2,3)，－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))，0，用“>”连接正确的是( )
A．0>－(－1)>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))>－eq \f(2,3) B．0>－(－1)>－eq \f(2,3)>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))
C．－(－1)>0>－eq \f(2,3)>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))) D．－(－1)>0>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))>－eq \f(2,3)
【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用
7．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,3)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,4)))＝0，求a＋b－c的值．
【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用
8．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
(1)当a＝________时，|a－4|有最小值，此时最小值为________；
参考答案
1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8.
2．±2 3.±3
4.x≤0 5.x≤2
6.C
7．解：由题意知a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,4)，所以a＋b－c＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＝eq \f(7,12).
8．解：(1)4；0
(2)因为a，b互为相反数，所以b＝－a.又因为a＜0，b＞0.
所以|a－b|＋2a＋|b|＝|2a|＋2a＋|b|＝－2a＋2a＋b＝b.
技巧2： 有理数中的六种易错类型
【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误
1．下列说法正确的是( )
A．最小的正整数是0
B．－a是负数
C．符号不同的两个数互为相反数
D．－a的相反数是a
【类型】二、 误认为|a|＝a，忽略对字母a分情况讨论
2．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( )
A．负数 B．负数或零
C．正数或零 D．正数
【类型】三、对括号使用不当导致错误
3．计算：2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)＋\f(1,4)－\f(1,2))).
【类型】四、忽略或不清楚运算顺序
4．计算：－5－(－5)×eq \f(1,10)÷eq \f(1,10)×(－5)．
【类型】五、乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆
5．计算：－36×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)－\f(5,6)－1)).
【类型】六、除法没有分配律
6．计算：24÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,8)－\f(1,6))).
参考答案
1．D 2.C
3．解：原式＝2＋eq \f(1,5)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝2eq \f(9,20).
4．解：原式＝－5－(－5)×eq \f(1,10)×10×(－5)＝－30.
5．解：原式＝－36×eq \f(7,12)－(－36)×eq \f(5,6)－(－36)×1
＝－21＋30＋36
＝45.
6．解：原式＝24÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,24)－\f(3,24)－\f(4,24)))
＝24÷eq \f(1,24)
＝576.
方法指导：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中的错误，从而出现“原式＝24÷eq \f(1,3)－24÷eq \f(1,8)－24÷eq \f(1,6)＝72－192－144＝－264”这样的错误．
【题型讲解】
【题型】一、有理数概念理解
例1、在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断．
【详解】
解：∵＝3，＝4，
∴，，，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．
有理数有4个.
故选：D．
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
例2、如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【提示】根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3。故选：C
【点睛】
本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可．
【题型】三、求一个数的相反数
例3、下列式子中，正确的是（ ）
A．|﹣5|=﹣5 B．﹣|﹣5|=5 C．﹣（﹣5）=﹣5 D．﹣（﹣5）=5
【答案】D
【解析】
试题解析：A. |﹣5|=5，故原选项错误；
B. ﹣|﹣5|=-5，故原选项错误；
C. ﹣（﹣5）=5，故原选项错误；
D. ﹣（﹣5）=5，故正确.
故选D.
【题型】四、求一个数的绝对值
例4、的绝对值是（ ）
A．B．2020C．D．
【答案】B
【提示】根据绝对值的定义直接解答．
【详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|＝2020，故选：B．
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
例5、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）8；（2）-44；（3）；（4）
【提示】
（1）根据有理数的减法法则和加法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可；
（3）根据乘法分配律和各个运算法则计算即可；
（4）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=8
（2）
=
=
=
=-44
（3）
=
=
=
（4）
=
=
=
【题型】六、科学记数法
例6、2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解： 36000=，故选：C．
有理数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·浙江金华·一模）的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，直接求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决问题的关键．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）的绝对值等于（ ）
A．B．C．2D．－2
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：-的绝对值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
3．（2022·上海普陀·二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．
【详解】2到原点的距离是2个长度单位，
1到原点的距离是1个长度单位，
-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，
-3到原点的距离是3个长度单位，
即到原点的距离最远的点是﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．
4．（2022·重庆铜梁·一模）在下列四个选项中，比-1小的数是（ ）
A．1B．-2C．0D．2
【答案】B
【分析】根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
其中比小的数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
5．（2022·河南·三模）下列各数中绝对值最大的数是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小即可解答．
【详解】解：，，，，
∵，
∴绝对值最大的数是-4，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较以及绝对值的概念，解题的关键是求出各数的绝对值．
6．（2023·福建莆田·二模）中国工程院院士、世界杂交水稻之父袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，为中国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出杰出贡献．2021年，全国粮食再获丰收，全年粮食总产量达到13 657亿斤，粮食产量连续7年稳定在1.3万亿斤以上．将13 657用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数，据此解答．
【详解】解：13 657用科学计数法表示应为
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
7．（2022·河南·郑州外国语中学模拟预测）计算：______．
【答案】1
【分析】先计算出绝对值符号里面的结果，再求得此题结果即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握有理数的加法法则．
8．（2021·福建漳州·模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为1），则点C表示的数是________．
【答案】
【分析】根据数轴上表示的数互为相反数的性质：即到原点的距离相等，再由两点之间的距离确定出A表示的数，进而可得答案．
【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数，
∴A，B两点到原点的距离相等，
∵点A与点B之间的距离为6个单位长度，
∴点A到原点的距离为6÷2＝3，
∵点A在原点的左侧，
∴点A表示的数是-3，
∴点C表示的数是-1
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数的性质，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
三、解答题
9．计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
有理数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·河北邯郸·三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用去括号法则与正整数幂的概念判断即可．
【详解】解：对于A，，A错误，不符合题意；
对于B，，B错误，不符合题意；
对于C，，C正确，符合题意；
对于D，，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号法则，以及正整数幂的概念，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
2．（2022·河北保定·二模）嘉琪在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如，图1中表示的数为31，可知图2中表示的数为（ ）
A．42B．46C．86D．321
【答案】C
【分析】由题可知，可知图2中的五进制数为321，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：
图2中的五进制数为321，
化为十进制数为：321=3×52+2×51+1×50=86．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．
3．（2022·安徽·三模）下列各数中，化简结果最小的是（ ）
A．－5B．C．D．
【答案】A
【分析】分别计算绝对值，负整数指数幂，乘方运算，再比较各数的大小，从而可得答案．
【详解】解：
而
所以最小的数是
故选：A
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，负整数指数幂的含义，有理数的乘方运算，有理数的大小比较，掌握以上基础知识是解本题的关键．
4．（2022·贵州贵阳·三模）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4B．0C．4D．8
【答案】A
【分析】根据AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，可知A，B两点到原点的距离相等，进而可求出B点表示的数，进而可求出A点表示的数．
【详解】解：因为AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，
所以A，B两点到原点的距离相等，
则B点表示的数为：8÷2=4，
则A点表示的数为：﹣4，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的几何意义，数轴上两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
5．（2022·河北唐山·三模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
【点睛】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
6．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．B．﹣1﹣（﹣5）C．﹣（﹣）D．﹣2×0
【答案】A
【分析】先逐一计算，后作出判断即可．
【详解】解：∵ = -1，是负数，
∴A符合题意；
∵﹣1﹣（﹣5）=4，是正数，
∴B不符合题意；
∵﹣（﹣）=，是正数，
∴C不符合题意；
∵﹣2×0=0，既不是正数，也不是负数，
∴D不符合题意；
故选:A．
【点睛】本题考查了有理数的运算，负数，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·浙江宁波·一模）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则___________．
【答案】0
【分析】根据题意，[1.7]中不大于1.7的最大整数为1，（-1.7）中不小于-1.7的最小整数为-1，则可解答
【详解】解：依题意：[1.7]=1，（-1.7）=-1
∴
故答案为：0
【点睛】此题主要考查有理数大小的比较，读懂题意，即可解答．
8．（2022·河北石家庄·二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为 _____；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为 _____．
【答案】
【分析】因为A到原点距离为10，A1为OA的中点，可求出A1到原点距离为5，依次可求出A2、A3、A4到原点的距离．
【详解】解：由题意可知：
∵A到原点距离为10，且A1为OA的中点，∴A1到原点距离为5，
∵A2为OA1的中点，∴A2到原点距离为，
∵A3为OA2的中点，∴A3到原点距离为，
∵A4为OA3的中点，∴A4到原点距离为，
故答案为：5；．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意准确找出每一个点代表的有理数．
三、解答题
9．（2022·河北保定·二模）已知数轴上有两个点A：－3，B：1．
(1)求线段AB的长；
(2)若，且m<0；在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．
①求m与n；
②计算2m+n+mn；
【答案】(1)4
(2)①m=－2，n=6；②－10
【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算方法求解；
（2）①先根据m的绝对值及m的取值范围求出m值，再根据n与1的距离为5，求出n值；
②将①中的m、n的值代入代数式求值即可．
（1）
解：∵A点表示的数为－3，B点表示的数为1，
∴AB=1－（－3）=4．
（2）
解：①∵，且m<0，
∴m=－2，
∵在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n，
∴n=1+5=6．
②当m=－2，n=6时，
原式=2×（－2）+6+（－2）×6
=－4+6－12
=－10．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义及有理数混合运算等知识，掌握数轴上两点间距离计算方法（较大数减去较小数）是解题关键．
有
理
数
的
相
关
概
念
正数
大于0的数叫做正数
意义：表示具有相反意义的量
负数
在正数前面加上“－”号的数叫做负数
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
相反数
只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
（1）若a,b互为相反数，则a+b=0;
（2）0的相反数是0;
（3）在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.
绝对值
数轴上点a与原点的距离叫做a的绝对值，记作
绝对值具有非负性：
倒数
乘积为1的两个实数互为倒数
（1）ab=1⇔a,b互为倒数;
（2）0没有倒数;
（3）倒数等于它本身的数是1和-1.
科学计数法
把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式
有
理
数
的
运
算
加法
同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减失较小数的绝对值。
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。
减法
减去一个效等于加上这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。
乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负
n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
除法
两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数都得0
乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。
运算顺序
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）
技巧1 绝对值的八种常见应用
技巧2 有理数中的六种易错类型
【题型】一、有理数概念理解
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
【题型】三、求一个数的相反数
【题型】四、求一个数的绝对值
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
【题型】六、科学记数法
【考纲要求】
1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点一一对应．
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
【考点总结】一、有理数
【注意】
数轴
1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【考点总结】二、有理数四则运算
【注意】
1、有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
2、多个有理数相乘的法则及规律：
几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
【技巧归纳】
技巧1：绝对值的六种常见应用
【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；
【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数
2.若|a|＝2，则a＝________.
3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________.
【类型】三、 绝对值在求字母的取值范围中的应用
4．若|x|＝－x，则x的取值范围是________．
5．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是________．
【类型】四、绝对值在比较大小中的应用
6．把－(－1)，－eq \f(2,3)，－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))，0，用“>”连接正确的是( )
A．0>－(－1)>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))>－eq \f(2,3) B．0>－(－1)>－eq \f(2,3)>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))
C．－(－1)>0>－eq \f(2,3)>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))) D．－(－1)>0>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))>－eq \f(2,3)
【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用
7．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,3)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,4)))＝0，求a＋b－c的值．
【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用
8．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
(1)当a＝________时，|a－4|有最小值，此时最小值为________；
参考答案
1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8.
2．±2 3.±3
4.x≤0 5.x≤2
6.C
7．解：由题意知a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,4)，所以a＋b－c＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＝eq \f(7,12).
8．解：(1)4；0
(2)因为a，b互为相反数，所以b＝－a.又因为a＜0，b＞0.
所以|a－b|＋2a＋|b|＝|2a|＋2a＋|b|＝－2a＋2a＋b＝b.
技巧2： 有理数中的六种易错类型
【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误
1．下列说法正确的是( )
A．最小的正整数是0
B．－a是负数
C．符号不同的两个数互为相反数
D．－a的相反数是a
【类型】二、 误认为|a|＝a，忽略对字母a分情况讨论
2．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( )
A．负数 B．负数或零
C．正数或零 D．正数
【类型】三、对括号使用不当导致错误
3．计算：2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)＋\f(1,4)－\f(1,2))).
【类型】四、忽略或不清楚运算顺序
4．计算：－5－(－5)×eq \f(1,10)÷eq \f(1,10)×(－5)．
【类型】五、乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆
5．计算：－36×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)－\f(5,6)－1)).
【类型】六、除法没有分配律
6．计算：24÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,8)－\f(1,6))).
参考答案
1．D 2.C
3．解：原式＝2＋eq \f(1,5)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝2eq \f(9,20).
4．解：原式＝－5－(－5)×eq \f(1,10)×10×(－5)＝－30.
5．解：原式＝－36×eq \f(7,12)－(－36)×eq \f(5,6)－(－36)×1
＝－21＋30＋36
＝45.
6．解：原式＝24÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,24)－\f(3,24)－\f(4,24)))
＝24÷eq \f(1,24)
＝576.
方法指导：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中的错误，从而出现“原式＝24÷eq \f(1,3)－24÷eq \f(1,8)－24÷eq \f(1,6)＝72－192－144＝－264”这样的错误．
【题型讲解】
【题型】一、有理数概念理解
例1、在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断．
【详解】
解：∵＝3，＝4，
∴，，，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．
有理数有4个.
故选：D．
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
例2、如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【提示】根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3。故选：C
【点睛】
本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可．
【题型】三、求一个数的相反数
例3、下列式子中，正确的是（ ）
A．|﹣5|=﹣5 B．﹣|﹣5|=5 C．﹣（﹣5）=﹣5 D．﹣（﹣5）=5
【答案】D
【解析】
试题解析：A. |﹣5|=5，故原选项错误；
B. ﹣|﹣5|=-5，故原选项错误；
C. ﹣（﹣5）=5，故原选项错误；
D. ﹣（﹣5）=5，故正确.
故选D.
【题型】四、求一个数的绝对值
例4、的绝对值是（ ）
A．B．2020C．D．
【答案】B
【提示】根据绝对值的定义直接解答．
【详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|＝2020，故选：B．
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
例5、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）8；（2）-44；（3）；（4）
【提示】
（1）根据有理数的减法法则和加法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可；
（3）根据乘法分配律和各个运算法则计算即可；
（4）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=8
（2）
=
=
=
=-44
（3）
=
=
=
（4）
=
=
=
【题型】六、科学记数法
例6、2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解： 36000=，故选：C．
有理数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·浙江金华·一模）的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，直接求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决问题的关键．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）的绝对值等于（ ）
A．B．C．2D．－2
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：-的绝对值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
3．（2022·上海普陀·二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．
【详解】2到原点的距离是2个长度单位，
1到原点的距离是1个长度单位，
-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，
-3到原点的距离是3个长度单位，
即到原点的距离最远的点是﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．
4．（2022·重庆铜梁·一模）在下列四个选项中，比-1小的数是（ ）
A．1B．-2C．0D．2
【答案】B
【分析】根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
其中比小的数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
5．（2022·河南·三模）下列各数中绝对值最大的数是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小即可解答．
【详解】解：，，，，
∵，
∴绝对值最大的数是-4，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较以及绝对值的概念，解题的关键是求出各数的绝对值．
6．（2023·福建莆田·二模）中国工程院院士、世界杂交水稻之父袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，为中国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出杰出贡献．2021年，全国粮食再获丰收，全年粮食总产量达到13 657亿斤，粮食产量连续7年稳定在1.3万亿斤以上．将13 657用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数，据此解答．
【详解】解：13 657用科学计数法表示应为
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
7．（2022·河南·郑州外国语中学模拟预测）计算：______．
【答案】1
【分析】先计算出绝对值符号里面的结果，再求得此题结果即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握有理数的加法法则．
8．（2021·福建漳州·模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为1），则点C表示的数是________．
【答案】
【分析】根据数轴上表示的数互为相反数的性质：即到原点的距离相等，再由两点之间的距离确定出A表示的数，进而可得答案．
【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数，
∴A，B两点到原点的距离相等，
∵点A与点B之间的距离为6个单位长度，
∴点A到原点的距离为6÷2＝3，
∵点A在原点的左侧，
∴点A表示的数是-3，
∴点C表示的数是-1
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数的性质，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
三、解答题
9．计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
有理数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·河北邯郸·三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用去括号法则与正整数幂的概念判断即可．
【详解】解：对于A，，A错误，不符合题意；
对于B，，B错误，不符合题意；
对于C，，C正确，符合题意；
对于D，，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号法则，以及正整数幂的概念，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
2．（2022·河北保定·二模）嘉琪在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如，图1中表示的数为31，可知图2中表示的数为（ ）
A．42B．46C．86D．321
【答案】C
【分析】由题可知，可知图2中的五进制数为321，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：
图2中的五进制数为321，
化为十进制数为：321=3×52+2×51+1×50=86．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．
3．（2022·安徽·三模）下列各数中，化简结果最小的是（ ）
A．－5B．C．D．
【答案】A
【分析】分别计算绝对值，负整数指数幂，乘方运算，再比较各数的大小，从而可得答案．
【详解】解：
而
所以最小的数是
故选：A
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，负整数指数幂的含义，有理数的乘方运算，有理数的大小比较，掌握以上基础知识是解本题的关键．
4．（2022·贵州贵阳·三模）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4B．0C．4D．8
【答案】A
【分析】根据AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，可知A，B两点到原点的距离相等，进而可求出B点表示的数，进而可求出A点表示的数．
【详解】解：因为AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，
所以A，B两点到原点的距离相等，
则B点表示的数为：8÷2=4，
则A点表示的数为：﹣4，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的几何意义，数轴上两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
5．（2022·河北唐山·三模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
【点睛】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
6．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．B．﹣1﹣（﹣5）C．﹣（﹣）D．﹣2×0
【答案】A
【分析】先逐一计算，后作出判断即可．
【详解】解：∵ = -1，是负数，
∴A符合题意；
∵﹣1﹣（﹣5）=4，是正数，
∴B不符合题意；
∵﹣（﹣）=，是正数，
∴C不符合题意；
∵﹣2×0=0，既不是正数，也不是负数，
∴D不符合题意；
故选:A．
【点睛】本题考查了有理数的运算，负数，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·浙江宁波·一模）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则___________．
【答案】0
【分析】根据题意，[1.7]中不大于1.7的最大整数为1，（-1.7）中不小于-1.7的最小整数为-1，则可解答
【详解】解：依题意：[1.7]=1，（-1.7）=-1
∴
故答案为：0
【点睛】此题主要考查有理数大小的比较，读懂题意，即可解答．
8．（2022·河北石家庄·二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为 _____；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为 _____．
【答案】
【分析】因为A到原点距离为10，A1为OA的中点，可求出A1到原点距离为5，依次可求出A2、A3、A4到原点的距离．
【详解】解：由题意可知：
∵A到原点距离为10，且A1为OA的中点，∴A1到原点距离为5，
∵A2为OA1的中点，∴A2到原点距离为，
∵A3为OA2的中点，∴A3到原点距离为，
∵A4为OA3的中点，∴A4到原点距离为，
故答案为：5；．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意准确找出每一个点代表的有理数．
三、解答题
9．（2022·河北保定·二模）已知数轴上有两个点A：－3，B：1．
(1)求线段AB的长；
(2)若，且m<0；在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．
①求m与n；
②计算2m+n+mn；
【答案】(1)4
(2)①m=－2，n=6；②－10
【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算方法求解；
（2）①先根据m的绝对值及m的取值范围求出m值，再根据n与1的距离为5，求出n值；
②将①中的m、n的值代入代数式求值即可．
（1）
解：∵A点表示的数为－3，B点表示的数为1，
∴AB=1－（－3）=4．
（2）
解：①∵，且m<0，
∴m=－2，
∵在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n，
∴n=1+5=6．
②当m=－2，n=6时，
原式=2×（－2）+6+（－2）×6
=－4+6－12
=－10．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义及有理数混合运算等知识，掌握数轴上两点间距离计算方法（较大数减去较小数）是解题关键．
有
理
数
的
相
关
概
念
正数
大于0的数叫做正数
意义：表示具有相反意义的量
负数
在正数前面加上“－”号的数叫做负数
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
相反数
只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
（1）若a,b互为相反数，则a+b=0;
（2）0的相反数是0;
（3）在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.
绝对值
数轴上点a与原点的距离叫做a的绝对值，记作
绝对值具有非负性：
倒数
乘积为1的两个实数互为倒数
（1）ab=1⇔a,b互为倒数;
（2）0没有倒数;
（3）倒数等于它本身的数是1和-1.
科学计数法
把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式
有
理
数
的
运
算
加法
同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减失较小数的绝对值。
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。
减法
减去一个效等于加上这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。
乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负
n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
除法
两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数都得0
乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。
运算顺序
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）
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