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4.3 角 同步练习 2022-2023学年上学期河南省各地七年级数学期末试题选编(含答案)
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4.3 角 同步练习 一、单选题1．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）下列图中的也可以用表示的是（ ）A． B．C． D．2．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，上午8：20，钟表的时针与分针所成的角是（ ） A．120° B．125° C．130° D．135°3．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）钟表上8：30时，时针与分针形成的角度为（ ）A．75º B．60º C．45º D．30º4．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是（ ）A．北偏东55°，2km B．东北方向C．东偏北35°，2km D．北偏东35°，2km5．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）甲、乙两座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，则甲城市位于乙城市（ ）A．北偏西25°的方向上 B．北偏东25°的方向上C．北偏西65°的方向上 D．北偏东65°的方向上6．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）A． B． C． D．7．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ）A． B．C． D．没有量角器，无法确定8．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（ ） A． B． C． D．9．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小A．个 B．个 C．个 D．个10．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）如图，垂足为D，，下列结论正确的有（ ）（1）；（2）；（3）与互余；；（4）与互补．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）计算： °.12．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）计算： ， ．13．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，则 ．（填“＞”，“=”或“＜”）14．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）如果一个角α的度数为13°14′，那么关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为 ．15．（2022秋·河南南阳·七年级期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画10条不同的射线，可以画出 个锐角． 16．（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）已知，则∠A与∠B的关系是： ．17．（2022秋·河南周口·七年级期末）的余角是它的7倍，则 ．（写成“度、分、秒”的形式）18．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）一个角的度数是45°39'，则这个角的补角的度数是 ．三、解答题19．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）如图，小华在街心花园的步道上观看宣传画廓，他发现在点处观看效果最佳．(1)请测量，，，的度数，发现哪两个角近似相等？(2)请在步道上点的两边分别任意取一点，，画出，，测量，，的度数，并指出它们中的最大角．20．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）如图1，摆放一副三角尺，使得点在边上，将三角尺绕点旋转．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数；(3)当时，直接写出的度数（结果可用表示）．21．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线上，∴ ，∵，∴ ，，∴平分，∴ ，∵，，∴ ．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值．22．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）已知O是直线上一点，是直角，平分．(1)【初步尝试】如图（1），若，则的度数＝______；(2)【类比探究】在图（1）中，若，求度数；(3)【拓展运用】如图（2）的位置关系，探究与之间的数量关系，直接写出你的结论．23．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数．24．（2022秋·河南郑州·七年级期末）如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不与点重合），点分别是的中点． (1)若，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数．25．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数．小明做题时画出了如图2的图形，小静说“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”．请你完成以下问题：(1)写出小明的解答过程；(2)根据小静的想法，在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数．26．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．27．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．（1）如图，是的三分线，，若，则 ；（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．28．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，点在同一直线上，，是的平分线，且． (1)求的度数；(2)写出图中所有与互余的角是_______．29．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．(1)当时，求的度数；(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 参考答案：1．A【分析】如果顶点上只有一个角，可以用一个大写字母表示；如果不止一个角，就用三个大写字母表示，若∠1＝∠O，则选项正确．【详解】解：A中∠1＝∠O，正确，故符合要求；B中∠1＝∠AOB≠∠O，错误，故不符合要求；C中∠1＝∠AOC≠∠O，错误，故不符合要求；D中∠1＝∠BOC≠∠O，错误，故不符合要求；故选A．【点睛】本题考查了角的表示．解题的关键在于正确的表示角．2．C【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：8：20时，时针与分针相距4＋＝份，8：20时，时针与分针所夹的角是30°×＝130°，故选：C．【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．3．A【分析】由于钟面被分成个大格，每格为，而时，钟面上时针指向数字与的正中间，分针指向数字，可得时针与分针中间相差个大格，即可求得它们的夹角．【详解】解：∵的时候，钟面上时针指向数字与的正中间，分针指向数字，如图：∴观察图形可知，时针与分针相差个大格，每相邻两个大格的夹角为∴时针与分针所成的夹角为．故选：A【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角，能够得到时针与分针中间相差个大格是解题的关键．4．D【分析】根据方向角的定义解答即可．【详解】90°-55°=35°根据图形可得，少年宫在小明家的北偏东35°方向的2km处．故选：D．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．5．B【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【详解】解：∵乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，∴甲城市位于乙城市北偏东25°的方向上，故选：B．【点睛】本题考查了方向角的定义，理解定义是解题的关键6．B【分析】根据方位角的定义可得，，根据平角的定义计算即可．【详解】解：如图，由题意得：，，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了方位角，理解方位角的意义是正确解答的关键．7．B【分析】根据角的比较大小的方法进行比较即可．【详解】由题意可知，，∴．故选B．【点睛】本题考查角的大小比较，三角板的特点．熟练掌握比较方法是解题的关键．8．C【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数．【详解】解：，，，，．故选：C ．【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数．9．B【分析】（1）根据互余的两个角和为90°解题；（2）根据等角的补角相等解题；（3）将两个角相加，判断和是否等于90°即可解题；（4）设这个角为x，分别解得这个角的余角和补角，再求差即可．【详解】（1）如果互余的两个角的度数之比为，则这两个角分别为，故（1）错误；（2）根据等角的补角相等，故（2）错误；（3），与互余，故（3）正确；（4）设一个角为x，则它的余角为，它的补角为，故（4）正确，故正确的有（3）（4），共2个，故选：B．【点睛】本题考查余角、补角、互余、等角的补角相等等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．C【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论；【详解】∵，，∴，∴，∴，故（1）正确；同理可得，故（2）正确；∵，∴与互余，故（3）正确；∵＜，∴＜，∴与不互补，故（4）错误；故答案选C．【点睛】本题主要考查了余角和补角的知识点，准确分析判断是解题的关键．11．【分析】根据角度的计算，注意单位进率为60，进行计算即可得解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了角度的计算，熟练掌握度，分，秒的计算进率是解决本题的关键．12． 【分析】根据，，即可．【详解】∵∴；∵∴故答案为：；；；【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是掌握，．13．=【分析】作∠DNP，再作比较．【详解】解：如图，∠DNP=∠AOB，∠DNP=∠MPN，∴∠AOB=∠MPN，故答案为：=．【点睛】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的定义和网格的特点．14．76°46′【分析】将α的值代入一元一次方程，再解一元一次方程，即可解答．【详解】解：将α的值代入x的方程中，得：2×13°14′﹣x＝180°﹣3x，2x＝180°﹣2×13°14′，2x＝153°32′，x＝76.5°16′，x＝76°46′，关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为：x＝76°46′，故答案为：x＝76°46′．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．66【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题；【详解】∵在锐角内部，画 1 条射线，可得 个锐角在锐角内部，画 2 条射线，可得 个锐角在锐角内部，画 3 条射线，可得 个锐角∴从一个角的内部引出 条射线所得到的锐角的个数是∴画10条不同射线，可得锐角个数故答案为 66【点睛】考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是．16．互余【分析】根据和为的两个角互余即可得．【详解】解：因为，所以与的关系是互余，故答案为：互余．【点睛】本题考查了互余，熟记互余的定义是解题关键．17．【分析】设∠α=x°，则这个角的余角为（90-x）°，根据题意可得方程90-x=7x，再解方程即可求解．【详解】解：设∠α=x°，则这个角的余角为（90-x）°，根据题意可得方程90-x=7x，解得：x=11.25．∴11.25°=，故答案为：．【点睛】本题主要考查余角的定义，度分秒的换算，关键是区分清楚余角和补角的定义．“和为180°的两个角互为补角”，“和为90°的两个角互为余角”．18．134°21′【分析】关键补角的定义列出算式为180°-45°39′，再求出即可．【详解】解：∵角的度数是45°39'，∴这个角的补角的度数是180°-45°39′=134°21′，故答案为：134°21′．【点睛】本题考查了余角和补角等知识点，能熟记补角的定义是解此题的关键．19．(1)测量见解析，与近似相等,与近似相等，(2)见解析，最大的角是【分析】（1）使用量角器测量4个角即可求解;（2）根据题意画出，，然后测量角度即可求解．【详解】（1）解：如图所示，测量发现：，，，的度数分别约为∴与近似相等,与近似相等，（2）解：如图所示，测量，，的度数约为∴最大的角是．【点睛】本题考查了角的测量与大小比较，正确的测量角的大小是解题的关键．20．(1)或(2)或(3)或或或【分析】（1）分为两种情况，当OD在AB上方时；当OD在AB下方时，画出图形求解即可；（2）分为两种情况，当OD在AB上方时；当OD在AB下方时，画出图形求解即可；（3）综合考虑（1）（2）求解即可．【详解】（1）分为两种情况，当在上方时；如图2，∵，∴，∴，当OD在AB下方时；如图3∵，∴，∴．综上可知，的度数为或；（2）分为两种情况，当在上方时；如图4，∵，∴∴；当在下方时；如图5，∵，∴，∴；综上可知，的度数为或；（3）当是锐角时，如图2，∵，∴，∴；如图3，∵，∴，∴；当是钝角时，如图4，∵，∴，∴；如图5，∵，∴，∴；综上，的度数为或或或．【点睛】本题考查角度的和差计算，以及数形结合的能力，由图形得出角度之间的和差关系式解题关键．21．(1)180，140，70，160(2)正确，理由见解析，或(3)或【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可；（2）由题意，还有在的外部时的情况，根据平角定义求解即可；（3）由题意，，，分在的内部和在的外部，由求出即可．【详解】（1）解：∵点O在直线上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴，故答案为：180；140；70；160；（2）解：正确，理由如下：当在的外部时，如图所示： ∵点O在直线上，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，综上所述，或；（3）解：∵，，∴，，当在的内部时，如图， ∵，∴平分，∴，即∴，解得：；当在的外部时，如图， ∵，∴，∵，∴，解得：，综上，或．【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．22．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义求出，再根据求解即可；（2）先求出，再由角平分线的定义求出，再根据求解即可；（3）根据是直角，平分，可得，再由平角的定义可得，即可求解．【详解】（1）∵，，∴，∵平分，∴，∵是直角，即，∴，故答案为：；（2）∵，，∴，∵平分，∴，∵是直角，即，∴；（3）∵是直角，平分，∴，，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键．23．，【分析】根据角平分线的定义及角的和差，即可求解．【详解】解：，平分，，，，平分，，．【点睛】本题考查了角平分线的定义及角的和差，准确找到各角之间的关系是解决本题的关键．24．(1)(2)的长度不会发生变化，，理由见详解(3)的度数为【分析】（1）根据图示，可求出的长，根据中点可求出的长；（2）根据图示，可得的表达式，根据中点的性质，可得，根据线段的位置即可求解；（3）由（2）中线段的计算规律，可得，代入已知角的度数即可求解．【详解】（1）解：∵线段，，，∴（），∵点分别是的中点，∴，，∴（），故答案为：．（2）解：∵线段，，∴，∵点分别是的中点，∴，，∴，∴，∴，∴线段在线段上运动（点不与点重合）时，的长度不会发生变化，．（3）解：根据线段的规律可知，，∵，，∴，解得，，∴的度数为．【点睛】本题主要考查图形中线段，角度的和差倍分的计算，理解题意，掌握线段、角度的和差倍分的计算，中点、角平分线的性质等知识是解题的关键．25．(1)见解析(2)图见解析，【分析】（1）根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解；（2）画出另一种情况对应的图形，根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解．【详解】（1）因为平分，，∴．∵，∴（2）如图，∵OC平分，，∴，∵，∴【点睛】本题考查了角的计算，角的平分线的定义，解决本题的关键是掌握角的平分线．26．(1)或(2)或或或【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可；（2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可．【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得，或∵ ∴或故答案为： 或（2）①当OA在的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，或②当OB在的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，或此时，或综上，的度数为或或或．【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键．27．（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或【分析】（1）根据三分线的定义解答即可；（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；（3）根据四分线的定义分类解答即可．【详解】解：（1）∵是的三分线，，，∴，故答案为：；（2），是的四分线，，，为的三分线，①当时，，，②当时，，，综上所述，的度数为或，（3）∵射线、是的两条四分线，∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=,∠BOD=80°，∠COD=20°，α=30°-20°=10°；如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时，∠COD=∠BOC=15°，α=30°+15°=45°；如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时，∠COD=∠BOC=45°，α=30°+45°=75°；如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=,∠COD=80°，α=30°+80°=110°；的值为或或或【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．28．(1)(2)和【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据补角的定义得到；（2）根据余角的定义即可解答；【详解】（1）解：∵平分， ， ∴， ∵， ∴， ∵，∴．（2）解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴与互余的角是和,故答案为和．【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．29．(1)(2)，理由见详解【分析】（1），，可求出的度数，平分，可求出的度数，根据平角即可求解；（2），，由此即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵OB平分，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解图示中角度的数量关系，位置关系，互余、互补的运算是解题的关键．
4.3 角 同步练习 一、单选题1．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）下列图中的也可以用表示的是（ ）A． B．C． D．2．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，上午8：20，钟表的时针与分针所成的角是（ ） A．120° B．125° C．130° D．135°3．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）钟表上8：30时，时针与分针形成的角度为（ ）A．75º B．60º C．45º D．30º4．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是（ ）A．北偏东55°，2km B．东北方向C．东偏北35°，2km D．北偏东35°，2km5．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）甲、乙两座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，则甲城市位于乙城市（ ）A．北偏西25°的方向上 B．北偏东25°的方向上C．北偏西65°的方向上 D．北偏东65°的方向上6．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）A． B． C． D．7．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ）A． B．C． D．没有量角器，无法确定8．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（ ） A． B． C． D．9．（2022秋·河南漯河·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小A．个 B．个 C．个 D．个10．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）如图，垂足为D，，下列结论正确的有（ ）（1）；（2）；（3）与互余；；（4）与互补．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）计算： °.12．（2022秋·河南三门峡·七年级统考期末）计算： ， ．13．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，则 ．（填“＞”，“=”或“＜”）14．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期末）如果一个角α的度数为13°14′，那么关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为 ．15．（2022秋·河南南阳·七年级期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画10条不同的射线，可以画出 个锐角． 16．（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）已知，则∠A与∠B的关系是： ．17．（2022秋·河南周口·七年级期末）的余角是它的7倍，则 ．（写成“度、分、秒”的形式）18．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）一个角的度数是45°39'，则这个角的补角的度数是 ．三、解答题19．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）如图，小华在街心花园的步道上观看宣传画廓，他发现在点处观看效果最佳．(1)请测量，，，的度数，发现哪两个角近似相等？(2)请在步道上点的两边分别任意取一点，，画出，，测量，，的度数，并指出它们中的最大角．20．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）如图1，摆放一副三角尺，使得点在边上，将三角尺绕点旋转．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数；(3)当时，直接写出的度数（结果可用表示）．21．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线上，∴ ，∵，∴ ，，∴平分，∴ ，∵，，∴ ．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值．22．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）已知O是直线上一点，是直角，平分．(1)【初步尝试】如图（1），若，则的度数＝______；(2)【类比探究】在图（1）中，若，求度数；(3)【拓展运用】如图（2）的位置关系，探究与之间的数量关系，直接写出你的结论．23．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数．24．（2022秋·河南郑州·七年级期末）如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不与点重合），点分别是的中点． (1)若，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数．25．（2022秋·河南焦作·七年级统考期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数．小明做题时画出了如图2的图形，小静说“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”．请你完成以下问题：(1)写出小明的解答过程；(2)根据小静的想法，在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数．26．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．27．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．（1）如图，是的三分线，，若，则 ；（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．28．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，点在同一直线上，，是的平分线，且． (1)求的度数；(2)写出图中所有与互余的角是_______．29．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．(1)当时，求的度数；(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 参考答案：1．A【分析】如果顶点上只有一个角，可以用一个大写字母表示；如果不止一个角，就用三个大写字母表示，若∠1＝∠O，则选项正确．【详解】解：A中∠1＝∠O，正确，故符合要求；B中∠1＝∠AOB≠∠O，错误，故不符合要求；C中∠1＝∠AOC≠∠O，错误，故不符合要求；D中∠1＝∠BOC≠∠O，错误，故不符合要求；故选A．【点睛】本题考查了角的表示．解题的关键在于正确的表示角．2．C【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：8：20时，时针与分针相距4＋＝份，8：20时，时针与分针所夹的角是30°×＝130°，故选：C．【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．3．A【分析】由于钟面被分成个大格，每格为，而时，钟面上时针指向数字与的正中间，分针指向数字，可得时针与分针中间相差个大格，即可求得它们的夹角．【详解】解：∵的时候，钟面上时针指向数字与的正中间，分针指向数字，如图：∴观察图形可知，时针与分针相差个大格，每相邻两个大格的夹角为∴时针与分针所成的夹角为．故选：A【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角，能够得到时针与分针中间相差个大格是解题的关键．4．D【分析】根据方向角的定义解答即可．【详解】90°-55°=35°根据图形可得，少年宫在小明家的北偏东35°方向的2km处．故选：D．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．5．B【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【详解】解：∵乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，∴甲城市位于乙城市北偏东25°的方向上，故选：B．【点睛】本题考查了方向角的定义，理解定义是解题的关键6．B【分析】根据方位角的定义可得，，根据平角的定义计算即可．【详解】解：如图，由题意得：，，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了方位角，理解方位角的意义是正确解答的关键．7．B【分析】根据角的比较大小的方法进行比较即可．【详解】由题意可知，，∴．故选B．【点睛】本题考查角的大小比较，三角板的特点．熟练掌握比较方法是解题的关键．8．C【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数．【详解】解：，，，，．故选：C ．【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数．9．B【分析】（1）根据互余的两个角和为90°解题；（2）根据等角的补角相等解题；（3）将两个角相加，判断和是否等于90°即可解题；（4）设这个角为x，分别解得这个角的余角和补角，再求差即可．【详解】（1）如果互余的两个角的度数之比为，则这两个角分别为，故（1）错误；（2）根据等角的补角相等，故（2）错误；（3），与互余，故（3）正确；（4）设一个角为x，则它的余角为，它的补角为，故（4）正确，故正确的有（3）（4），共2个，故选：B．【点睛】本题考查余角、补角、互余、等角的补角相等等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．C【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论；【详解】∵，，∴，∴，∴，故（1）正确；同理可得，故（2）正确；∵，∴与互余，故（3）正确；∵＜，∴＜，∴与不互补，故（4）错误；故答案选C．【点睛】本题主要考查了余角和补角的知识点，准确分析判断是解题的关键．11．【分析】根据角度的计算，注意单位进率为60，进行计算即可得解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了角度的计算，熟练掌握度，分，秒的计算进率是解决本题的关键．12． 【分析】根据，，即可．【详解】∵∴；∵∴故答案为：；；；【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是掌握，．13．=【分析】作∠DNP，再作比较．【详解】解：如图，∠DNP=∠AOB，∠DNP=∠MPN，∴∠AOB=∠MPN，故答案为：=．【点睛】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的定义和网格的特点．14．76°46′【分析】将α的值代入一元一次方程，再解一元一次方程，即可解答．【详解】解：将α的值代入x的方程中，得：2×13°14′﹣x＝180°﹣3x，2x＝180°﹣2×13°14′，2x＝153°32′，x＝76.5°16′，x＝76°46′，关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为：x＝76°46′，故答案为：x＝76°46′．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．66【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题；【详解】∵在锐角内部，画 1 条射线，可得 个锐角在锐角内部，画 2 条射线，可得 个锐角在锐角内部，画 3 条射线，可得 个锐角∴从一个角的内部引出 条射线所得到的锐角的个数是∴画10条不同射线，可得锐角个数故答案为 66【点睛】考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是．16．互余【分析】根据和为的两个角互余即可得．【详解】解：因为，所以与的关系是互余，故答案为：互余．【点睛】本题考查了互余，熟记互余的定义是解题关键．17．【分析】设∠α=x°，则这个角的余角为（90-x）°，根据题意可得方程90-x=7x，再解方程即可求解．【详解】解：设∠α=x°，则这个角的余角为（90-x）°，根据题意可得方程90-x=7x，解得：x=11.25．∴11.25°=，故答案为：．【点睛】本题主要考查余角的定义，度分秒的换算，关键是区分清楚余角和补角的定义．“和为180°的两个角互为补角”，“和为90°的两个角互为余角”．18．134°21′【分析】关键补角的定义列出算式为180°-45°39′，再求出即可．【详解】解：∵角的度数是45°39'，∴这个角的补角的度数是180°-45°39′=134°21′，故答案为：134°21′．【点睛】本题考查了余角和补角等知识点，能熟记补角的定义是解此题的关键．19．(1)测量见解析，与近似相等,与近似相等，(2)见解析，最大的角是【分析】（1）使用量角器测量4个角即可求解;（2）根据题意画出，，然后测量角度即可求解．【详解】（1）解：如图所示，测量发现：，，，的度数分别约为∴与近似相等,与近似相等，（2）解：如图所示，测量，，的度数约为∴最大的角是．【点睛】本题考查了角的测量与大小比较，正确的测量角的大小是解题的关键．20．(1)或(2)或(3)或或或【分析】（1）分为两种情况，当OD在AB上方时；当OD在AB下方时，画出图形求解即可；（2）分为两种情况，当OD在AB上方时；当OD在AB下方时，画出图形求解即可；（3）综合考虑（1）（2）求解即可．【详解】（1）分为两种情况，当在上方时；如图2，∵，∴，∴，当OD在AB下方时；如图3∵，∴，∴．综上可知，的度数为或；（2）分为两种情况，当在上方时；如图4，∵，∴∴；当在下方时；如图5，∵，∴，∴；综上可知，的度数为或；（3）当是锐角时，如图2，∵，∴，∴；如图3，∵，∴，∴；当是钝角时，如图4，∵，∴，∴；如图5，∵，∴，∴；综上，的度数为或或或．【点睛】本题考查角度的和差计算，以及数形结合的能力，由图形得出角度之间的和差关系式解题关键．21．(1)180，140，70，160(2)正确，理由见解析，或(3)或【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可；（2）由题意，还有在的外部时的情况，根据平角定义求解即可；（3）由题意，，，分在的内部和在的外部，由求出即可．【详解】（1）解：∵点O在直线上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴，故答案为：180；140；70；160；（2）解：正确，理由如下：当在的外部时，如图所示： ∵点O在直线上，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，综上所述，或；（3）解：∵，，∴，，当在的内部时，如图， ∵，∴平分，∴，即∴，解得：；当在的外部时，如图， ∵，∴，∵，∴，解得：，综上，或．【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．22．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义求出，再根据求解即可；（2）先求出，再由角平分线的定义求出，再根据求解即可；（3）根据是直角，平分，可得，再由平角的定义可得，即可求解．【详解】（1）∵，，∴，∵平分，∴，∵是直角，即，∴，故答案为：；（2）∵，，∴，∵平分，∴，∵是直角，即，∴；（3）∵是直角，平分，∴，，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键．23．，【分析】根据角平分线的定义及角的和差，即可求解．【详解】解：，平分，，，，平分，，．【点睛】本题考查了角平分线的定义及角的和差，准确找到各角之间的关系是解决本题的关键．24．(1)(2)的长度不会发生变化，，理由见详解(3)的度数为【分析】（1）根据图示，可求出的长，根据中点可求出的长；（2）根据图示，可得的表达式，根据中点的性质，可得，根据线段的位置即可求解；（3）由（2）中线段的计算规律，可得，代入已知角的度数即可求解．【详解】（1）解：∵线段，，，∴（），∵点分别是的中点，∴，，∴（），故答案为：．（2）解：∵线段，，∴，∵点分别是的中点，∴，，∴，∴，∴，∴线段在线段上运动（点不与点重合）时，的长度不会发生变化，．（3）解：根据线段的规律可知，，∵，，∴，解得，，∴的度数为．【点睛】本题主要考查图形中线段，角度的和差倍分的计算，理解题意，掌握线段、角度的和差倍分的计算，中点、角平分线的性质等知识是解题的关键．25．(1)见解析(2)图见解析，【分析】（1）根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解；（2）画出另一种情况对应的图形，根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解．【详解】（1）因为平分，，∴．∵，∴（2）如图，∵OC平分，，∴，∵，∴【点睛】本题考查了角的计算，角的平分线的定义，解决本题的关键是掌握角的平分线．26．(1)或(2)或或或【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可；（2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可．【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得，或∵ ∴或故答案为： 或（2）①当OA在的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，或②当OB在的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，或此时，或综上，的度数为或或或．【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键．27．（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或【分析】（1）根据三分线的定义解答即可；（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；（3）根据四分线的定义分类解答即可．【详解】解：（1）∵是的三分线，，，∴，故答案为：；（2），是的四分线，，，为的三分线，①当时，，，②当时，，，综上所述，的度数为或，（3）∵射线、是的两条四分线，∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=,∠BOD=80°，∠COD=20°，α=30°-20°=10°；如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时，∠COD=∠BOC=15°，α=30°+15°=45°；如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时，∠COD=∠BOC=45°，α=30°+45°=75°；如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=,∠COD=80°，α=30°+80°=110°；的值为或或或【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．28．(1)(2)和【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据补角的定义得到；（2）根据余角的定义即可解答；【详解】（1）解：∵平分， ， ∴， ∵， ∴， ∵，∴．（2）解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴与互余的角是和,故答案为和．【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．29．(1)(2)，理由见详解【分析】（1），，可求出的度数，平分，可求出的度数，根据平角即可求解；（2），，由此即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵OB平分，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解图示中角度的数量关系，位置关系，互余、互补的运算是解题的关键．
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