七年级数学第三次月考（上海专用）（沪教版第9~10章）-2023-2024学年初中上学期第三次月考

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（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分
1．（2022秋•徐汇区期末）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．2B．﹣1C．0D．1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），
得2x+m﹣3＝3x﹣6
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，4+m﹣3＝0．
解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（2022秋•徐汇区期末）下列运算正确的是（ ）
A．4x6÷（2x2）＝2x3B．2x﹣2＝
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．
【分析】根据单项式的除法、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方以及分式的约分化简得出．
【解答】解：A、4x6÷（2x2）＝2x4，故本选项错误，
B、2x﹣2＝，故本选项错误，
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项正确，
D、＝a+b，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式的除法、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方以及分式的约分化简，熟练掌握运算法则是解题的关键，难度适中．
3．（2023秋•浦东新区期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣5x+3＝x（x﹣5）+3
B．（x﹣2）（x+5）＝x2+3x﹣10
C．（2x+3）2＝4x2+12x+9
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
【解答】解：A、x2﹣5x+3＝x（x﹣5）+3，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、（x﹣2）（x+5）＝x2+3x﹣10，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、（2x+3）2＝4x2+12x+9，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，是因式分解，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解．注意区分整式乘法和因式分解，这是易混点．
4．（2022秋•上海期末）分式中，当x和y分别扩大3倍时，分式的值（ ）
A．扩大9倍B．扩大6倍C．扩大3倍D．不变
【分析】根据分式的基本性质化简即可．
【解答】解：
＝
＝
＝4，
∴分式的值扩大3倍，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（2023秋•浦东新区期中）在代数式0，，，，3x2﹣7x，中，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据单项式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：在代数式0，，，，3x2﹣7x，中，单项式有：0，，，共有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
6．（2022秋•浦东新区校级期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【解答】解：A、原式＝＝x+2，不符合题意；
B、原式＝＝，不符合题意；
C、原式＝＝x+y，不符合题意；
D、原式为最简分式，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
二．填空题（本大题共12小题，每空2分，满分24分）
7．（2023秋•静安区月考）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝ 3x（x2﹣3x﹣1） ．
【分析】提取公因式后即可因式分解．
【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x
＝3x（x2﹣3x﹣1），
故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．
8．（2023秋•闵行区校级月考）如果x2y﹣2x3+myn﹣2﹣xy3﹣2y是五次多项式，那么m+n的值是 4 ．
【分析】根据x2y﹣2x3+myn﹣2﹣xy3﹣2y是五次多项式，可以得到3+m+n﹣2＝5，从而可以求得m+n的值．
【解答】解：∵x2y﹣2x3+myn﹣2﹣xy3﹣2y是五次多项式，
∴3+m+n﹣2＝5，
解得，m+n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查多项式，解答本题的关键是明确多项式的定义．
9．（2023秋•宝山区校级月考）已知：3m＝a，3n＝b，则3m+n＝ ab ．
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算法则计算．
【解答】解：∵3m＝a，3n＝b，
∴3m+n＝3m•3n＝ab，
故答案为：ab．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
10．（2023秋•徐汇区月考）方程组的解是 ．
【分析】由①+②×2得，求出x＝6，再把x＝6代入①得y＝12，然后检验即可．
【解答】解：，
①+②×2得：＝2，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：y＝12，
经检验，是原方程组的解，
∴方程组的解为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程组的解法等知识，熟练的利用整体思想解方程组是解本题的关键．
11．（2023秋•闵行区校级月考）若xm+n＝24，xm＝8，则x3n＝ 27 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对已知条件进行整理，可求得xn的值，再利用幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解析：∵xm+n＝24，xm＝8，
∴xn＝xm+n÷xm＝24÷8＝3，
∴x3n＝（xn）3＝33＝27．
故答案为：27．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．（2023秋•宝山区校级月考）如图，阴影部分图形的面积为 2ab ．（用含有a、b的代数式表示）
【分析】用大正方形的面积减去空白部分拼成的两个小正方形的面积即可得．
【解答】解：阴影部分的图形的面积为（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，
故答案为：2ab．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握割补法求面积的方法和代数式书写规范．
13．（2023秋•闵行区校级月考）当x＝﹣3时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为7，那么当x＝3时，代数式的值是 ﹣17 ．
【分析】把x＝﹣3代入代数式得到﹣243a﹣27b﹣3c＝12，把x＝3代入代数式得到35a+33b+3c﹣5＝243a+27b+3c﹣5＝﹣（﹣243a﹣27b﹣3c）﹣5，由﹣243a﹣27b﹣3c＝12即可求解．
【解答】解：由题知，当x＝﹣3时，原式＝a（﹣3）5+b（﹣3）3﹣3c﹣5＝﹣243a﹣27b﹣3c﹣5＝7
∴﹣243a﹣27b﹣3c＝12，
当x＝3时，原式＝35a+33b+3c﹣5＝243a+27b+3c﹣5＝﹣（﹣243a﹣27b﹣3c）﹣5＝﹣12﹣5＝﹣17．
故答案为：﹣17．
【点评】本题主要考查代数式的求值，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先把x的值代入代数式，从题设中获取代数式﹣243a﹣27b﹣3c的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
14．（2023春•长宁区校级月考）若实数x满足，那么＝ ．
【分析】先将原方程化为，再令，进一步将原方程化为，解方程求出y的值，即可得到，即可求出原式的值．
【解答】解：∵，
∴，
令，则原方程为，
整理得：2y2﹣3y﹣5＝0，
解得：，y2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法．
15．（2023秋•徐汇区月考）解关于x的方程时，如果设＝y，那么原方程变形为关于y的整式方程是 2y2﹣7y+6＝0 ．
【分析】如果设，则，代入进一步整理即可．
【解答】解：已知方程，如果设，则原方程为，
整理得2y2﹣7y+6＝0．
故答案为：2y2﹣7y+6＝0．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．
16．（2023春•长宁区校级月考）已知关于x的方程有增根，那么k＝ ．
【分析】先去分母得1＝k（x+2），再把增根x＝±2代入即可求得k值．
【解答】解：，
去分母得：1＝k（x+2），
由分式方程有增根，得到x2﹣4＝0，即x＝±2，
把x＝2代入整式方程1＝k（x+2），
解得．
把x＝﹣2代入整式方程1＝k（x+2），
无解．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法．
17．（2022秋•静安区期中）已知＝+，则实数A＝ 1 ．
【分析】先计算出+＝，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得．
【解答】解：+
＝+
＝，
∵＝+，
∴，
解得：，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则，并根据题意得出关于A、B的方程组．
18．（2023秋•普陀区校级期中）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是： x＝n+3或x＝n+4 ．
【分析】首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+＝a+b的根为：x＝a或x＝b，然后将x+＝2n+4化为（x﹣3）+＝n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．
【解答】解：∵由①得，方程的根为：x＝1或x＝2，
由②得，方程的根为：x＝2或x＝3，
由③得，方程的根为：x＝3或x＝4，
∴方程x+＝a+b的根为：x＝a或x＝b，
∴x+＝2n+4可化为（x﹣3）+＝n+（n+1），
∴此方程的根为：x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，
即x＝n+3或x＝n+4．
故答案为：x＝n+3或x＝n+4．
【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+＝a+b的根为：x＝a或x＝b是解此题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，19-23题5分，24-25每题6分，26-28每题7分满分58分）
19．（2023秋•闵行区校级月考）计算：2（a+1）2﹣（2a﹣3）（2a+3）
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式展开，再去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）﹣[（2a）2﹣32]
＝2a2+4a+2﹣4a2+9
＝﹣2a2+4a+11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
20．（2023秋•宝山区校级月考）．
【分析】先进行幂的乘方运算，然后合并同类项即可得出答案．
【解答】解：原式＝x6+x6﹣x6＝x6．
【点评】本题考查了幂的乘方运算，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则及合并同类项的法则．
21．（2023春•长宁区校级月考）解方程：．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，最后再检验即可．
【解答】解：，
，
方程两边同时乘以（2+x）（2﹣x）得：
2（2+x）﹣（5x﹣2）＝4﹣x2，
化简，得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x＝1或x＝2，
检验：把x＝1代入（2+x）（2﹣x）≠0，
把x＝2代入（2+x）（2﹣x）＝0，
∴原方程的解是x＝1．
【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的基本步骤是解答本题的关键．解分式方程的检验是解答本题的易错点．
22．（2023秋•闵行区校级月考）已知A＝﹣a2+3b﹣2，B＝2a2﹣b，求多项式C，使2A+2C＝B．
【分析】把A，B代入2A+2C＝B中，去括号合并确定出C即可；
【解答】解：∵2A+2C＝B，
∴C＝（B﹣2A）＝B﹣A＝（2a2﹣b）﹣（﹣a2+3b﹣2）＝a2﹣b+a2﹣3b+2＝2a2﹣+2．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2023秋•普陀区校级期中）先化简：，然后从﹣1＜x＜3挑选一个合适的整数代入求值．
【分析】先化简，取x＝2代入求解即可．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝，
∵x≠±1，0，
取x＝2时，原式＝＝4．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．
24．（2022秋•青浦区校级期末）已知：x+x﹣1﹣3＝0，求的值．
【分析】利用负整数指数幂将原式变形为，运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2两边平方，化简即可求值．
【解答】解：∵x+x﹣1﹣3＝0，
∴，
∴，
∴x2+2x•+（）2＝9，
∴，
即：．
【点评】本题主要考查负整数指数幂、完全平方公式及整体代入法；掌握负整数指数幂、熟练运用公式是解题的关键．
25．（2023秋•静安区校级月考）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2﹣5x﹣6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2+7x+6．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可；
【解答】解：（1）∵（2x﹣a）•（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab，
∴2b﹣3a＝﹣5①，
∵（2x+a）•（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab，
∴2b+a＝7②，
由①和②组成方程组：，
解得：；
（2）（2x+3）•（3x+2）＝6x2+13x+6．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
26．（2023秋•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为S1；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为S3．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求S3的值．
【分析】（1）根据大正方形减小正方形面积求出阴影部分面积即可；
（2）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可；
（3）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可；
【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝（S1+S2）＝×30＝15．
【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
27．（2022秋•宝山区校级期末）阅读下列材料：分式可以化为分母分别为x与x+2且分子都是常数的两个分式的和．为解决这个问题，可设＝+（A、B为常数），由+＝，可得＝，由此可得解得所以＝+，像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将化为分母分别为3x+5与2x﹣1且分子都是常数的两个分式的和．
【分析】根据待定系数法即可求出答案．
【解答】解：设＝+，
∵+＝，
∴＝，
∴，
解得，
∴＝+．
【点评】本题考查了分式的加减，解二元一次方程组，正确理解题目中的待定系数法和计算是关键．
28．（2023秋•闵行区校级月考）发现与探索
你能求（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝ x2020﹣1 ．
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）32019+32018+32017+…+3+1；
（2）（﹣3）50+（﹣3）49+（﹣3）48+…+（﹣3）．
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（1）原式变形后，利用得出的规律计算即可求出值；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可求出值．
【解答】解：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝x2020﹣1；
故答案为：x2020﹣1；
（1）原式＝（3﹣1）（32019+32018+32017+…+3+1）×＝（32020﹣1）；
（2）原式＝（﹣3﹣1）[（﹣3）50+（﹣3）49+（﹣3）48+…（﹣3）+1]×（﹣）﹣1
＝﹣×[（﹣3）51﹣1]﹣1
＝+﹣1
＝．
【点评】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．