江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第 Ⅰ 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得且，
故函数的定义域为.
故选：C.
2. 下列各组表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，对应法则不同，BD选项，定义域不同，C选项，定义域和对应关系相同.
【详解】A选项，，故不是同一函数，A错误；
B选项，的定义域为R，的定义域为，
故不是同一函数，B错误；
C选项，，且的定义域都为，故是同一函数，C正确；
D选项，的定义域为R，的定义域为，D错误.
故选：C
3. 已知函数，则=（ ）
A. 1B. 3C. -3D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】计算出，从而求出.
【详解】，.
故选：B
4. “”是 “”的（ ）条件
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式性质可判断充分性，举反例可判断必要性.
【详解】由不等式性质可知，若，则有，
取，显然，但不满足，
所以“”是 “”的充分不必要条件.
故选：B
5. 已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
则，解得，即实数的取值范围为.
故选：.
6. 函数的图象大致是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解.
【详解】函数的定义域为，
，所以函数为偶函数，C,D错误；
又因为，
当时，，；
当时，；
当时，，，故A错误，B满足题意；
故选:B.
7. 设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的单调性，由可得，分、两种情况讨论，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】对任意的、，有，
不妨设，则，，则，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数为偶函数，则该函数在上为减函数，
因为，则，
由知，
当时，，可得；
当时，，可得，
所以，不等式的解集为.
故选：D.
8. 任何正实数N可以表示成，此时，则在小数点后第（ ）位开始出现非零数字？（参考数据：）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】计算的值,由此确定的位数.
【详解】
在小数点后第7位开始出现非零数字.
故选：D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，若，，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意可得且，再根据不等式的性质判断即可.
【详解】因为，，，
所以且，则，故A、C正确；
所以，所以，故D正确；
当，时满足且，但是，故B错误；
故选：ACD
10. 设函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 是偶函数D. 是偶函数
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，
对于A选项，设，则该函数的定义域为，
，
所以，函数不是奇函数，A错；
对于B选项，令，则该函数的定义域为，
，
所以，函数是偶函数，B对；
对于C选项，令，则该函数的定义域为，
，
所以，函数为奇函数，C错；
对于D选项，令，则该函数的定义域为，
，
所以，是偶函数，D对.
故选：BD.
11. 下列选项中正确的有（ ）
A. 若集合，且，则实数的取值所组成的集合是.
B. 若不等式的解集为，则不等式的解集为.
C. 已知函数的定义域是，则的定义域是.
D. 已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用分类讨论思想，建立方程，可得答案；对于B，根据一元二次不等式与方程的关系，利用韦达定理，可得答案；对于C，根据函数定义域的定义，建立不等式，可得答案；对于D，根据一元二次方程的根的判别式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】对于A，当时，方程无解，则；
当时，由方程，解得，可得或，解得或，
综上所述，解集为，故A错误；
对于B，由题意可知：方程的解为，且，
由韦达定理可得，，则，，
解得，，
则不等式为
由，则不等式变为，解得，故B正确；
对于C，由题意可得，则，所以函数的定义域为，
对于函数，则，解得，所以其定义域为，故C正确；
对于D，由题意可得，解得或，
设，其对称轴为，则，解得，
，，解得，
综上所述，的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知定义在上的函数满足：，且当时，，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 在上为减函数
C. 在上有唯一的零点
D. 若方程有4个不同的解，且，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意作出函数图象，借助数形结合求解即可.
【详解】由知函数的图象关于直线对称，当且时，，作出函数的图象如下：

由图象知，的值域为，故选项A正确；在上为增函数，故选项B错误；是在上的唯一零点，故选项C正确；
对于选项D，作出函数的图象如图所示，要使方程有4个不同的解，则.
因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象也关于直线对称，所以.由得，其关于直线的对称值为，故，所以，故选项D错误.
故答案为：AC.
【点睛】关键点点睛：判断选项A,B,C关键是作出函数的图象，因为的图象关于关于直线对称，所以只需分析并作出时的函数图象再关于直线对称即可；判断D选项的关键是数形结合和确定的取值范围，先求解在上的根，再根据对称性变换即可.
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是_____.
【答案】或
【解析】
【分析】分析可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，使得”是真命题，
则，解得或，
因此，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
14. 函数的值域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，转化为二次函数求值域.
【详解】换元法：
令，则，
所以，
所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以，
所以函数的值域为，即函数的值域是，
故答案为: .
15. 若实数满足，且，则实数值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】现结合指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解
【详解】由可得，又，即
，求得
故答案为：
【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题
16. 已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得.后确定最小值，通过讨论确定函数的单调性进而确定最小值，计算即可得答案.
【详解】因为函数，，若，，使得，
所以，
，令，
因为，所以，
因为在上单调递减，所以在上的最小值为，
的对称轴为，
当时，即，在区间上单调递增，
所以的最小值为，所以，解得；
当时，即，在区间上单调递减，
所以的最小值为，所以，解得；
当时，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为，因为成立，所以；
综上所诉：的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质、根式的运算性质以及对数恒等式计算可得出所求代数式的值；
（2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
18. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2），，若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）求出集合，分析可知，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，集合，
则或，
又因为，故.
【小问2详解】
因为，则，则，
所以，，
因为是的必要且不充分条件，则，
所以，，解得
当时，，满足，
当时，，满足，
综上所述，.
19. 已知.
（1）求的最小值
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用对数运算得到，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解；
（2）法一：利用换元法，结合基本不等式即可得解；
法二：用表示，再利用配凑法，结合基本不等式即可得解.
【小问1详解】
由得，即，
，则，
因为，所以，
当且仅当，即时取得“=”，
所以的最小值为.
【小问2详解】
法一：
令，则，，
故由可得，整理得，
，
当且仅当，即，即时取“=”，
所以的最小值为2.
法二：
由可得，又，
，
当且仅当，即时取得“=”，
所以的最小值为2.
20. 从以下三个条件中任意选择一个条件，“①设是奇函数，是偶函数，且；②已知；③若是定义在上的偶函数，当时，”，并解答问题：（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
（1）求函数的解析式；
（2）判断并用定义证明函数在上的单调性；
（3）当时，函数满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）条件选择见解析，答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）选①，根据函数奇偶性的定义可得出关于、的方程组，即可解得函数的解析式；
选②，由，得出，即可解出函数的解析式；
选③，由，得，可求出的表达式，再利用偶函数的性质可求出函数在时解析式，即可得出函数的解析式；
（2）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义即可证得结论成立；
（3）利用函数在区间上的单调性，以及，即可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：若选①，因为是奇函数，是偶函数，
所以可得，
所以，，解得；
若选②，因为，则，
联立方程组，解得；
若选③，因为是定义在上的偶函数，
当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的偶函数，
当时，，
综上所述，.
【小问2详解】
证明：由（1）可知，当时，，且函数在上单调递增，
任取、且，即，则，，
则
，
所以，，故函数在上单调递增.
【小问3详解】
解：由（2）可知，函数在上单调递增，
当时，函数满足，
则，解得，
所以，实数的取值范围是.
21. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可的，将代入函数解析式，求出的值，
（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：由题意，得，
将代入，得：，得，
故.
【小问2详解】
解：因为，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为.
22. 设为实数，函数.
（1）当时，判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）若在区间上为增函数，求的取值范围；
（3）求在上的最大值.
【答案】22. 奇函数，理由见解析；
23. ；
24. 当时，；当时，；
当时，；当时，.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性定义进行判断；
（2）将写成分段函数并得到单调递增区间，再根据在上为增函数，列出不等式组进行求解；
（3）分类讨论情况下在上的最大值.
【小问1详解】
是R上的奇函数，理由如下：
定义域为R，
当时，，
所以为R上的奇函数.
【小问2详解】

当时，对称轴为，时，对称轴为
则在上减函数，上为增函数，上为减函数
因为在区间上为增函数，所以，解得，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）知在上为减函数，上为增函数，上为减函数
当即时，；
当即时，；
当即时，；
当时，.
综上，当时，；当时，；
当时，；当时，.