2023年北京高考数学真题（原卷版）

这是一份2023年北京高考数学真题（原卷版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A B.
C. D.
3. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 的展开式中的系数为（ ）．
A. B. C. 40D. 80
6. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A. B.
C D.
10 已知数列满足，则（ ）
A. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知函数，则____________．
12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
15. 设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图，在三棱锥中，平面，．

（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
17. 设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
20. 设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
21. 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足 使得．
时段
价格变化
第1天到第20天
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第21天到第40天
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