北师大版九年级数学下册 专题3.29 《圆》中的切线证明专题（专项练习）（附答案）

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(2)求AD的长．
2．如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求的半径．
（3）连接，求的长．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，CD∥AO，
求证：AC是⊙O的切线．
5．如图，是的直径，延长至点，，，点是上一点，延长交于点，连结、，且．
（1）求证：是的切线．
（2）求的长度．（结果保留）
6．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
8．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
9．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长．
12．如图，AB为的直径，弦，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且．
（1）求证：直线BF是的切线；
（2）若，，求的半径．
13．如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点,使,交于.
（1）求证：是的切线；
（2）求证：.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC为⊙O的切线．
15．如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）填空：
①当，时，则___________．
②连接，当的度数为________时，四边形为正方形．
16．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
17．如图，AB是⊙O的直径，于点B，连接OC交⊙O于点E，弦，弦于点G．
（1）求证：点E是弧BD的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若，⊙O的半径为5，求弦DF的长．
18．如图，在中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
19．如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOB=120∘，连接PB．
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是O的切线．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．
（1）证明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．
21．如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点E，∠A＝120°，∠C＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝6，求BC的长．
（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为 ．
22．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝NE＝3．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度．
24．在中，，以为直径的圆交于，交于.过点的切线交的延长线于．求证：是的切线．
25．如图，已知是的直径，，连接，弦，直线交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求线段的长．
26．如图，四边形OABC中，．OA=OC， BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作☉O
(1)求证：BC是☉O的切线:
(2)连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与此的延长线交于点F若．
①补全图形；
②求证：OF=OB．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．
28．如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
29．如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．
（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．
参考答案
1．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论．
（2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案．
（1）证明：和是所对圆周角，
；
AB是圆的直径，
，
在中，，
，
，
，
，AE是⊙O的切线．
（2）如图：
AB是圆的直径，DC平分∠ACB，
，，
，
，是直角三角形；
，，
．
【点拨】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
2．（1）证明见解析；（2）圆的半径为；（3）．
【分析】
（1）由已知角相等、对顶角相等，根据三角形内角和180°得到，即可解题；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则OD=8-r，利用勾股定理列出关于方程的解得到r的值，即为圆的半径；
（3）延长、相交于点，根据切线的性质及角平分线的性质，证明，继而解读BF的长，再由勾股定理解题即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：
解得：，则圆的半径为．
（3）延长、相交于点
与都为的切线，
平分
又
，
在中，
【点拨】本题考查切线的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（1）详见解析；（2）4
【分析】
（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求．
（1）证明：连接OE．
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEA＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
∵OH⊥BF，
．
∴四边形OECH为矩形，
∴OH＝CE．
∵，BF＝6，
∴BH＝3．
在Rt△BHO中，OB＝5，
∴OH＝＝4，
∴CE＝4．
【点拨】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
4．证明见解析．
【分析】
连接OC，先根据题意得出∠ABO=90°，然后再证明△AOB≌△AOC即可
证明：如图：连接OC.

∵BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B
∴AB丄OB，即∠ABO=90°.
∵CD∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠AOC.
∵OC=OD，∴∠CDO=∠DCO,
∴∠AOB=∠AOC.
又OA=OA，OB=DC,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠ACO=∠ABO=90°
故AC是⊙O的切线.
【点拨】此题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
5．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连结，证明，得到，再证明，得到，故可求解；
（2）求出，再根据弧长公式即可求解．
（1）证明：如图，连结．
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，，．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点拨】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知弧长公式的应用．
6．（1）见解析；（2）AD＝．
【分析】
（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．
（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°．
∴∠BEC＝90°，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠AOE＝60°，
∴∠COD＝∠AOE＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OC＝2
在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝．
∴AD＝＝．
【点睛】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质以及与圆有关的位置关系 ．
7．（1）证明见解析；（2）6．
证明：试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．
考点：切线的判定与性质．
8．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．
证明：解：（1）连结OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CFA=∠DFO，
∴∠CAF=∠DFO，
而OA=OD，
∴∠OAD=∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵圆的半径R=5，EF=3，
∴OF=2，
在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，
∴DF=．
【点拨】本题考查切线的判定．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析
【分析】
（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝AB＝2，则EH＝AH−AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝，由一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，即可得出结论．
（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝＝＝1，∴OB＝＝＝，
即⊙O的半径为，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
【点拨】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
（1）证明：连接OD，
∵，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．
【点拨】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键．
11．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，由OA＝OC可以得到∠OAC＝∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC＝∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；
（2）连接BC，∠BAC＝30°，在Rt△ABC中可求得AC，同理在Rt△ACD中求得CD．
（1）证明：连接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．
∵∠CAD＝30°
∴
【点拨】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用含特殊角度的直角三角形求得边长即可解决问题．
12．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）利用圆周角定理得到．则，根据平行线的判定得，然后根据平行线的性质得，最后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）连接，如图，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理觉得即可．
（1）证明：，
而．
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）解：连接，如图，
，
，
在中，，
即的半径为2．
【点拨】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和垂径定理．解题关键是综合运用定理进行推理的能力，题目比较典型，是一道综合性比较强的题目．
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得AE是⊙O的切线；
（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．
（1）证明：连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
14．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．
（1）证明：如图所示，⊙O即为所求；
（2）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC．
又∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
【点拨】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
15．（1）详见解析；（2）①10；②
【分析】
（1）连接OD，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）①利用等腰三角形的性质证明E是AC中点，再利用中位线定理得到，再用勾股定理求出OE，从而得到BC；
②添加条件，先通过四个边相等的四边形是菱形，证明四边形AODE是菱形，再加上一个直角就是正方形了．
（1）证明：如图，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，OD是半径，
∴DE是的切线；
（2）①证明：∵，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即E是AC中点，
∵O是AB中点，
∴，
在中，，
∴BC=2OE=10，
故答案是：10；
②当时，四边形AODE为正方形，
证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
由（2）得AO=AE，
∵AO=DO=AE=DE，
∴四边形AODE是菱形，
∵，
∴四边形AODE是正方形，
故答案是：．
【点拨】本题考查切线的证明，三角形中位线定理，正方形的证明，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理并结合题目条件进行证明．
16．（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．
【分析】
（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=，
∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，
∴，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）连接OD，由同圆半径相等和平行线性质证明可证E是弧BD的中点；
（2）先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
（3）连接BD，先根据垂径定理得到DG=FG，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则可根据勾股定理计算出BD，然后利用面积法计算出DG，从而得到DF的长．
（1）证明：连接OD，
如图
∵，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
∴ =
∴点E为弧BD的中点
（2）证明：∵在与中，

∴，
∴，
∴CD为⊙О的切线．
（3）∵，∴．
设，则，
在和中，
由勾股定理得：

，
解得：．
∴
∴
【点拨】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理和垂径定理．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得．
（1）证明：如图，连接OD，
∵，
∴，
∵，
，
，
又，
，
∴，即，
∵点D在上，即OD为的半径，
∴DE是的切线；
（2）如图，过点O作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
则阴影部分的面积为．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
19．（1）2；（2）见解析
【分析】
（1）由OA=OB，弦AB⊥OC，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．
（1）证明：∵OA=OB，弦AB⊥OC，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=2；
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60∘，
∴∠CBP=30∘，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90∘，
∴OB⊥BP，
∵点B在O上，
∴PB是O的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
20．（1）见解析；（2）BC的长为4
【分析】
（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）过点O作OK⊥AC，证得四边形OKED为矩形，AK=KC，得出EK=OD=3，由勾股定理可求出答案．
（1）证明：如图1，连接OD．
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线
（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，
∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，
∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，
∴EK＝OD＝3，
∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AC＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2 ，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
答：BC的长为4．
【点拨】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）连接、，根据圆内接四边形的性质得到，求得，又点在上，于是得到结论；
（2）由（1）知：又，设为，则为，根据勾股定理即可得到结论；
（3）连接BD，OA，根据已知条件推出当四边形ABOD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大，当OA⊥BD时，四边形ABOD的面积最大，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．
（1）证明：连接、，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，又点在上，
是的切线；
（2）由（1）知：又，
，
设为，则为，
在中，，
即，
，
又，
，
；
（3）连接，，
，
，
，
，，，
，
，
，
当四边形的面积最大时，四边形的面积最大，
当时，四边形的面积最大，
四边形的最大面积，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的综合题，切线的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（1）详见解析；（2）﹣．
【分析】
（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PAB=90°，再根据垂径定理得到CD=AD，则OD垂直平分AC，所以PA=PC，利用等腰三角形的性质得到∠OCA+∠PCA=∠OAC+∠PAC=90°，然后根据切线的判定方法可判断PC是⊙O的切线；
（2）先证明△OBC为等边三角形得到∠BOC=60°，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△OCE-S扇形BOC进行计算．
（1）证明：如图，连接OC，

∵PA为⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAB＝90°，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD，
∴OD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，
而OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA+∠PCA＝∠OAC+∠PAC＝90°，即∠POC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴CE＝OC＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形BOC
＝×1×﹣
＝﹣．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．
23．（1）见解析；（2）AB＝．
【分析】
（1）先由垂径定理得AB⊥MN，再由平行线的性质得BC⊥AB，然后由切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2=32+（4-r）2，解方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．
（1）证明：∵ME＝NE＝3，
∴AB⊥MN，
又∵MN∥BC，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，
设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．
【点拨】本题考查了切线的判定定理、垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键．
24．证明见解析．
【分析】
连接OE，由OB=OD和AB=AC可得，则OF∥AC，可得，由圆周角定理和等量代换可得，由SAS证得，从而得到，即可证得结论．
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴，则，
∴，
∴，即，
在和中，
∵，
∴，
∴
∵是的切线，则，
∴，
∴，则，
∴是的切线．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的性质和判定、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，通过证明△COD≌△COB得到即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质，在结合平行线分线段成比例的性质，即可求解
（1）证明：如图，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴，
∴.
∵，，
在和中
∴，
∴.
又∵点在的切线.
∴是的切线.
（2）∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵的半径为2，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了圆切线的判定，以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握圆切线的判定定理是解题关键．
26．(1)证明见解析（2）①图见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；
（2）①根据题意画出图形；
②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
（1）证明：如图1，连接AC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠OAC＋∠BCA＝∠OCA＋∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）①解：补全图形如图2；
②证明：∵∠OAB＝90°，
∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，
∴BA＝BC，
∵BA＝BC，OA＝OC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴，
∵，
∴=,
∴∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，
∴∠OBF＝∠F＝30°，
∴OF＝OB．
【点拨】本题考查的是切线的判定、垂径定理、切线长定理的应用，掌握切线的判定定理、圆心角和弧之间的关系定理是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）正方形，理由见解析
【分析】
（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到∠CDB＝90°，E为中点，可得到ED＝CE，再利用角的和差可求得∠ODE＝90°，可得DE为切线；
（2）由条件可得∠ODA＝∠A＝45°，可求得∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD，可知四边形ODEC为正方形．
（1）证明：如图，连接OD、CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∵E为BC的中点，
∴DE＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠OCD+∠ECD＝∠ODC+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
即OD⊥DE，
又∵D在圆O上，
∴DE与圆O相切；
（2）若AC＝BC，四边形ODEC为正方形，
理由：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝45°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝90°，
∵四边形ODEC中，∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD，
∴四边形ODEC为正方形．
【点拨】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明OD⊥DE以及∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，OC＝OD．
28．（1）是的切线；理由见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，如图，证明得到，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）根据已知条件得到DE=2BE=4，设，在中，根据勾股定理求出x，设的半径为，在中，根据勾股定理求出r，再在在中，根据勾股定理求出AC，于是得到结论．
证明：解：（1）是的切线，
证明：连接，
在和中
，
，
，
，
∵OD是圆的半径，
是的切线；
（2），
．
设，
在中，，
，
．
设的半径为，则，
在中，，
，
，
．
在中，，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：在判定两个三角形全等时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了切线的判定以及勾股定理的应用．
29．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；
（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30°的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．
（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC===
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2==2
【点拨】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．