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专题02 二次根式（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）
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这是一份专题02 二次根式（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共33页。试卷主要包含了二次根式的概念，二次根式具有双重非负性，二次根式有无意义的条件，二次根式的性质，二次根式的运算和性质等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．二次根式的概念
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
理解二次根式的概念，要把握以下四点：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．
（2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
2．二次根式有无意义的条件
3．二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）．
【拓展】（1）若，则a=0，b=0；
（2）若，则a=0，b=0；
（3）若，则a=0，b=0；
（4）若，则a=0，b=0，c=0．
吃透考点
1．数的乘方
负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
2．数的开方
（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若，则b叫做a的立方根．
3．二次根式的相关概念
（1）二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．二次根式的运算和性质：
，．
．
．
．
考点1 二次根式有意义的条件
【例1】（2023•惠阳区一模）若二次根式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
【变式练1】（2023•新都区模拟）代数式有意义的的取值范围是
A．且B．C．D．且
【答案】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意，得
，
解得：且．
故选：．
【变式练2】（2023•江山市模拟）要使二次根式有意义，的值可以是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出的范围，结合选项解答即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
四个选项中的数据，只有符合题意，
故选：．
【变式练3】（2023•淮安模拟）使有意义的的取值范围在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，要使有意义，则，据此求出的取值范围，判断出使有意义的的取值范围如何在数轴上表示即可．
【解答】解：有意义，
，
解得，
使有意义的的取值范围在数轴上表示为．
故选：．
【变式练4】（2023•潮南区模拟）式子有意义，则的值可能是
A．4B．8C．12D．16
【答案】
【分析】根据式子有意义，可得，据此求出的取值范围，判断出可能的取值即可．
【解答】解：有意义，
，
且，
，且，，，
式子有意义，则的值可能是8．
故选：．
【变式练5】（2023•宁阳县二模）式子有意义，则实数的取值范围是
A．B．C．且D．且
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：式子有意义，
，
且，
故选：．
考点2 二次根式的定义
【例2】（2022•鼓楼区校级二模）若为任意实数，下列各式一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，，
，故该选项符合题意；
选项，当时，原式，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2021•武胜县校级模拟）下列各式①；②；③；④；⑤；⑥其中一定是二次根式的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据根指数为2，被开方数为非负数的二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：①时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
②时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
③被开方数一定是正数，符合二次根式的定义；
④时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
⑤被开方数一定是非负数，符合二次根式的定义；
⑥被开方数是正数，符合二次根式的定义．
故一定是二次根式的有3个．
故选：．
【变式练2】（2021•西秀区模拟）下列式子一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，根指数是2即可得出答案．
【解答】解：选项，，
，故该选项符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，的根指数是3，故该选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2018春•宿松县期末）在下列各式中，一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义作出选择：式子叫做二次根式．
【解答】解：、是三次根式；故本选项符合题意；
、被开方数，不是二次根式；故本选项不符合题意；
、被开方数，符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
、被开方数时，不是二次根式；故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2017•泊头市校级模拟）下列各式一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．
【解答】解：、二次根式无意义，故错误；
、是三次根式，故错误；
、被开方数是正数，故正确；
、当或、异号时，根式无意义，故错误．
故选：．
【变式练5】（2015•泰安模拟）下列各式中，不是二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义，可得答案．
【解答】解：、是二次根式，故正确；
、被开方数小于零，故错误；
、是二次根式，故正确；
、是二次根式，故正确；
故选：．
考点3 二次根式的性质与化简
【例3】（2023•赛罕区二模）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分别根据二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行分析即可．
【解答】解：、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，正确，符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•泸县校级三模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，幂的乘方的性质和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•萧山区一模）已知，则实数的值为
A．9B．3C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•番禺区一模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平方根和立方根的定义进行化简．
【解答】解：．正确；符合题意．
；不符合题意．
；不符合题意．
；不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•滨湖区一模）在下列各式中，计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•射洪市校级一模）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据数轴图可知，，再根据化简式子即可．
【解答】解：根据数轴图可知，，
．
故选：．
考点4 最简二次根式
【例4】（2023•梁溪区校级二模）下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．是最简二次根式，故本选项符合题意；
．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•丛台区三模）以下各数是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、是最简二次根式，故此选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•孟村县二模）下列二次根式是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断．
【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
、是最简二次根式；
故选：．
【变式练3】（2023•日喀则市模拟）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•兴宁区校级模拟）下列式子中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：、，故不是最简二次根式，不合题意；
、，是最简二次根式，符合题意；
、，故不是最简二次根式，不合题意；
、，故不是最简二次根式，不合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•雷州市一模）下列各式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
考点5 二次根式的乘除法
【例5】（2023•中山市三模）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】按照计算规则计算判断正误即可．
【解答】解：选项中，，错误，不符合题意；
选项中，，正确，符合题意；
选项中，，错误，不符合题意；
选项中，，错误，不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•芙蓉区校级三模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
故选：．
【变式练2】（2023•驻马店三模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式、二次根式的除法运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练3】（2023•河南三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•高新区模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、二次根式的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项符合题意；
．与无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•绥化模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
考点6 分母有理化
【例6】（2023•常德模拟）计算的结果是 0 ．
【答案】0．
【分析】原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．
【解答】解：原式，
故答案为：0．
【变式练1】（2023•玄武区二模）计算的结果是 ．
【答案】．
【分析】先分母有理化，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式．
【变式练2】（2023•林甸县校级三模）计算： ．
【答案】．
【分析】分子与分母分别乘即可化简．
【解答】解：．
故答案为：．
【变式练3】（2023•奉贤区二模）计算：．
【答案】．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【变式练4】（2022•湖里区二模）计算．
【答案】3．
【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
．
【变式练5】（2021•临沂模拟）化简 ．
【分析】根据分母分子同乘以或除以同一个代数式，式子的值不变，可得答案．
【解答】解：，
故答案为：．
考点7 同类二次根式
【例7】（2023•长沙县二模）下列根式中与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、与不是同类二次根式，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不符合题意；
、，与是同类二次根式，符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•渠县校级模拟）下列二次根式与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】把各个选项中的二次根式化简为最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，进行判断即可．
【解答】解：、与的根指数相同，被开方数不同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，与的根指数相同，被开方数相同，它们是同类二次根式，故此选项符合题意；
、，与的根指数相同，被开方数不相同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•张家口模拟）下列各式中，化简后能与合并的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、，化简后不能与合并，不符合题意；
、，化简后不能与合并，不符合题意；
、，化简后能与合并，符合题意；
、，化简后不能与合并，不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•东区二模）下列二次根式中，不能与合并的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
【解答】解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•衡阳县校级一模）若最简二次根式和能合并，则的值为
A．0.5B．1C．2D．2.5
【答案】
【分析】依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．
【解答】解：最简二次根式和能合并，
．
解得．
故选：．
【变式练5】（2023•嘉定区二模）下列根式中，与为同类二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】把化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式解答．
【解答】解：，
所以，与为同类二次根式的是．
故选：．
考点8 二次根式的加减法
【例8】（2023•衡水二模）若，则“？”表示的数字是
A．2B．4C．6D．8
【答案】
【分析】将化简，之后计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023•湖南模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的加法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•延津县三模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的减法法则，合并同类项法则，平方差公式，单项式乘单项式法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：．，
则不符合题意；
．与不是同类项，无法合并，
则不符合题意；
．
，
则符合题意；
．，
则不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•镇平县模拟）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据单项式除以单项式运算、幂的乘方运算、二次根式的减法运算及平方差公式进行判断即可．
【解答】解：、，故运算错误；
、，故运算错误；
、不是同类二次根式，不能合并，故运算错误；
、，故运算正确；
故选：．
【变式练4】（2023•新乡二模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则、去括号法则、同底数幂的除法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•驻马店模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、二次根式的加减法则和完全平方公式，计算即可．
【解答】解：、，故原运算错误，不符合题意；
、，故该运算错误，不符合题意；
、，故原运算正确，符合题意；
、，故原运算错误，不符合题意．
故选：．
考点9 二次根式的混合运算
【例9】（2023•兴化市一模）下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据平方差公式对选项进行判断．
【解答】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•仁怀市模拟）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的加法和乘除法法则，分母有理化计算即可求解．
【解答】解：、不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
、原式，故不符合题意；
、原式，故符合题意；
、原式，故不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•南岗区模拟）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据同底数幂的除法法则对进行判断；根据单项式乘单项式法则对进行判断；根据完全平方公式对进行判断；利用平方差公式对进行判断．
【解答】解：、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式．
故选：．
【变式练3】（2023•大连模拟）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据平方差公式对选项进行判断．
【解答】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•米东区模拟）计算的结果是
A．10B．20C．14D．16
【答案】
【分析】先根据二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练5】（2023•即墨区二模）计算的结果是
A．1B．0C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故选：．
考点10 二次根式的化简求值
【例10】（2023•镇海区校级一模）若，则的值为
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】利用二次根式有意义的条件得到，则利用分组分解得到，再转化为不等式组，解得或，由于，则，不满足条件；只有，时，满足，从而可得到计算代数式的值．
【解答】解：根据题意得，
即，
或，
解得或，
，
，不满足条件；
只有，时，满足，
当，时，原式
．
故选：．
【变式练1】（2023•高青县一模）已知实数、满足，则 ．
【答案】．
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出和的值，然后代入化简求值即可．
【解答】解：，
，
解得，
．
故答案为：．
【变式练2】（2023•锦江区校级模拟）已知实数，则代数式的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】先利用完全平方公式得到，然后把的值代入计算即可．
【解答】解：，
．
故答案为：2．
【变式练3】（2023•陇县一模）已知，，则 ．
【分析】先计算出，，在利用平方差公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，，
，，
．
故答案为．
【变式练4】（2023•苏州模拟）若，则 2 ．
【答案】2．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可．
【解答】解：，
．
故答案为：2．
【变式练5】（2023•庐江县一模）已知，则 ．
【答案】．
【分析】先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
考点11 二次根式的应用
【例11】（2023•小店区模拟）如图，大正方形的面积，小正方形的面积，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，由此可以得到，其体现的数学思想是
A．转化思想B．数形结合思想C．类比思想D．整体思想
【答案】
【分析】根据利用图形化简二次根式的方法求解此题．
【解答】解：根据图形间数量关系求解二次根式化简是运用了数形结合思想，
故选：．
【变式练1】（2023•苏州模拟）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为
A．50B．40C．30D．20
【答案】
【分析】如图，根据题意易知，点为正方形，的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形的边长为，则，以此可得方程，借此方程，再将的值代入即可求解．
【解答】解：如图，
根据题意易知，点为正方形，的中心，
，即，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，则，
，
解得：，
，
或，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•大同模拟）从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体受到的重力加速度有关，若物体从离地面为（单位：的高处自由下落，落到地面所用的时间（单位：与的关系式为为常数）表示，并且当时，，则从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先将，代入，运用二次根式知识求得的值，再将代入求解．
【解答】解：由题意得，
解得，
当时，
，
从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为，
故选：．
【变式练3】（2023•湘潭模拟）已知矩形的长和宽分别为，，则它的周长是 ．
【答案】．
【分析】根据矩形周长的求法得到，再结合二次根式的性质及加减运算法则直接运算即可得到结论．
【解答】解：矩形的长和宽分别为，，
矩形的周长为，
故答案为：．
【变式练4】（2023•浠水县模拟）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．11B．10C．9D．8
【答案】
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积，
大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
大正方形边长，重叠部分边长，
空白部分的长，
设空白部分宽为，可得：，
解得：，
小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长，
小正方形面积，
故选：．
【变式练5】（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为 ．
【答案】
【分析】先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：，，，
，
，
故答案为：．类型
条件
字母表示
二次根式有意义
被开方数（式）为非负数
有意义a≥0
二次根式无意义
被开方数（式）为负数
无意义a<0
方
法
技
巧
点
拨
1．化简二次根式的步骤
（1）把被开方数分解因式（或因数） ；
（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（eq \r(a)）2＝a（a≥0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简．
2．二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来．
3．常见二次根式化简求值的九种技巧
（1）估算法
（2）公式法
（3）拆项法
（4）换元法
（5）整体代入法
（6）因式分解法
（7）配方法
（8）辅元法
（9）先判后算法
夯实基础
1．二次根式的概念
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
理解二次根式的概念，要把握以下四点：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．
（2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．
2．二次根式有无意义的条件
3．二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）．
【拓展】（1）若，则a=0，b=0；
（2）若，则a=0，b=0；
（3）若，则a=0，b=0；
（4）若，则a=0，b=0，c=0．
吃透考点
1．数的乘方
负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
2．数的开方
（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若，则b叫做a的立方根．
3．二次根式的相关概念
（1）二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．二次根式的运算和性质：
，．
．
．
．
考点1 二次根式有意义的条件
【例1】（2023•惠阳区一模）若二次根式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
【变式练1】（2023•新都区模拟）代数式有意义的的取值范围是
A．且B．C．D．且
【答案】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意，得
，
解得：且．
故选：．
【变式练2】（2023•江山市模拟）要使二次根式有意义，的值可以是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出的范围，结合选项解答即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
四个选项中的数据，只有符合题意，
故选：．
【变式练3】（2023•淮安模拟）使有意义的的取值范围在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，要使有意义，则，据此求出的取值范围，判断出使有意义的的取值范围如何在数轴上表示即可．
【解答】解：有意义，
，
解得，
使有意义的的取值范围在数轴上表示为．
故选：．
【变式练4】（2023•潮南区模拟）式子有意义，则的值可能是
A．4B．8C．12D．16
【答案】
【分析】根据式子有意义，可得，据此求出的取值范围，判断出可能的取值即可．
【解答】解：有意义，
，
且，
，且，，，
式子有意义，则的值可能是8．
故选：．
【变式练5】（2023•宁阳县二模）式子有意义，则实数的取值范围是
A．B．C．且D．且
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：式子有意义，
，
且，
故选：．
考点2 二次根式的定义
【例2】（2022•鼓楼区校级二模）若为任意实数，下列各式一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，，
，故该选项符合题意；
选项，当时，原式，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2021•武胜县校级模拟）下列各式①；②；③；④；⑤；⑥其中一定是二次根式的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据根指数为2，被开方数为非负数的二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：①时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
②时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
③被开方数一定是正数，符合二次根式的定义；
④时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；
⑤被开方数一定是非负数，符合二次根式的定义；
⑥被开方数是正数，符合二次根式的定义．
故一定是二次根式的有3个．
故选：．
【变式练2】（2021•西秀区模拟）下列式子一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，根指数是2即可得出答案．
【解答】解：选项，，
，故该选项符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，的根指数是3，故该选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2018春•宿松县期末）在下列各式中，一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义作出选择：式子叫做二次根式．
【解答】解：、是三次根式；故本选项符合题意；
、被开方数，不是二次根式；故本选项不符合题意；
、被开方数，符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
、被开方数时，不是二次根式；故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2017•泊头市校级模拟）下列各式一定是二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．
【解答】解：、二次根式无意义，故错误；
、是三次根式，故错误；
、被开方数是正数，故正确；
、当或、异号时，根式无意义，故错误．
故选：．
【变式练5】（2015•泰安模拟）下列各式中，不是二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义，可得答案．
【解答】解：、是二次根式，故正确；
、被开方数小于零，故错误；
、是二次根式，故正确；
、是二次根式，故正确；
故选：．
考点3 二次根式的性质与化简
【例3】（2023•赛罕区二模）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分别根据二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行分析即可．
【解答】解：、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，正确，符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•泸县校级三模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，幂的乘方的性质和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•萧山区一模）已知，则实数的值为
A．9B．3C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•番禺区一模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平方根和立方根的定义进行化简．
【解答】解：．正确；符合题意．
；不符合题意．
；不符合题意．
；不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•滨湖区一模）在下列各式中，计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•射洪市校级一模）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据数轴图可知，，再根据化简式子即可．
【解答】解：根据数轴图可知，，
．
故选：．
考点4 最简二次根式
【例4】（2023•梁溪区校级二模）下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．是最简二次根式，故本选项符合题意；
．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•丛台区三模）以下各数是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、是最简二次根式，故此选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•孟村县二模）下列二次根式是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断．
【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
、是最简二次根式；
故选：．
【变式练3】（2023•日喀则市模拟）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•兴宁区校级模拟）下列式子中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：、，故不是最简二次根式，不合题意；
、，是最简二次根式，符合题意；
、，故不是最简二次根式，不合题意；
、，故不是最简二次根式，不合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•雷州市一模）下列各式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
考点5 二次根式的乘除法
【例5】（2023•中山市三模）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】按照计算规则计算判断正误即可．
【解答】解：选项中，，错误，不符合题意；
选项中，，正确，符合题意；
选项中，，错误，不符合题意；
选项中，，错误，不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•芙蓉区校级三模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
故选：．
【变式练2】（2023•驻马店三模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式、二次根式的除法运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练3】（2023•河南三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•高新区模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、二次根式的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项符合题意；
．与无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•绥化模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
考点6 分母有理化
【例6】（2023•常德模拟）计算的结果是 0 ．
【答案】0．
【分析】原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．
【解答】解：原式，
故答案为：0．
【变式练1】（2023•玄武区二模）计算的结果是 ．
【答案】．
【分析】先分母有理化，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式．
【变式练2】（2023•林甸县校级三模）计算： ．
【答案】．
【分析】分子与分母分别乘即可化简．
【解答】解：．
故答案为：．
【变式练3】（2023•奉贤区二模）计算：．
【答案】．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【变式练4】（2022•湖里区二模）计算．
【答案】3．
【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
．
【变式练5】（2021•临沂模拟）化简 ．
【分析】根据分母分子同乘以或除以同一个代数式，式子的值不变，可得答案．
【解答】解：，
故答案为：．
考点7 同类二次根式
【例7】（2023•长沙县二模）下列根式中与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、与不是同类二次根式，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不符合题意；
、，与是同类二次根式，符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•渠县校级模拟）下列二次根式与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】把各个选项中的二次根式化简为最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，进行判断即可．
【解答】解：、与的根指数相同，被开方数不同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、，与的根指数相同，被开方数相同，它们是同类二次根式，故此选项符合题意；
、，与的根指数相同，被开方数不相同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•张家口模拟）下列各式中，化简后能与合并的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、，化简后不能与合并，不符合题意；
、，化简后不能与合并，不符合题意；
、，化简后能与合并，符合题意；
、，化简后不能与合并，不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•东区二模）下列二次根式中，不能与合并的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
【解答】解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•衡阳县校级一模）若最简二次根式和能合并，则的值为
A．0.5B．1C．2D．2.5
【答案】
【分析】依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．
【解答】解：最简二次根式和能合并，
．
解得．
故选：．
【变式练5】（2023•嘉定区二模）下列根式中，与为同类二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】把化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式解答．
【解答】解：，
所以，与为同类二次根式的是．
故选：．
考点8 二次根式的加减法
【例8】（2023•衡水二模）若，则“？”表示的数字是
A．2B．4C．6D．8
【答案】
【分析】将化简，之后计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023•湖南模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的加法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•延津县三模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用二次根式的减法法则，合并同类项法则，平方差公式，单项式乘单项式法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：．，
则不符合题意；
．与不是同类项，无法合并，
则不符合题意；
．
，
则符合题意；
．，
则不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•镇平县模拟）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据单项式除以单项式运算、幂的乘方运算、二次根式的减法运算及平方差公式进行判断即可．
【解答】解：、，故运算错误；
、，故运算错误；
、不是同类二次根式，不能合并，故运算错误；
、，故运算正确；
故选：．
【变式练4】（2023•新乡二模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则、去括号法则、同底数幂的除法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•驻马店模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、二次根式的加减法则和完全平方公式，计算即可．
【解答】解：、，故原运算错误，不符合题意；
、，故该运算错误，不符合题意；
、，故原运算正确，符合题意；
、，故原运算错误，不符合题意．
故选：．
考点9 二次根式的混合运算
【例9】（2023•兴化市一模）下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据平方差公式对选项进行判断．
【解答】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•仁怀市模拟）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的加法和乘除法法则，分母有理化计算即可求解．
【解答】解：、不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
、原式，故不符合题意；
、原式，故符合题意；
、原式，故不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•南岗区模拟）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据同底数幂的除法法则对进行判断；根据单项式乘单项式法则对进行判断；根据完全平方公式对进行判断；利用平方差公式对进行判断．
【解答】解：、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式．
故选：．
【变式练3】（2023•大连模拟）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据平方差公式对选项进行判断．
【解答】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•米东区模拟）计算的结果是
A．10B．20C．14D．16
【答案】
【分析】先根据二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练5】（2023•即墨区二模）计算的结果是
A．1B．0C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故选：．
考点10 二次根式的化简求值
【例10】（2023•镇海区校级一模）若，则的值为
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】利用二次根式有意义的条件得到，则利用分组分解得到，再转化为不等式组，解得或，由于，则，不满足条件；只有，时，满足，从而可得到计算代数式的值．
【解答】解：根据题意得，
即，
或，
解得或，
，
，不满足条件；
只有，时，满足，
当，时，原式
．
故选：．
【变式练1】（2023•高青县一模）已知实数、满足，则 ．
【答案】．
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出和的值，然后代入化简求值即可．
【解答】解：，
，
解得，
．
故答案为：．
【变式练2】（2023•锦江区校级模拟）已知实数，则代数式的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】先利用完全平方公式得到，然后把的值代入计算即可．
【解答】解：，
．
故答案为：2．
【变式练3】（2023•陇县一模）已知，，则 ．
【分析】先计算出，，在利用平方差公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，，
，，
．
故答案为．
【变式练4】（2023•苏州模拟）若，则 2 ．
【答案】2．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可．
【解答】解：，
．
故答案为：2．
【变式练5】（2023•庐江县一模）已知，则 ．
【答案】．
【分析】先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
考点11 二次根式的应用
【例11】（2023•小店区模拟）如图，大正方形的面积，小正方形的面积，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，由此可以得到，其体现的数学思想是
A．转化思想B．数形结合思想C．类比思想D．整体思想
【答案】
【分析】根据利用图形化简二次根式的方法求解此题．
【解答】解：根据图形间数量关系求解二次根式化简是运用了数形结合思想，
故选：．
【变式练1】（2023•苏州模拟）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为
A．50B．40C．30D．20
【答案】
【分析】如图，根据题意易知，点为正方形，的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形的边长为，则，以此可得方程，借此方程，再将的值代入即可求解．
【解答】解：如图，
根据题意易知，点为正方形，的中心，
，即，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，则，
，
解得：，
，
或，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•大同模拟）从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体受到的重力加速度有关，若物体从离地面为（单位：的高处自由下落，落到地面所用的时间（单位：与的关系式为为常数）表示，并且当时，，则从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先将，代入，运用二次根式知识求得的值，再将代入求解．
【解答】解：由题意得，
解得，
当时，
，
从高度为的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为，
故选：．
【变式练3】（2023•湘潭模拟）已知矩形的长和宽分别为，，则它的周长是 ．
【答案】．
【分析】根据矩形周长的求法得到，再结合二次根式的性质及加减运算法则直接运算即可得到结论．
【解答】解：矩形的长和宽分别为，，
矩形的周长为，
故答案为：．
【变式练4】（2023•浠水县模拟）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．11B．10C．9D．8
【答案】
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积，
大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
大正方形边长，重叠部分边长，
空白部分的长，
设空白部分宽为，可得：，
解得：，
小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长，
小正方形面积，
故选：．
【变式练5】（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为 ．
【答案】
【分析】先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：，，，
，
，
故答案为：．类型
条件
字母表示
二次根式有意义
被开方数（式）为非负数
有意义a≥0
二次根式无意义
被开方数（式）为负数
无意义a<0
方
法
技
巧
点
拨
1．化简二次根式的步骤
（1）把被开方数分解因式（或因数） ；
（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（eq \r(a)）2＝a（a≥0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简．
2．二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来．
3．常见二次根式化简求值的九种技巧
（1）估算法
（2）公式法
（3）拆项法
（4）换元法
（5）整体代入法
（6）因式分解法
（7）配方法
（8）辅元法
（9）先判后算法
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