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2024届湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高三上学期9月月考数学试题含解析
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这是一份2024届湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高三上学期9月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合,，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求得集合A,B，然后进行交集运算即可.
【详解】求解一元二次不等式可得，
求解对数不等式可得，
结合交集的定义可得，表示为区间形式即.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的概念及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．且
C．，同号且不为D．或
【答案】B
【解析】由不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】由得，同号且不为
对于A项，“或”不能推出，故A错误；
对于B项，“且”可以推出，当不一定得出且，则“且”是 “”的一个充分不必要条件，故B正确；
对于C项，“，同号且不为”等价于“”，即“，同号且不为”是“”的一个充分必要条件，故C错误；
对于D项，或不一定得出，比如满足，但，故D错误；
故选：B
3．设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据及奇函数判断的单调性，结合求解不等式的解集.
【详解】因为当时，，此时单调递增．
而是定义在R上的奇函数，所以，且当时，也单调递增．
因为，所以．的大致图象如下：
根据的单调性可知，不等式的解集为或，
故选：C
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依据指数函数和对数函数的单调性，利用中间桥0,1去比较的大小关系
【详解】为上单调递增函数，则，
为R上单调递减函数，则，且
由为R上单调递增函数，可得，
则，
故选：C．
5．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象，数形结合即可求出m的范围.
【详解】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象如图，
结合图象知，当与有两个不同的交点时，.
故选：C．
6．定义在上的函数，其导函数图像如图所示，则的单调递减区间是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数图像，得出的区间，从而得出答案.
【详解】由导函数图像可知：当时，，函数单调递减
的单调递减区间是
故选：C
7．若，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两角和差的正弦公式，解得，，相除求得的值．
【详解】解：由，，
可得，，
解得，，，
故选：A．
8．已知，是方程的两根，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，进而结合两角和的正切公式及角的范围求出结果.
【详解】解：，是方程的两根，
，
故，，
，
， ，
故.
.
故选：C.
【点睛】本题考查方程的根与系数的关系及两角和的正切公式的应用，属于中档题.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．，
B．当时，，
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．“”是“”的充要条件
【答案】ABC
【分析】由二次函数配方可判断A；由可判断B；利用抽象函数的定义域求法可判断C；解不等式以及充要条件的定义可判断D.
【详解】A：∵，∴故该命题是真命题；
B：当时，所以，
因此一元二次方程的根的判别式为：，
所以方程有实根，故该命题是真命题；
C：由，得，∴的定义域为，故正确；
D：
，显然当成立时，一定能推出，
但由不一定能推出，故该命题是假命题．
故选：ABC．
10．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性求得正确答案.
【详解】由，以替换得，
结合得，
由于是偶函数，所以，
则，所以，C选项正确.
由令得，A选项正确.
由令得，
由令得，B选项错误.
由令得，
所以，
由得，，
，，
所以，
由于是周期为的周期函数，
所以，D选项正确.
故选：ACD
11．已知函数，则（ ）
A．在其定义域内单调递增B．在其定义域内存在最大值
C．有两个零点D．的图像关于直线对称
【答案】BD
【分析】求出函数的定义域，由复合函数的单调性即可得到函数在区间上单调递增，在上单调递减，进而可得，可知函数只有一个零点，由此即可判断选项A，B，C是否正确；又根据函数的对称性即可判断D是否正确.
【详解】因为函数，所以，即函数的定义域为；
所以
又函数，在区间上单调递增，在上单调递减，
又函数在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，故A错误；
由函数在区间上单调递增，在上单调递减，所以，即函数有只有一个零点，故B正确， C错误；
又，所以函数的图像关于直线对称，故D正确.
故选：BD.
12．已知，下列关系可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】求得的可能取值，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由解得或，
则或，而，则为钝角，即.
由解得或，
则或，而，则为锐角，即，.
所以，A选项错误.
B选项，由于，所以，
此时，所以B选项正确.
由于，其中，
由上述分析可知，
当时，，，
则，C选项正确.
当时，，
则，D选项正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形弧长为 ．
【答案】
【分析】把角度化为弧度，然后由弧长公式计算．
【详解】，
所以弧长为．
故答案为：．
14．若函数（且）有最小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得出函数为增函数，且有，由此可解出实数的取值范围.
【详解】由于函数（且）有最小值，
当时，，此时函数单调递减，则.
所以，当时，函数单调递增，且，即，
解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题考查利用分段函数最值的存在性求参数的取值范围，解题时要从每支函数的单调性，以及分界点处函数值的大小关系来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15．设是函数的一个极值点，则 .
【答案】
【分析】根据极值点得到，再利用齐次式计算得到答案.
【详解】，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的极值点，根据齐次式求值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】判断为偶函数，运用导数判断在的单调性，则转化为，解不等式即可得到的范围．
【详解】详解：∵函数
∴当时，则，；
当时，则，.
∴，即函数为偶函数.
当时，，则，故函数在上为单调增函数.
∵
∴，即.
∴，∴
故答案为：.
四、解答题
17．已知求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】把已知等式左边的分母”1”看作,然后分子分母同除以,利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程,求出方程解,再由对的值进行检验即可;
把所求式子的分子分母同除以，利用同角三角函数间的基本关系化为关于的式子,把的值代入即可.
【详解】（1）
，
即，
解得或.
∵，
∴为第二象限角，
∴，∴.
故答案为
（2）原式.
故答案为
【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系、三角函数的恒等变换及化简求值;其中利用的范围对的值进行检验是本题的易错点;属于中档题.
18．已知，（其中实数）
(1)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)设命题p，q中关于的不等式的解集A，B，且，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出两个不等式的解，根据必要不充分条件的定义求解；
（2）求出，由集合的包含关系得不等式求解．
【详解】（1）由已知，
因为，所以，
因此，
命题p是命题q的必要不充分条件，则，且两个等号不同时取到，又，
解得．
所以的取值范围是；
（2）由（1）或，
，又，所以，，满足．
所以的范围是．
19．已知，（且）.
(1)求的值；
(2)若，函数在区间（0，3）上有且仅有一个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据指数式与对数式互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可；
（2）根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质、对数函数的正负性、二次函数的性质、函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】（1）由，得
则；
（2）∵，∴，
∴，
所以，
则是开口向上，对称轴为的抛物线，
令，∵
∴且
所以，由零点存在定理，当，即时，
函数在区间（0，3）上有且仅有一个零点，
当，即时，解得或，符合题意.
综上可知，a的取值范围为.
20．已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由诱导公式和余弦的二倍角公式求解；
（2）由平方关系、两角差的余弦公式计算．
【详解】（1），则，
又，则，所以；
（2）由（1）得，即，
因此由，，得，，
所以，，
所以．
21．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；
（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
22．已知函数，其中，为自然对数底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知，若函数对任意都成立，求的最大值．
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）结合（1）求得函数的最小值，由此得到的取值范围，即可得到，再利用导数求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为，因为，由得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：因为，由函数对任意都成立，得，
因为，所以．
所以，
设，
所以，
由，令，得，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即的最大值为，此时，．
一、单选题
1．已知集合,，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求得集合A,B，然后进行交集运算即可.
【详解】求解一元二次不等式可得，
求解对数不等式可得，
结合交集的定义可得，表示为区间形式即.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的概念及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．且
C．，同号且不为D．或
【答案】B
【解析】由不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】由得，同号且不为
对于A项，“或”不能推出，故A错误；
对于B项，“且”可以推出，当不一定得出且，则“且”是 “”的一个充分不必要条件，故B正确；
对于C项，“，同号且不为”等价于“”，即“，同号且不为”是“”的一个充分必要条件，故C错误；
对于D项，或不一定得出，比如满足，但，故D错误；
故选：B
3．设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据及奇函数判断的单调性，结合求解不等式的解集.
【详解】因为当时，，此时单调递增．
而是定义在R上的奇函数，所以，且当时，也单调递增．
因为，所以．的大致图象如下：
根据的单调性可知，不等式的解集为或，
故选：C
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依据指数函数和对数函数的单调性，利用中间桥0,1去比较的大小关系
【详解】为上单调递增函数，则，
为R上单调递减函数，则，且
由为R上单调递增函数，可得，
则，
故选：C．
5．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象，数形结合即可求出m的范围.
【详解】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象如图，
结合图象知，当与有两个不同的交点时，.
故选：C．
6．定义在上的函数，其导函数图像如图所示，则的单调递减区间是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数图像，得出的区间，从而得出答案.
【详解】由导函数图像可知：当时，，函数单调递减
的单调递减区间是
故选：C
7．若，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两角和差的正弦公式，解得，，相除求得的值．
【详解】解：由，，
可得，，
解得，，，
故选：A．
8．已知，是方程的两根，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，进而结合两角和的正切公式及角的范围求出结果.
【详解】解：，是方程的两根，
，
故，，
，
， ，
故.
.
故选：C.
【点睛】本题考查方程的根与系数的关系及两角和的正切公式的应用，属于中档题.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．，
B．当时，，
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．“”是“”的充要条件
【答案】ABC
【分析】由二次函数配方可判断A；由可判断B；利用抽象函数的定义域求法可判断C；解不等式以及充要条件的定义可判断D.
【详解】A：∵，∴故该命题是真命题；
B：当时，所以，
因此一元二次方程的根的判别式为：，
所以方程有实根，故该命题是真命题；
C：由，得，∴的定义域为，故正确；
D：
，显然当成立时，一定能推出，
但由不一定能推出，故该命题是假命题．
故选：ABC．
10．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性求得正确答案.
【详解】由，以替换得，
结合得，
由于是偶函数，所以，
则，所以，C选项正确.
由令得，A选项正确.
由令得，
由令得，B选项错误.
由令得，
所以，
由得，，
，，
所以，
由于是周期为的周期函数，
所以，D选项正确.
故选：ACD
11．已知函数，则（ ）
A．在其定义域内单调递增B．在其定义域内存在最大值
C．有两个零点D．的图像关于直线对称
【答案】BD
【分析】求出函数的定义域，由复合函数的单调性即可得到函数在区间上单调递增，在上单调递减，进而可得，可知函数只有一个零点，由此即可判断选项A，B，C是否正确；又根据函数的对称性即可判断D是否正确.
【详解】因为函数，所以，即函数的定义域为；
所以
又函数，在区间上单调递增，在上单调递减，
又函数在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，故A错误；
由函数在区间上单调递增，在上单调递减，所以，即函数有只有一个零点，故B正确， C错误；
又，所以函数的图像关于直线对称，故D正确.
故选：BD.
12．已知，下列关系可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】求得的可能取值，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由解得或，
则或，而，则为钝角，即.
由解得或，
则或，而，则为锐角，即，.
所以，A选项错误.
B选项，由于，所以，
此时，所以B选项正确.
由于，其中，
由上述分析可知，
当时，，，
则，C选项正确.
当时，，
则，D选项正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形弧长为 ．
【答案】
【分析】把角度化为弧度，然后由弧长公式计算．
【详解】，
所以弧长为．
故答案为：．
14．若函数（且）有最小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得出函数为增函数，且有，由此可解出实数的取值范围.
【详解】由于函数（且）有最小值，
当时，，此时函数单调递减，则.
所以，当时，函数单调递增，且，即，
解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题考查利用分段函数最值的存在性求参数的取值范围，解题时要从每支函数的单调性，以及分界点处函数值的大小关系来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15．设是函数的一个极值点，则 .
【答案】
【分析】根据极值点得到，再利用齐次式计算得到答案.
【详解】，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的极值点，根据齐次式求值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】判断为偶函数，运用导数判断在的单调性，则转化为，解不等式即可得到的范围．
【详解】详解：∵函数
∴当时，则，；
当时，则，.
∴，即函数为偶函数.
当时，，则，故函数在上为单调增函数.
∵
∴，即.
∴，∴
故答案为：.
四、解答题
17．已知求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】把已知等式左边的分母”1”看作,然后分子分母同除以,利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程,求出方程解,再由对的值进行检验即可;
把所求式子的分子分母同除以，利用同角三角函数间的基本关系化为关于的式子,把的值代入即可.
【详解】（1）
，
即，
解得或.
∵，
∴为第二象限角，
∴，∴.
故答案为
（2）原式.
故答案为
【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系、三角函数的恒等变换及化简求值;其中利用的范围对的值进行检验是本题的易错点;属于中档题.
18．已知，（其中实数）
(1)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)设命题p，q中关于的不等式的解集A，B，且，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出两个不等式的解，根据必要不充分条件的定义求解；
（2）求出，由集合的包含关系得不等式求解．
【详解】（1）由已知，
因为，所以，
因此，
命题p是命题q的必要不充分条件，则，且两个等号不同时取到，又，
解得．
所以的取值范围是；
（2）由（1）或，
，又，所以，，满足．
所以的范围是．
19．已知，（且）.
(1)求的值；
(2)若，函数在区间（0，3）上有且仅有一个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据指数式与对数式互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可；
（2）根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质、对数函数的正负性、二次函数的性质、函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】（1）由，得
则；
（2）∵，∴，
∴，
所以，
则是开口向上，对称轴为的抛物线，
令，∵
∴且
所以，由零点存在定理，当，即时，
函数在区间（0，3）上有且仅有一个零点，
当，即时，解得或，符合题意.
综上可知，a的取值范围为.
20．已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由诱导公式和余弦的二倍角公式求解；
（2）由平方关系、两角差的余弦公式计算．
【详解】（1），则，
又，则，所以；
（2）由（1）得，即，
因此由，，得，，
所以，，
所以．
21．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；
（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
22．已知函数，其中，为自然对数底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知，若函数对任意都成立，求的最大值．
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）结合（1）求得函数的最小值，由此得到的取值范围，即可得到，再利用导数求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为，因为，由得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：因为，由函数对任意都成立，得，
因为，所以．
所以，
设，
所以，
由，令，得，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即的最大值为，此时，．
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