2023-2024学年度初三暑假讲义第9讲：相似三角形模型（二）(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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典例精讲
题型1：反“A”字型与反“8”字型
例题1．如图，把绕点旋转得到，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中不全等的相似三角形共有 对．
【解答】解：把绕点旋转得到与重合），
，，
，
；
，
而，
；
把绕点旋转得到与重合），
，，，
，
．
图中不全等的相似三角形共有3对，
故答案为：3．
例题2．如图，在中，、分别是、边上的高，求证：．
【解答】证明：设与交于点，
，分别是，边上的高，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
例题3．（2022•德州）教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
概念理解
（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质： ；
（2）如图1，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中的“筝形”： ；（写出一个即可）
应用拓展
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接．
①求证：；
②求证：．
【解答】（1）解：，，
垂直平分线段．
故答案为：垂直平分线段．
（2）解：由翻折变换的性质可知，，
，
，
，
四边形是“筝形”，
故答案为：四边形（答案不唯一）；
（3）①证明：如图2中，
由翻折变换的性质可知，，，，
，，
，
，
，
，
；
②证明：如图2中，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
模块五 共角共边模型
知识导航
能力提升
题型2：子母型
例题4．（1）（2019•淄博）如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，即，
解得，的面积为，
的面积为：，
故选：．
（2）（2021•南充）如图，在中，为上一点，，则的值为 ．
【解答】解：，
，
，
，
,
,
故答案为：．
（3）（2019•贵港）如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A．B．C．D．5
【解答】解：设，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
另解：，，
，
，
，
．
故选：．
（4）（2022•杭州）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合），连接，，．设与直径交于点．若，则 度；的值等于 ．
【解答】解：，
，
，，
，
将该圆形纸片沿直线对折，
，
又，
，
设，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
设，，
，
解得，（负值舍去），
，
，
，，
，
，
．
故答案为：36，．
题型3：射影定理
例题5．（1）（2019•宜宾）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则 ．
【解答】解：在中，，
由射影定理得，，
，
故答案为：．
（2）如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
若，则，故，选项不符合题意；
若，则，，故，，选项不符合题意；
若，则，，故，，选项不符合题意；
若，无法判断，从而可以不能推出为直角三角形，故选项不符合题意；
故选：．
（3）如图，在中，，过点作于点，点为线段的中点，连结，过点作于点．设，，则图中可以表示的线段是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
同理得，
，
，
点为线段的中点，
，
．
故选：．
题型4：共角共边模型综合
例题6．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，．
求证：（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2），
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
模块六 一线三等角模型
知识导航
能力提升
题型5：一线三等角模型
例题7．（2017•宿迁）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点、分别在边、上．
（1）求证：；
（2）当点移动到的中点时，求证：平分．
【解答】解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
平分．
例题8．（2015•贺州）如图，在中，，点是边上的一动点（不与，重合），，交于点，且，有以下的结论：①；②当时，与全等；③为直角三角形时，为12或；④，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）
【解答】解：①，，
；
故①错误；
②作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，，
，
在与中，
，
．
故②正确；
③当时，由①可知：，
，
，
，
即，
，
，
且，，
．
当时，易证，
，
，
且，，
，
．
，
即当为直角三角形时，或．
故③正确；
④易证得，由②可知，
设，，
，
，
整理得：，
即，
，
．
故④错误．
故正确的结论为：②③．
故答案为：②③．
题型6：“K”字模型
例题9．（1）（2019•凉山州）如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为 ．
【解答】解：，，
．
又，
．
．
设，，则．
，化简得，
整理得，
所以当时，有最大值为4．
故答案为4．
（2）（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为 ．
【解答】解：如下图所示，连接，则，
由题意得，小正方形的边长为1，
，
四边形是矩形，
，，
，
同理，
，
又，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）（2022•黑龙江）在矩形中，，，点在边上，且，点是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为 ．
【解答】解：若是直角三角形，有以下三种情况：
①如图1，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
②如图2，，
，
，
，
，
，即，
；
③如图3，，设，则，
同理得：，
，即，
，
，
综上，的长是或或6．
故答案为：或或6．
秋季你将遇见
例题10．（2023•青秀三中校一模）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为 ；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【解答】解：【问题一】正方形的对角线相交于点，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
故答案为：；
【问题二】如图③，
连接，，
点是正方形的中心，
，
点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
，
，
；
【问题三】在直线上存在点，使为直角三角形，
①当时，如图④，延长，相交于点，
四边形和四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图⑤，
同①的方法得，，
，
，
，
或；
③当时，如图⑥，
过点作的平行线交的延长线于，延长，相交于，
同①的方法得，四边形是矩形，
，，，
同①的方法得，四边形是矩形，
，，
，
同①的方法得，，
，
，
，
，
即的长度为2或3或6或7．
第9讲：相似三角形模型（二）课后巩固
1．（2019•赤峰）如图，、分别是边，上的点，，若，，，则的长是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，，
，
，即，
解得，，
故选：．
2．如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的值为 ．
【解答】解：，
可以假设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
3．（2020•贵港）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为
A．2B．C．3D．
【解答】解：，，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
4．（2016•安徽）如图，中，是中线，，，则线段的长为
A．4B．C．6D．
【解答】解：，
，
在和中，
，，
，
，
，
；
故选：．
5．（2018•雅安）已知：如图，在中，，，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，则线段的长为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，
以点为圆心，为半径画弧，交于点，
，
，
，
，
，
；
故选：．
6．（2019•西藏）如图，在中，，点是边上的一点，于，，，则边的长为 ．
【解答】解：由射影定理得，，
解得，，
故答案为：4．
7．将沿弦折叠，交直径于点，若，，则的长是
A．B．8C．D．
【解答】解：连接、；
根据折叠的性质，知所对的圆周角等于，
又所对的圆周角是，
，
（相等的圆周角所对的弦相等）；
是等腰三角形；
过作于．
，则；
；
在中，，根据射影定理，得：
；
故．
故选：．
8．（2019•泸州）如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则的长为 ．
【解答】解：过作于，
在等腰中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（2017•巴彦淖尔）如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于 ．
【解答】解：，，，
，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
故答案为．
10．（2015•娄底）一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为 ．
【解答】解：过点作于点，
为直角三角形，
，
，
，
设点坐标为，
则，
，
，
，
，
，
解得：，
则．
即点的坐标为，．
故答案为：，．
11．（2014•宿迁）如图，在直角梯形中，，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，
．
，
，
．，，，
设的长为，则长为．
若边上存在点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，即，解得；
②若，则，即，解得或．
满足条件的点的个数是3个，
故选：．
12．如图，点是线段的中点，，下列结论中，①与相似；②与相似；③；④，其中正确的是
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【解答】解：，，
，
．
又，
，故结论①正确．
．
是线段的中点，
．
．
又，
，故结论②正确．
，，故结论③④正确．
故选：．
13．（2012•临沂）已知，在矩形中，，，动点从点出发沿边向点运动．
（1）如图1，当，点运动到边的中点时，请证明；
（2）如图2，当时，点在运动的过程中，是否存在，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【解答】（1）证明：，点是的中点，
，
又在矩形中，，
，
．
（2）解：存在，
理由：若，
则，
又，
，
又，
，
，
设，则，
整理得：，
，，，
△，
方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
当时，存在，
（3）解：不成立．
理由：若，
由（2）可知，
，，，
△，
方程没有实数根，
当时，不存在，即（2）中的结论不成立．
思维拓展训练
1．（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、．
（1）若，，，则 ；
（2）求证：．
【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图②所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中，使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接．设，则与的周长之比为 （用含的表达式表示）．
【解答】（1）解：是等边三角形，
，．
，
，
则，
是等边三角形，
，
又，
．
，
则，
是等边三角形，
．
故答案是：4；
（2）证明：如图①，，，
，，
．
又，
；
【思考】存在，如图②，过作，，，垂足分别是、、，
平分且平分．
．
又，，
，
，即点是的中点，
；
【探索】如图③，连接，作，，，垂足分别是、、．
则，
，是的中点，
，，
，
，，，
则，
由（2）题可猜想应用（可通过半角旋转证明），
则，
设，则，．
．
故答案是：．
基本图形
重要结论
条件：
①；
②连接、，交于点，则
(ⅰ) ；
(ⅱ) ；
(ⅲ) ．
本质：、、、四点共圆，由此得到的割线定理，相交弦定理
条件：
①；
②连接、，则
．
本质：、、、四点共圆，由此得到的相交弦定理
基本图形
重要结论
“子母”模型
．
射影定理
①；
②；
③．
基本图形
重要结论
条件：
①；
②当为中点时，则．
条件：
①；
②当为中点时，则．
变形