中考数学二轮复习专题11规律探究之直角坐标系含解析答案

这是一份中考数学二轮复习专题11规律探究之直角坐标系含解析答案，共19页。

1．在平面直角坐标系中，的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为，将沿直线翻折，得到，过作垂直于交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（0，）
C．（0，）D．（0，2）
3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．
4．如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为 （结果用含正整数n的代数式表示）．
5．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
6．如图，直线yx+b与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ ，前25个等边三角形的周长之和为 ．
7．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：yx与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
11．如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为 ．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
参考答案：
1．C
【分析】先求出OA，然后证明△∽△即可得出答案．
【详解】由题意可得AB=1，OB=，
∵△ABC为直角三角形，
∴OA=2，
由翻折性质可得=1，=，=2，∠=90°，
∵∠+∠=90°，∠+∠=90°，
∴∠=∠，
∵⊥，∠=90°，
∴△∽△，
∴，即
∴OC=4，
∴点C的坐标为（0，-4），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，证明△∽△是解题关键．
2．D
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
解方程组 得x=y=1，或(舍去)，
∴A1（1，1），
∴，
∴
∴由勾股定理得：，
分别过点 作y轴的垂线，垂足分别为，如图所示，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴是的中点，且 ，
设点的横坐标为m，
∴，，
∴A2（m，2+m），
∵点在双曲线上，
∴m（2+m）＝1，
解得，
∴，
∵△B2A3B3是等腰直角三角形，
∴是的中点，且 ，
设点的横坐标为a，
∴，，
∴
∵点在双曲线上，
∴a（2）＝1，
解得，
∴，
同理可得，OB4＝2，
一般地：OBn＝2，
∴Bn（0，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是从特殊出发得出一般规律．
3．22020
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
4．
【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．
【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2，
点纵坐标为1．
分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；
,
类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有
，
不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：
，
，


按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧．
5．
【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
，即，
，即，
，即，
观察可知，点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，
归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
6． 60
【分析】设直线yx+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线yx+b与双曲线y在第一象限交于点B、C两点，可得x+b，整理得，x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2k，即EB•FCk，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【详解】设直线yx+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵yx+b，
∴当y＝0时，xb，即点D的坐标为（b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，ODb．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO，
∴∠ADO＝60°．
∵直线yx+b与双曲线y在第三象限交于B、C两点，
∴x+b，
整理得，x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2k，即EB•FCk，
∵cs60°，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FCk＝16，
解得：k＝4．
由题意可以假设D1（m，m），
∴m2•4，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，n），
∵（4+n）•n＝4，
解得n＝22，
∴E1E2＝44，即第二个三角形的周长为1212，
设D3（4a，a），
由题意（4a）•a＝4，
解得a＝22，即第三个三角形的周长为1212，
…，
∴第四个三角形的周长为1212，
∴前25个等边三角形的周长之和
12+1212+1212121212121260，
故答案为4，60．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
7．
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【详解】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，
∴B1COC，
设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），
把B1（t，t）代入y得t•，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
∴OA1＝2OC＝2，
∴A1（2，0），
设A1D的长度为m，同理得到B2Dm，则B2的坐标表示为（2+m，m），
把B2（2+m，m）代入y得（2+m），解得m1或m1（舍去），
∴A1D，A1A2，OA2，
∴A2（，0）
设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2n，n），
把B3（2n，n）代入y得（2n）•，
∴A2E，A2A3，OA3，
∴A3（，0），
综上可得：An（，0），
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
8．
【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．
【详解】∵直线l：yx与x轴交于点B，
令y=0，即yx=0，解得：x=−1
∴B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴AB＝1，
∵△ABA1是等边三角形，过A1点作于 ，如图所示，
则，，
∴，
∴A1（，），
∵∥AB，
∴把y代入yx，求得x，
∴B1（，），
∴A1B1＝2，
过A2点作于 ，
∵△是等边三角形
则是的中点，且
∴C2点的横坐标为：，
∵，
∴A2（，），即A2（，），
∵A3B3∥AB，
∴把y代入yx，得x，
∴B2（，），
∴A2B2＝4，
过A3点作于 ，
∵△是等边三角形，
则是的中点，且
∴C3点的横坐标为：，
∵，
∴A3（，），
即A3（ ，），
一般地，An的纵坐标为，
∴点A2020的纵坐标是，
故答案为．
【点睛】本题是规律探索题，考查了一次函数的图象，等边三角形的性质，从特殊出发得到一般性结论是本题的关键．
9．
【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，
得：，得：x=-4，即A（-4，3），
∴OB=3，AB=4，OA==5，
由旋转可知：
OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，
∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，
∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，
设B21（a，），则OB21=，
解得：或（舍），
则，即点B21的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．
10．（，0）.
【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.
【详解】解：如图，过点N作NM⊥x轴于M
将代入直线解析式中得
∴，45°
∵90°
∴
∵
∴
∴的坐标为（2，0）
同理可以求出的坐标为（4，0）
同理可以求出的坐标为（8，0）
同理可以求出的坐标为（，0）
∴的坐标为（，0）
故答案为：（，0）.
【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.
11．
【分析】由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】解：∵点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，
∴，，∴A1B1=，
根据题意，OA2=1+=，
∴，，
同理，，，
，
……
由此规律，可得：，，
∴即，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．