人教版数学七年级下册期末知识梳理+题型解题方法+专题过关专题05 不等式与不等式组（2份打包，原卷版+含解析）

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专题05 不等式与不等式组
【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】
考点一：不等式
1. 不等式的定义：
用不等号连接的式子叫做不等式。
2. 常见的不等号：
大于：“＞”，大于等于：“≥”，小于：“＜”，小于等于：“≤”，≠：“≠”。
【考试题型1】判断不等式
【解题方法】根据不等式的定义式子中含有不等号且满足不等关系则为不等式进行判断。
例题讲解：1．（2022春•惠州期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据不等式的定义，不等号有＜，＞，≤，≥，≠，选出即可．
【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③．
故选：C．
【考试题型2】列简单的不等式
【解题方法】根据语言描述的不等关系，以及常见的数学名词所表示的不关系列出不等式即可。常见的数学名词与不等关系有：正数＞0，负数＜0，非正数≤0，非负数≥0等。
例题讲解：2．（2022秋•港南区期末）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（　　）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
【分析】根据到原点的距离小于8，即绝对值小于8．显然是介于﹣8和8之间．
【解答】解：依题意得：|x|＜8
∴﹣8＜x＜8
故选：A．
考点二：不等式（组）的解与解集
1. 不等式解的定义：
使不等关系成立的未知数的值是不等式的一个解。
2. 不等式的解集的定义：
不等式的解有无数个，不等式的所有解得集合叫做不等式的解集。
3. 在数轴上表示不等式的解集：
具体步骤：①确定不等式解集的边界；
②确定不等式边界是实心圆还是空心圈，包含等于用实心圆，不包含等于则用空心圈。
③确定方法，若大于则方向向右，小于则方向向左。
4. 不等式组的解集：
不等式中所有不等式的解集的公共部分是不等式组的解集。
5. 不等式组的解集的情况：
①同大取大；②同小取小；③大小小大去中间；④大大小小无解答。
【考试题型1】判断不等式的解
【解题方法】将需要判断的数带入不等式中，判断不等关系是否成立，成立则是，不成立则不是。
例题讲解：3．（2022春•运城期末）在﹣1，0，1，中，能使不等式2x﹣1＜x成立的数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接解不等式，进而得出符合题意的个数．
【解答】解：2x﹣1＜x，
解得：x＜1，
故符合题意的有：﹣1，0，，共3个．
故选：C．
【考试题型2】在数轴上表示不等式（组）的解集
【解题方法】利用数轴上表示不等式解集的方法确定边界，实心圆或空心圈以及方向表示出来即可。若是不等式组，则根据表示的情况确定不等式组的公共部分。
例题讲解：4．（2021秋•龙胜县期末）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可得．
【解答】解：将不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示如下：
故选：D．
5．（2022春•汝南县期末）不等式组的解集在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“大于向右、小于向左，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”在数轴上表示解集即可．
【解答】解：不等式组的解集在数轴上可以表示为：

故选：D．

【考试题型3】根据数轴写出所表示的解集
【解题方法】根据数轴上表示解集的方法反过来进行判断即可。同样若是不等式组，则只需判断公共部分。
例题讲解：6．（2022春•菏泽期末）如图，数轴上表示不等式的解集是（　　）

A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤4
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出结论．
【解答】解：∵4处是实心圆点且折线向左，
∴不等式的解集是x≤4．
故选：D．
7．（2021秋•西湖区期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（　　）

A．x＜2 B．x＞1 C．0＜x＜2 D．1＜x＜2
【分析】根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
【解答】解：该数轴表示的不等式的解集为1＜x＜2．
故选：D．
【考试题型4】根据不等式组的解集求值
【解题方法】利用不等式组的解集的情况确定不等式组的解集中的未知字母的值或取值范围，再根据确定的值与取值范围求相应的值。
例题讲解：8．（2022春•保定期末）若不等式组无解，则m的值可能（　　）
A．7 B．6 C．3 D．5
【分析】解不等式组可得x≥2，x＜，由不等式组无解可得2≥，求出m的范围即可求解．
【解答】解：，
由①得x≥2，
由②得x＜，
∵不等式组无解，
∴2≥，
∴m≤4，
故选：C．
9．（2022春•富县期末）已知不等式组的解集为﹣3＜x＜2，则（a+b）2021的值为（　　）
A．﹣1 B．2021 C．1 D．﹣2021
【分析】表示出不等式组的解集，由已知解集确定出a与b的值，代入计算即可求出（a+b）2021的值．
【解答】解：∵不等式组的解集为﹣3＜x＜2，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2021
＝（﹣3+2）2021
＝（﹣1）2021
＝﹣1．
故选：A．

考点三：不等式的性质
1. 不等式的性质1：
不等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（式子），不等号的方向不发生改变。
即：若，则＞。
2. 不等式的性质2：
不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不发生改变。
即：若，则＞或＞。
3. 不等式的性质3：
不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。
即：若，则＜或＜。
注意：在使用不等式的性质时无论是加减乘除都必须是同一个数（或式子）。乘除负数时一定要改变不等式符号的方向。
4. 不等式的传递性：
若，则＞。
【考试题型1】利用不等式的性质进行变形
【解题方法】断不等式的变形用了哪一个不等式的性质，不等号的是否需要进行变向，是否进行了变向。
例题讲解：10．（2022春•长治期末）已知两个有理数a和b，满足的关系是a＞b，则下列结论中，正确的是（　　）
A．3﹣a＞3﹣b B．a﹣8＜b﹣8
C． D．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜3﹣b，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a﹣8＞b﹣8，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴3a+5＞3b+5，
∴＞，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣5a＜﹣5b，
∴3﹣5a＜3﹣5b，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：C．
【考试题型2】利用不等式的变形求值
【解题方法】根据不等式的变形情况判断用了不等式的哪一个性质。通常考察不等式的性质2和性质3的应用，若不等式的解得符号与不等式的符号不同，则用不等式的性质3，则系数小于0；若不等式的解的符号与不等式的符号相同，则用不等式的性质2，则系数大于0。
例题讲解：11．（2022春•江津区期末）若a＞b，且（m﹣3）a＜（m﹣3）b，则m的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：因为a＞b，且（m﹣3）a＜（m﹣3）b，
所以m﹣3＜0，
所以m＜3，
所以m的值可能是2．
故选：A．
12．（2022春•甘州区校级期末）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故选：B．
考点四：一元一次不等式的定义
1. 一元一次不等式的定义：
含有1个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
判断一元一次不等式：
①只有一个未知数。
②未知数项系数不能为0。
③未知数次数一定为1。
【考试题型1】根据一元一次不等式的定义求未知系数的值
【解题方法】通利用未知数的次数是1，未知数项的系数不能为0建立方程组求解即可。
例题讲解：13．（2022春•晋安区期末）若（m﹣1）x|m|﹣3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝﹣1．
故选：C．
考点五：解一元一次不等式
具体步骤：
第一步：去分母——不等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。
第二步：去括号。
第三步：移项。
第四步：合并。
第五步：系数化为1。两边同时除以系数或乘以系数的倒数。若系数为正数，则不等号方向不变，若系数为负数，则不等号方向改变。
【考试题型1】解一元一次不等式
【解题方法】根据解一元一次不等式的具有步骤逐步进行求解即可，注意每一步的方法细节。
例题讲解：14．（2022春•蓬莱市期末）当x同时满足﹣x＝5a+3和不等式成立时，求a的取值范围．
【分析】求得方程的解和不等式的解集，根据题意得出相应的不等式，解关于a的不等式即可．
【解答】解：解不等式，
得：x≥﹣1，
∵﹣x＝5a+3，
∴﹣（5a+3）≥﹣1，
解得a≤﹣．
【考试题型2】利用解一元一次不等式求值
【解题方法】根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，再根据求出的解与已知解相等或满足的条件建立方程或建立不等式求解。
例题讲解：15．（2022春•关岭县期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（　　）

A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1解出不等式，然后根据数轴图找出不等式解集，进而求出a的值．
【解答】解：去分母得：4x+a≥5，
移项得：4x≥5﹣a，
系数化为1得：x≥，
根据数轴图知解集为x≥﹣1，
∴＝﹣1，
∴a＝9．
故选：A．


【考试题型3】利用不等式的解求另一个不等式的解
【解题方法】通常不等式中都含有未知系数，通过已知不等式的解集求出未知系数之间的关系，在带入所求不等式中求出解集。
例题讲解：16．（2022春•鼓楼区校级期末）若关于x的不等式m x﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式n x﹣n＞m+m x的解集是（　　）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜ D．x＞
【分析】根据不等式mx﹣n＞0的解集是x＜得出m＜0且＝，求出n＝m＜0，m＝4n，把m＝4n代入不等式nx﹣n＞m+mx，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：mx﹣n＞0，
mx＞n，
∵不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，
∴m＜0且＝，
∴n＝m＜0，m＝4n，
∵nx﹣n＞m+mx，
∴nx﹣mx＞m+n，
即nx﹣4nx＞4n+n，
∴﹣3nx＞5n，
∵﹣3n＞0，
∴x＞﹣，
故选：B．
【考试题型4】不等式与坐标象限
【解题方法】根据象限内坐标的特点建立不等式，求解不等式即可。
例题讲解：17．（2022春•合江县期末）已知点P（4m﹣8，1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．m＞2
【分析】根据第二象限点的坐标特征列出不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．
【解答】解：∵点P（4m﹣8，1）在第二象限，
∴4m﹣8＜0，
解得：m＜2．
故选：A．
【考试题型5】不等式的整数解
【解题方法】按照解不等式得步骤解出不等式进行判断即可
例题讲解：18．（2021秋•港南区期末）解不等式，并写出它的非负整数解．
【分析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后确定其非负整数解．
【解答】解：去分母，得，6﹣3（x﹣2）≥2（1+x），
去括号得，6﹣3x+6≥2+2x，
移项得，﹣3x﹣2x≥2﹣6﹣6
合并同类项得，﹣5x≥﹣10，
化系数为1得，x≤2．
∴原不等式的非负整数解为：0，1，2．
【考试题型6】根据不等式的整数解的个数求值
【解题方法】把未知字母看作常数，根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，解集为关于未知字母的表达式，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。
例题讲解：19．（2022春•八步区期末）若关于x的不等式3x﹣a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣7≤a＜﹣4 B．﹣7＜a≤﹣4 C．4＜a≤7 D．4≤a＜7
【分析】先求出不等式3x﹣a≤2的解集，再根据关于x的不等式3x﹣a≤2只有2个正整数解，可以得到关于a的不等式组，然后求解即可．
【解答】解：由3x﹣a≤2可得x≤，
∵关于x的不等式3x﹣a≤2只有2个正整数解，
∴2≤＜3，
解得4≤a＜7，
故选：D．
【考试题型7】新定义运算与一元一次不等式
【解题方法】根据定义运算法则列出一元一次不等式，在根据解不等式的方法进行求解
例题讲解：20．（2022春•通海县期末）定义一种法则“⊗”如下：a⊗b＝，如：1⊗2＝2，若（2m﹣5）⊗3＝3，则m的取值范围是（　　）
A．m＞4 B．m≤4 C．m＜4 D．m≥4
【分析】先根据题中所给的条件得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵（2m﹣5）⊗3＝3，
∴2m﹣5≤3，
解得m≤4．
故m的取值范围是m≤4．
故选：B．
考点六：一元一次不等式组的定义
几个含有相同未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
注意：一元一次不等式组中可以有多个一元一次不等式，但是只能有一个未知数。
【考试题型1】判断一元一次不等式组
【解题方法】根据定义含有多个一元一次不等式，但只有含有一个未知数进行判断。
例题讲解：21．（2022春•招远市期末）下列各式不是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
B、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确；
C、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
故选：B．
考点七：解一元一次不等式组
求不等式组的所有不等式的解集的公共部分即为不等式组的解集。
【考试题型1】解不等式组
【解题方法】解出不等式组中的每一个不等式然后求其公共部分即可。
例题讲解：22．（2022春•罗湖区校级期末）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把其解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x≥0，
故原不等式组的解集为0≤x≤3．
【考试题型2】根据不等式组的解得情况求不等式组中字母的值
【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知和一个含有字母的式子，再根据不等式组的解得情况：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解答进行判断含有未知字母的式子与已知数的大小关系建立不等式求解。
例题讲解：23．（2022春•岚山区期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由x﹣a≥3，得：x≥a+3，
由5﹣2x＞x﹣1，得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴a+3≥2，
解得a≥﹣1，
故选：C．
【考试题型3】解不等式组与坐标象限
【解题方法】根据坐标象限的坐标特点建立不等式组，然后求解即可。
例题讲解：24．（2022春•满城区校级期末）点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣或m＞1 B．﹣＜m＜1 C．m＜1 D．m＞﹣
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，
∴，
解不等式①得，m＜1，
解不等式②得，m＞﹣，
所以，不等式组的解集是﹣＜m＜1．
故选：B．
【考试题型4】不等式组的整数解个数
【解题方法】解出不等式组进行判断即可。
例题讲解：25．（2022春•蓬莱市期末）不等式组的整数解的个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
【解答】解：由2x﹣1＞﹣x，得：x＞，
由x≤2，得：x≤4，
则不等式组的解集为＜x≤4，
所以其整数解有1、2、3、4这4个，
故选：C．
【考试题型5】根据不等式组的整数解的个数求未知字母的值
【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知数和一个含有字母的式子，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。
例题讲解：26．（2022春•荣昌区期末）若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，可以求得a的取值范围，然后即可写出满足条件的整数a的值，再将它们相加即可．
【解答】解：由方程可得，x＝，
∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴a＜，
由y+3＞1得y＞﹣2，
由3y﹣a＜1得y＜，
∵a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，
∴这两个整数解为﹣1，0，
∴0＜≤1，
解得﹣1＜a≤2，
由上可得﹣1＜a＜，
∴所有满足条件的整数a的值为0，1，
∵0+1＝1，
∴所有满足条件的整数a的值和为1，
故选：B．
考点八：一元一次不等式（组）的应用
1. 具体步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数。
②根据题中的不等关系列出不等式（组）。
③解不等式（组），求出解集。
④写出符合题意的解。
2. 表达不等关系的关键词：
列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等词来体现问题中的不等关系。
【考试题型1】由实际问题抽象不等式（组）
【解题方法】找到题目中表达不等关系的关键词，然后根据表达的不等关系建立不等式。
例题讲解：27．（2022春•金水区校级期末）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（　　）

A．100x+80（10﹣x）＞900 B．100+80（10﹣x）＜900
C．100x+80（10﹣x）≥900 D．100x+80（10﹣x）≤900
【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．
【解答】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，
根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，
故选：D．
28．（2022春•丛台区校级期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　）
A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x
C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8
【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数5x+12﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式
【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：
0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
故选：C．
【考试题型2】一元一次不等式（组）的实际应用
【解题方法】根据一元一次不等式（组）解决实际应用题的具体步骤进行解答即可，注意未知数的取值范围必须满足问题的实际意义。
例题讲解：29．（2022春•清江浦区期末）某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？
【分析】设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，利用总租金＝每辆甲型客车的租金×租用数量+每辆乙型客车的租金×租用数量，结合总租金不超过1530元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，
依题意得：280x+220（6﹣x）≤1530，
解得：x≤．
又∵x为整数，
∴x的最大值为3．
答：最多租用甲型客车3辆．
30．（2022春•思明区校级期末）随着全国疫情防控取得阶段性进展，各学校进一步做好疫情防控工作．为方便师生测体温，某校计划购买A、B两种额温枪．经调研得知：购买1个A型额温枪和2个B型额温枪共需800元，购买2个A型额温枪和3个B型额温枪共需1300元．
（1）求每个A型额温枪和B型额温枪各多少元；
（2）若该学校准备购买A、B两种型号的额温枪共50个（每种型号至少买一只）；要求总费用不超过12800元，则对购买A型号的额温枪在数量上有什么要求？说明理由．
（3）在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种型号的额温枪，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型额温枪按原价90%收费，B型额温枪不优惠；在乙店购买A型额温枪不优惠，但购买B型额温枪按原价90%收费；则学校到哪家商店购买额温枪花费少？
【分析】（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是y元，由“购买1个A型额温枪和2个B型额温枪共需800元，购买2个A型额温枪和3个B型额温枪共需1300元”列出方程组可求解；
（2）设购进A型号额温枪a个，“购买两种额温枪的总资金不超过12800元”列出不等式可求解；
（3）根据“总价＝单价×数量”得出两种优惠方案的表达式，再比较大小解答即可．
【解答】解：（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是y元，
由题意可得：，
解得：．
答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是300元；
（2）设购进A型号额温枪a个，
∵200a+300（50﹣a）≤12800，
∴a≥22，
∴最少可购进A型号额温枪22个；
（3）在甲店购买A型额温枪按原价90%收费，B型额温枪不优惠，
200×90%a+300（50﹣a）＝（15000﹣120a）元；
在乙店购买A型额温枪不优惠，但购买B型额温枪按原价90%收费，
200a+300×90%（50﹣a）＝（13500﹣70a）元；
当15000﹣120a＝13500﹣70a，解得a＝30时，两商店花费一样多；
当22≤a＜30，乙商店购买额温枪花费少；
当30＜a＜50，甲商店购买额温枪花费少．





【专题过关】
一．不等式的定义（共2小题）
1．（2023春•谯城区校级月考）下列是不等式的是（　　）
A．﹣x＞1 B．x＝3 C．x﹣1 D．2x
【分析】依据不等式的定义来判断即可．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以﹣x＞1为不等式．
故选：A．
2．（2023春•西安月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（　　）

A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5
【分析】根据不等式的定义解决此题．
【解答】解：由题意可得，0＜x≤4.5．
故选：D．
二．不等式的解集（共4小题）
3．（2023•南海区一模）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，即可判断出答案．
【解答】解：解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，
∴在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的有﹣1，0，1，2，共4个．
故选：D．
4．（2022秋•渌口区期末）若不等式组的解集为x＜m，则m的取值范围为（　　）
A．m≤1 B．m＝1 C．m≥1 D．m＜1
【分析】先解不等式，然后根据解集为x＜m，可得结论．
【解答】解：，
∵不等式组的解集为x＜m，
∴m≤1．
故选：A．
5．（2022秋•株洲期末）已知不等式组无解，则a的取值范围为　 　．
【分析】根据不等式组的解集大大小小无解了，可得答案．
【解答】解：∵不等式组无解，
∴a﹣1≤1，
解得：a≤2，
故答案为：a≤2．
6．（2023春•高明区月考）已知不等式组的解集是﹣2＜x＜2，则ab＝　 　．
【分析】先根据条件求出a＝﹣2，b＝2，然后直接计算即可．
【解答】解：∵的解集是﹣2＜x＜2，
∴a＝﹣2，b＝2，
则ab＝（﹣2）2＝4．
故答案为：4．
三．在数轴上表示不等式的解集（共4小题）
7．（2023•东方一模）下列数轴中，表示x≥﹣3正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题可根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．
【解答】解：在数轴上表示x≥﹣3为：

故选：B．
8．（2023春•南岗区校级月考）一个关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集为 　 　．

【分析】观察数轴得到不等式的解集都在2的左侧包括2，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为x≤2．
【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2．
故答案为：x≤2．
9．（2023•南湖区校级二模）将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先解两个不等式，本题可根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右小于向左．”画出数轴．
【解答】解：将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是：

故选：A．
10．（2022秋•天元区校级期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　）

A．x＞11 B．x≥﹣1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3
【分析】根据数轴得出不等式组的解集即可．
【解答】解：从数轴可知：解集是x≥﹣1，
故选：B．
四．不等式的性质（共2小题）
11．（2023春•北碚区校级期中）若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B． C．a+c＞b+c D．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：a＜b，两边同时乘以一个小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A错误，不符合要求；
a＜b，两边同时除以一个小于0的值c，可得，故B正确，符合要求；
a＜b，两边同时加上c，可得a+c＜b+c，故C错误，不符合要求；
a＜b，两边同时乘以一个大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D错误，不符合要求；
故选：B．
12．（2023春•渝中区校级月考）已知a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．a+c＞b+c B．2a﹣3＞2b﹣3
C．am＞b m D．a（c2+1）＞b（c2+1）
【分析】根据不等式的性质即可判断出A、B、D的等式关系都成立，从而求出这道题的答案．
【解答】解：∵a＞b，∴根据不等式的加法性质，不等式两边同时加相同的数，不等号的方向不变，故A成立．
根据不等式的乘法性质可知2a＞2b，在根据不等式的减法性质可知2a﹣3＞2b﹣3，故B成立．
又∵c2+1为正数，根据不等式的乘法性质，∴a（c2+1）＞b（c2+1），故D成立．
在C选项中，由于m是正数还是负数或是零不确定，因此也就不确定am是否大于bm，故C不成立．
故选：C．
五．一元一次不等式的定义（共2小题）
13．（2023春•新城区校级月考）下列式子：①7＞4；②3x≥2x+1；③x+y＞1；④x2+3≤2x中，是一元一次不等式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐个判断即可．
【解答】解：①7＞4，不含未知数，不是一元一次不等式；
②3x≥2x+1，是一元一次不等式；
③x+y＞1，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④x2+3≤2x，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
∴一元一次不等式有1个，
故选：A．
14．（2023春•谯城区校级月考）若关于x的一元一次不等式2a﹣x|2+3a|＞2，则a的值（　　）
A．﹣1 B．1或﹣ C．﹣1或﹣ D．﹣
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：∵2a﹣x|2+3a|＞2是关于x的一元一次不等式，
∴|2+3a|＝1，
∴a＝﹣或﹣1．
故选：C．
六．解一元一次不等式（共2小题）
15．（2023春•顺德区校级期中）不等式2x+1≥x的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
【解答】解：∵2x+1≥x，
∴2x﹣x≥﹣1，
则x≥﹣1，
故选：B．
16．（2023春•永安市期中）如表是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解答过程
自我检查
解：去分母，得10﹣5（x+1）＞2（x﹣3）．…第一步去括号，得10﹣5x﹣5＞2x﹣6．…第二步
移项，得﹣5x+2x＞10+5﹣6．…第三步
合并同类项，得﹣3x＞﹣9．…第四步
系数化为1，得x＜3．…第五步
第一步正确，其依据是 　 　；
第二步符合去括号法则，也正确；
第三步出错了！
（1）第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：　 　
（2）第三步出错的原因是：　 　；
（3）请从第三步开始，写出正确解答过程．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤，第一步去分母，依据是不等式的基本性质2；
（2）第三步是移项，移项时注意要变号；
（3）根据第三步移项，第四步把x的系数化为1，解不等式即可，注意不等号方向的变化．
【解答】解：（1）一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（2）第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号．
故答案为：移项没有变号；
（3）移项，得：−5x−2x＞−10+5−6，
合并同类项，得−7x＞−11，
系数化为1，得x＜．
七．一元一次不等式的整数解（共3小题）
17．（2023•雁塔区校级四模）解不等式：，并写出该不等式的正整数解．
【分析】不等式去分母，移项合并，把x系数化为1，求出解集，找出解集的正整数解即可．
【解答】解：去分母得：3x﹣6＞10x﹣20，
移项得：3x﹣10x＞6﹣20，
合并得：﹣7x＞﹣14，
解得：x＜2，
∴正整数解为1．
18．（2023春•胶州市期中）已知关于x的方程2x﹣a＝3的解是不等式的最小整数解，求a的值．
【分析】根据一元一次不等式的解法以及一元一次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴6﹣3x+6＜2+2x，
∴﹣5x＜﹣10，
∴x＞2，
∴x的最小整数为3，
把x＝3代入2x﹣a＝3得，6﹣a＝3，
∴a＝3．
19．（2023春•宿州月考）已知关于x的不等式（a+1）x＜3的自然数解有且只有一个，试求a的取值范围．
【分析】根据题意得出a+1＞0．不等式的解集为，根据自然数解有且只有一个得出，解不等式即可求解．
【解答】解：∵不等式的自然数解只有1个，
∴原不等式的解不可能是x大于某一个数．
∴a+1＞0．
∴不等式的解集为．
∴这个自然数解必为x＝0，
∴．
∵a+1＞0，
∴3≤a+1．
∴a≥2，
即a的取值范围是a≥2．
八．一元一次不等式组的定义（共1小题）
20．（2022•丰顺县校级开学）下列不等式组为一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
九．解一元一次不等式组（共4小题）
21．（2023•聊城一模）不等式组的解集是（　　）
A．x≥3 B．x＜2或x≥3 C．x＜2 D．2＜x≤3
【分析】分别解出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出结论．
【解答】解：由x+5＜4x﹣1，
得：x＞2；
由，
得：x≤3；
∴2＜x≤3；
故选：D．
22．（2023•丰润区模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣x+3＞x得：x＜2，
由﹣≤+1得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
23．（2023春•北碚区校级期中）解下列不等式组：
（1）； （2）．
【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
由①得x＞﹣1，
由②得，
∴原不等式的解集为﹣1＜x＜；
（2），
由①得x≥7，
由②得，
∴原不等式组无解．

24．（2023春•嘉祥县月考）从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，选一个数a，使关于x的不等式组有解，且使关于x的一元一次方程的解为负数，求a的值．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有解确定出a的范围，再表示出方程的解，由方程的解为负数确定出a的范围，找出a的具体范围，进而确定出a的值即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
要使不等式组有解，可得＞﹣1，
解得：a＞﹣，即a＝﹣2不符合题意，舍去；
此时不等式组的解集为﹣1≤x＜，
方程去分母得：9x﹣3a+6＝4x+2a，
解得：x＝，
∵方程的解为负数，
∴＜0，
解得：a＜，a＝2不符合题意，舍去，
∴a的范围是﹣＜a＜，
则a的值为﹣1或0或1．
十．一元一次不等式组的整数解（共5小题）
25．（2023•驿城区校级二模）不等式组的正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由（x+1）＞0得：x＞﹣1，
由5﹣x≥3得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则不等式组的正整数解为1、2，
故选：B．
26．（2023春•北碚区校级期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A．13 B．18 C．21 D．26
【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【解答】解：，
解得，
∵关于x的不等式组最多有2个整数解，
∴或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，
∴，
解得k＜8；
解3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7，
得y＝10﹣2k，
∵方程的解为非正数，
∴10﹣2k≤0，
解得k≥5，
综上：5≤k＜8，
符合条件的k的整数值为：5，6，7，和为5+6+7＝18；
故选：B．
27．（2023•镇海区校级模拟）若关于x的不等式组 有解且至多有4个整数解，且多项式 x2﹣（1﹣m）能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有4个整数解，即可求得m的取值范围，再根据多项式x2﹣（1﹣m）能在有理数范围内因式分解，可知1﹣m＞0，然后即可写出符合条件的m的值．
【解答】解：由不等式组 得：3＜x≤4﹣m，
∵不等式组 有解且至多有4个整数解，
∴3＜4﹣m＜8，
解得﹣4＜m＜1，
又∵多项式x2﹣（1﹣m）能在有理数范围内因式分解，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
∴﹣4＜m＜1，
∴符合条件的整数m的值为﹣3，0，
即符合条件的整数m的个数为2．
故选：B．
28．（2023•巧家县一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】解不等式组中两个不等式结合其整数解的情况可得a≤16，再解方程得x＝，由其解为正整数解得出a＞0，最后根据方程的解必须为正整数解得a的取值情况．
【解答】解：解不等式2x﹣a≥0，得x≥，
解不等式，得x＜12，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴≤8，
解得a≤16，
解关于x的一元一次方程，得x＝，
∵方程有正整数解，
∴＞0，
则a＞0，
∴0＜a≤16，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，
故选：B．
29．（2023春•渝中区校级月考）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12
【分析】解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出a≥﹣5，且为整数，由不等式的解集得出a≤﹣3，进而即可求解．
【解答】解：，
解得：，
∵关于y的方程有非负整数解，
∴，
解得：a≥﹣5，且为整数，
关于x的不等式组整理得：
，
∵不等式组的解集为x≥1，
∴a+4≤1，
解得：a≤﹣3，
∴﹣5≤a≤﹣3且为整数，
∴a＝﹣5，﹣3，
于是符合条件的所有整数a的值之和为：﹣5﹣3＝﹣8．
故选：B．
十一．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共2小题）
30．（2023春•广西月考）某数的3倍大于2，它的2倍不大于1，设某数为x，可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】此题中的不等关系有：某数的3倍大于2；它的2倍不大于1．
【解答】解：设某数为x，则由“某数的3倍大于2”得：3x＞2，即3x﹣2＞0．
由“它的2倍不大于1”得：2x≤1．
根据题意得：．
故选：D．
31．（2022秋•金东区期末）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设搭配A种造型x个，则B种造型（50﹣x）个，根据“现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型”及“搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆”列出关于x的不等式组即可得出答案．
【解答】解：设搭配A种造型x个，则B种造型（50﹣x）个，
根据题意，得，
故选：A．




十二．一元一次不等式组的应用（共3小题）
32．（2023•浠水县一模）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
（2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
【分析】（1）设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进甲商品a件，则购进乙商品（50﹣a）件，根据题意，建立一元一次不等式组，解不等式组，求得整数解即可求解．
【解答】解：（1）设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意得，
，
解得：，
答：甲商品每件的进价是40元，乙商品每件的进价是60元；
（2）解：设购进甲商品a件，则购进乙商品（50﹣a）件，根据题意得，
，
解得：24≤a≤26，
∵a为正整数，故a＝24，25，26，
∴有三种进货方案，
方案一：购进甲商品24件，乙商品26件；
方案二：购进甲商品25件，乙商品25件；
方案三：购进甲商品26件，乙商品24件；
33．（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元”列出方程组，解之即可；
（2）设购买甲种办公桌m张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元”列出不等式组，解之可得方案数．
【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，
由题意可得，
解得，
∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；
（2）设购买甲种办公桌m张，
由题意可得，
解得28≤m≤30，
∵m取整数，
∴m的取值为28或29或30，
∴共有3种方案．
34．（2023•苏州一模）某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．
（1）求A、B两种笔记本的进价；
（2）文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出m的最小值．
【分析】（1）设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，由题意：A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元；现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本（100﹣a）本，根据投入的资金不超过1380元可求a的范围；再根据两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，列出不等式可求出m的最小值．
【解答】解：（1）设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，
由题意得：，
解得：．
答：A种笔记本的进价是12元，B种笔记本的进价是15元；
（2）设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本（100﹣a）本，由题意得：
12a+15（100﹣a）≤1380，
解得a≥40，
依题意有：20m+25m+（a﹣m）×20×0.7+（100﹣a﹣m）×25×0.8﹣12a﹣15（100﹣a）≥600，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为20．