（2024届高考数学）高考数学二轮复习之选填16题专项高分冲刺限时训练（6）
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，所以，
由，解得，解得，
所有，
故选：B.
2.已知 a＝sin2，b＝lg2sin2，c＝2sin2，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】 B
【解析】0＜sin2＜1，故 esin2＞1，lg2sin2＜0，故 c＞a＞b．故选: B
3.高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有（ ）
A. 20种B. 30种C. 90种D. 120种
【答案】B
【解析】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有种选法，
从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有种选法，
从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有种选法，
由分步计数原理，可得不同的安排方法有种安排方法. 故选：B.
4.已知，且，则（ ）
A. 5或B. 5或C. 5D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，即，又
∴ ，
∴ ，
故选：C
5.椭圆中以为弦的中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设以为弦的中点的弦的两端点为，，
所以，
又因为弦为椭圆中的弦，
所以，两式作差得，
整理得：，
即，
因此所求直线方程为：，即，
6.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A. 23天B. 33天C. 43天D. 50天
【答案】B
【解析】，故，故，
令，∴，故， 故选：B.
7.已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为原点建系，，
，即，故圆半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴， 故选：D.
8.过曲线C：上一点作斜率为的直线，该直线与曲线C的另一交点为P，曲线C在点P处的切线交y轴于点N．若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，，
切线方程为：，令，，∴，
．
过P作x轴的垂线，垂足为M，
梯形PNOM面积，
∴，
即，∴，
显然是该方程的一个根，设，
由题意可知：，所以，此时函数单调递增，
故方程有唯一实根，
即，∴，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.设，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【解析】设，
，，A正确.
，
，B正确.
，C错误.
，，，，D正确.
故选：ABD
10.已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．为偶函数
C．函数的图像关于直线对称D．函数的最小值为1
【答案】ABD
【解析】在上的函数图像如下所示：
数形结合可知：的最小正周期为，且其不关于对称，
的最小值为；
又，
又其定义域关于原点对称，故其为偶函数.
综上所述，正确的选项是：ABD.
故选：ABD.
11.设为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：为双曲线C的一条渐近线，则（ ）
A. B. 弦PQ长的最小值为6
C. 存在点P，使得D. 点P到直线m：距离的最小值为1
【答案】ABC
【解析】由题知，a＝1，渐近线，c＝2，故A正确；
|PQ|为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，，故B正确；
根据双曲线定义知，∴在右支上存在点P，即当P为双曲线右顶点时，取最小值3，故C正确；
∵直线m和双曲线的渐近线平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.
故选：ABC.
12.若正实数满足，则下列不等式可能成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
若，则，即，成立；
若，则，成立；
令，则，在上单调递增，
当时，，即；
对于A，当，时，，即成立，又此时成立，
当时，可能成立，A正确；
对于B，当时，，即，不等式不成立，B错误；
对于C，当时，，即，不等式不成立，C错误；
对于D，当时，必然成立，D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.在菱形中，，，，则___________.
【答案】
【解析】由题意，.
故答案为：
14.已知是公差不为0的等差数列，其前n项和是，是和的等比中项，且，则___________.
【答案】2021
【解析】设公差为d，
∵是和的等比中项，
∴，，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2021
15.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为_____．
【答案】8π．
【解析】设此球半径为R，
因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为，
则2×2×PA，∴PA＝4，
可以把四棱锥P﹣ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，
则这个长方体的外接球就是四棱锥P﹣ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，
∴（2R）2＝PC2＝AP2+AB2+BC2＝42+22+22＝24，∴R，
则该球的体积为．
故答案为：.
16.拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在△ABC中，∠A＝120°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，若△O1O2O3的面积为eq \r(,3)，则△ABC的周长的取值范围为_____．
【答案】[3＋2EQ \R(,3)，4EQ \R(,3)]
【解析】
故答案为：[3＋2EQ \R(,3)，4EQ \R(,3)]
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