2023-2024学年高一数学上学期期中模拟试题02（人教A版2019第1-3章）（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高一数学上学期期中模拟试题02（人教A版2019第1-3章）（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线，即
所以，且所以，故选:D.
2．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，解得.故选：A.
3．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
，，
，，
所以点P到AB的距离．故选：B.
4．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.
因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，
设双曲线方程为，则有，，，
所以双曲线的方程为.故选：C
5．已知向量，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，向量，2，，，，，且，
则设，即，，，2，，
则有，则，，
则，，，故；故选：B．
6．若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A． B．1或 C．或3 D．
【答案】C
【解析】由圆可化为，可圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
可得圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或.故选：C.
7．过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，可设所求直线的方程为：，
即，
又因为此直线与直线平行，
所以：，解得：，
所以所求直线的方程为：，即．故选：D．
8．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点M，所以，
，
所以由题意得是的中位线，
所以，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，
所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为120°
B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线恒过定点
D．直线，，则或0
【答案】AC
【解析】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为，即，
因为，所以，所以A正确；
对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意；
当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率，
所以点的直线方程为，即，所以B错误；
对于C中，直线，可化为，
由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确；
对于D中，由直线，
若，可得且，解得，所以D不正确.故选：AC.
10．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为0
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，
因为表示点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，
，，，A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，
圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
所以最大值为，又，
所以的最大值为，C错，
因为可化为，
故可设，，
所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，故选：ABD.
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A． B．平面
C．向量与的夹角是60° D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】对于，
，
所以，选项错误；
对于，
所以，即，
，所以，即，
因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，
所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得，，
所以，所以选项正确．故选：AC．
12．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A． B．若，则M到x轴距离为3
C．若，则 D．的最小值为4
【答案】ABD
【解析】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，
则有，解得，A正确；
抛物线的方程为，焦点，准线，设，
对于B，点，由抛物线的定义知，，
有，所以M到x轴距离，B正确；
对于C，，由得：，即，
又，即，则，解得，
于是得，C不正确；
对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，
过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，
显然，
当且仅当点A与Q重合时取等号，
所以，D正确.故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由椭圆方程的标准形式可知方程表示椭圆方程的充要条件为，
又由题意方程表示的曲线为椭圆，
所以，解不等式组得且，
因此m的取值范围为.
14．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ．
【答案】
【解析】因为，，
则有，
又三点共线，于是可设，
即，而不共线，
因此，解得，所以实数k的值是.
15．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
故点M关于直线的对称点的坐标是.
16．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，两边平方得到，
即，又由，易知，，
所以曲线表示以为圆心，为半径的半圆，如图所示，
令， 当与圆相切时，，
得到（舍去）或，
当过点时，，
又因为方程有两个不等的实根，
由图知，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
若直线的方程为.
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
【答案】（1）1；（2），．
【解析】（1）直线与直线垂直，，解得．
（2）当时，直线化为：．不满足题意．
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上的截距相等，，解得：．
该直线的方程为：，．
18．（12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2EF＝4，．
（1）求证：；
（2）求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为四边形为矩形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以；
（2）取的中点，的中点，连接，
则，
由，得，且，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
由平面，得，
建立如图空间直角坐标系，
，
则，
设为平面的一个法向量，
则，
令，得，所以，
，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．（12分）
已知圆，圆.
（1）求圆与圆的公共弦长；
（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，化简得，
所以圆的圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以公共弦长为.
（2）解法一：
设过两圆的交点的圆为，
则；
由圆心在直线上，则，解得，
所求圆的方程为，即.
解法二：
由（1）得，代入圆，
化简可得，解得；
当时，；当时，；
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得；
所以；
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
20．（12分）
已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若是上一点，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）24
【解析】（1）设动圆的半径为，因为圆与圆和圆均外切，
所以，，
则，
根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支.
设方程为，
由，又，
所以，
所以的方程为.
（2）设，则.
因为.所以，
即，解得或（舍去）.
故的面积为：.
21．（12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不能，理由见解析
【解析】（1）因为平面，所以，又
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，平面
所以平面.
（2）由（1）知是平面的一个法向量.
，.
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，则，，所以，
所以.
又由图可知二面角的平面角为锐角
所以二面角的平面角的余弦值为.
（3）由（1）得，，，.
设，则，
可得，所以.
由（2）知是平面的一个法向量.
若平面，可得
则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直.
22．（12分）
已知抛物线的焦点为，点在上，．
（1）求；
（2）过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为．判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．
【答案】（1）；（2）过定点
【解析】（1）因为点在上，所以 ①，
因为，所以由焦半径公式得 ②，
由①②解得 （负值舍去），所以.
（2）由（1）知抛物线的方程为，
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，
由消去得，，则，
所以，，
所以，
则直线的方程为，
即，
即，即，
令，可得，