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2024年高考数学第一轮复习专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（解析版）
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这是一份2024年高考数学第一轮复习专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（解析版），共38页。
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
题型十一：函数的对称性与周期性
题型十二：函数性质的综合
【考点预测】
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
3、函数的对称性
（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．
（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．
（3）若，则函数关于对称．
（4）若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；
D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；
C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减．
故选：C．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有．
所以函数一定是增函数．
故选：C
例3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数在上是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于选项A，在上无意义，不符合题意；
对于选项B，在上是增函数，不符合题意；
对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；
对于选项D，在上是增函数，不符合题意．
故选：C．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并证明．
【解析】（1）由为定义在上奇函数可知，解得．
经检验，此时对任意的都有
故．
（2）由递增，可知在上为减函数，
证明如下：
对于任意实数，，不妨设，
则．
∵单调递增，且，
∴即，，，
∴，∴，
故在上为减函数．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知．
（1）证明：在（2，+∞）单调递增；
（2）解不等式：．
【解析】（1）∀x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则 ，
∵x1，x2∈[2，+∞），则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，
∴0，即，
∴在[2，+∞）单调递增．
（2）由，即∈[2，+∞），
∵在[2，+∞）单调递增，要使，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为．
变式3．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知，且
（1）求实数的值；
（2）判断此函数的奇偶性并证明；
（3）判断此函数在的单调性（无需证明）．
【解析】（1）由，解得
（2）为奇函数．
证明：由（1）得，则，为奇函数
（3）∵，∴在上单调递增
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】错令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为．
故选：A．
错因：
没有考虑函数的定义域．
正
由可得或，故函数的定义域为．
令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为．
故选：D
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递减，
所以 ，
解得，
所以a的取值范围是，
故选：A
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．
【答案】
【解析】时，单调递增，；
时，单调递减，．
所以的最大值为．
故答案为：．
例8．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）函数在上的值域为________．
【答案】
【解析】在上为增函数，
则在上的最小值为，最大值为，
即．
故答案为：．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】当，即时，在上单调递增，所以，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以；
综上：函数的最大值为1
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．－
【答案】B
【解析】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B．
【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】（－∞，0]
【解析】当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；
当a≠0时，则，综上得a≤0．
故答案为：（－∞，0]
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】①时，在R上单调递减
∴满足条件；
②时，
对称轴为，解得．
由①②得，故的取值范围是．
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】函数在是减函数，在是增函数，
若函数在区间是增函数，则．
故答案为：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例13．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔
B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；
C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；
D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确．
故选：D．
例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
对于，，是上的减函数，不合题意；
对于，是定义域是且为增函数，符合题意；
对于，，定义域是，不合题意；
对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B．
【点睛】
本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
当时，由，
当时，由，因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，因此当时，有，
当时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为，所以，即，因此．
故选：B
【方法技巧与总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间（同增异减）．
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系．
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例16．（2023·全国·高三专题练习）函数．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）解不等式．
【解析】（1）
任取，令
则
∵则，可得
∴即
∴函数在上递增．
（2）的定义域为
∵即
∴为定义在上的奇函数．
（3）即
∵函数在上递增
∴即或．
例17．（2023春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，四个函数定义域都是
在中，，是奇函数；
在中，，是偶函数；
在中，，是偶函数；
在中，，
∴既不是奇函数，也不是偶函数；
故选：D．
例18．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．C．y=|x|D．
【答案】D
【解析】，都是奇函数，排除A，B．
，都是偶函数，在上递增，在递减，
故选：D．
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性．
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（2023·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
【答案】1
【解析】当时，，
当时，，故，
而，故即，
故答案为：1．
例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数是偶函数，则________．
【答案】
【解析】由题意知：，同乘以得，故，
故答案为：
例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于轴对称，则常数 _______．
【答案】
【解析】可知函数为偶函数，定义域为R，则，即，解得，
则，显然满足题意，则．
故答案为：．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
【答案】4
【解析】因为为定义域上的奇函数，
，
所以恒成立解得．
故答案为：4．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为__．
【答案】
【解析】函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 ．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________．
【答案】
【解析】∵函数在区间上的偶函数
∴，
∴即
【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．
【答案】
【解析】，，即，
又为奇函数，，
，，．
故答案为：．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________．
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，则有，
设，有，
则，
又由函数为奇函数，则，
则．
故答案为：
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【答案】
【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
变式10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________．
【答案】
【解析】由题意得：，即①，②，②-①得：，解得：．
故答案为：
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】时，，，∴，
故选：C．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故选：C
【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
题型九：已知奇函数+M
例25．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
为定义在上的奇函数，，
即，．
故选：D．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若，则（ ）
A．2B．1C．－2D．－5
【答案】B
【解析】设，
则，
所以是奇函数．
因为，
所以，
则f（－a）＝1．
故选：B
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数，，，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（ ）
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
【答案】B
【解析】∵函数为奇函数，且，
∴为偶数，
故选：B．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=2+的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（ ）
A．2B．4C．2+D．4+
【答案】B
【解析】设，
所以，
所以函数为奇函数．
设函数为奇函数的最大值为N，最小值为n，
则N+n=0．
由题得
所以．
故选B
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
例28．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，解得．
故选：C．
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为．
故答案为：
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．
故选：D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，
则，解得．
故选：D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，则或．
故选：D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
【方法技巧与总结】
画图，数形结合．
题型十一：函数的对称性与周期性
例31．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-3
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选：B．
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（ ）
A．0B．1
C．6D．216
【答案】C
【解析】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，，则，故
故选：C
例33．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于函数为上的奇函数，满足对任意的都有，
则，
，
因此，．
故选：C．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，．当时，为增函数，
所以，，因此，．
故选：D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，，
，又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；
故选：A
变式19．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2
C．D．是奇函数
【答案】AD
【解析】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；
因为关于直线对称，即，所以，
所以函数的周期，故B项错误；
，故C项错误；
，所以是奇函数，故D项正确．
故选：AD．
【方法技巧与总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
题型十二：函数性质的综合
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________．
【答案】
【解析】解：是上的奇函数，
又，
，所以是周期函数，且周期为4
．
故答案为：2
例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______．
【答案】
【解析】由①知的图象关于直线对称，由②知为偶函数，所以，故为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为．
故答案为：（答案不唯一，只要符合条件即可）
例36．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】A选项，因为为偶函数，所以，
因为为奇函数，所以，
令得：，解得：，所以
令得：，即，所以，故A正确；
B选项，令得：，即，
因为，则，所以，所以，故B正确；
C选项，因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
，所以，
即，所以，
所以的周期为4，，故C正确；
D选项，因为，
所以令得：，解得：，
令中得：，故D错误．
故选：ABC
变式20．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【答案】BD
【解析】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确．
故选：BD．
【方法技巧与总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小．
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数在上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为在上是增函数，且，
所以，
又为偶函数，所以，
则，
故选：B．
2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A，根据一次函数的性质，易知函数既是减函数，又是奇函数，故A正确；
对于B，根据正弦函数的性质，易知函数是奇函数，非减函数，故B错误；
对于C，根据对数函数的性质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故C错误；
对于D，根据指数函数的性质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故D错误.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
【答案】D
【解析】设函数的图象上任意一点，则，
关于直线的对称点为．
又函数中，当时，，
所以在的图象上．
故函数与函数的图象关于直线对称，
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得.
故选：C
5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知是奇函数，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
解得，所以，
此时是奇函数，
所以.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；
对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】，
，
，又，
.
.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
【答案】C
【解析】由函数的解析式知定义域为，
设，
显然在上是增函数，在上是增函数，
由复合函数的单调性可知在上是增函数，
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，，则时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为是上的偶函数，当时，，则.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的周期为3的函数，当时，，
则.
故选：D.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】AD
【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，．易得，故是奇函数，A正确；
，故是偶函数，B错误；
，故是奇函数，C错误；
，故是偶函数，D正确．
故选：AD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【解析】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
13．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B． C． D．
【答案】AC
【解析】易得四个函数定义域均为R，对于A，令，则，且在上单调递增，A正确；
对于B，令，，B错误；
对于C，令，，且在上单调递增，C正确；
对于D，令，， D错误.
故选：AC.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
【答案】ABC
【解析】由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
所以函数的周期为，所以A正确；
由，即，所以，且，
又由，
所以，所以B正确；
由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确；
由在上有，
所以函数在上有5个零点，所以D错误.
故选：ABC.
15．（2023·全国·高三专题练习）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
三、填空题
16．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．
【答案】
【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，
因为当时，，
所以，
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵为上的偶函数，∴，
又，∴用替换，得，
∴，∴的周期为4，
则的一个解析式可以为
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
【答案】(1，＋∞)
【解析】由题意，函数满足，解得或，
即函数的定义域为，
令，
则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ；
故答案为： .
19．（2023·上海·高三专题练习）已知是奇函数，且当时，若，则_______.
【答案】
【解析】因为是奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得.
故答案为：
20．（2023·河南信阳·高三统考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．
【答案】3
【解析】函数和互为反函数，则函数和关于对称，
将与联立求得交点为，
由直线分别与函数和的图象交于点为，，，，
则点，和，的中点坐标为，
则，即，
故答案为：3
21．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.
【答案】
【解析】由题意，函数满足，
化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为为奇函数，
所以，
因为，即，
所以.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则_________.
【答案】
【解析】由已知：函数定义域为R， ， ，
则 ，
故答案为： .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【解析】因为在R上的函数满足，且，
令，有，
又，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以.
故答案为：．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则__．
【答案】#
【解析】因为函数是奇函数，对任意的，都有，
且当时，
所以.
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)
①的图像关于直线对称；
②的图像关于点对称；
③的最小正周期为4；
④为偶函数．
【答案】①③④
【解析】因为，所以的图像关于直线对称，故①正确，②错误；
因为函数f(x)的图像关于直线对称，所以，
又，所以，
所以，故③正确；
因为且为偶函数，所以为偶函数，故④正确．
故答案为：①③④
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
【答案】3
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，故，
，故.
故答案为：3.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.
【答案】1
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
因为，
所以的周期为4，
因为当时，，
所以
，
故答案为：1
四、解答题
28．（2023·全国·高三专题练习）判断函数的奇偶性.
【解析】因为有意义，则满足，所以，所以的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．
29．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数满足：对任意都有成立
令，则，所以．
（2）由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，可得，
因为，所以
所以函数为奇函数.
（3）因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
因为是上的单调递增函数，所以，即，
即对恒成立，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以，即实数的取值范围是.
30．（2023·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
【解析】因为为偶函数，为奇函数，所以，，因为①，所以，所以②，由①②式消去，得.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．求时，函数的解析式；
【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
题型十一：函数的对称性与周期性
题型十二：函数性质的综合
【考点预测】
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
3、函数的对称性
（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．
（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．
（3）若，则函数关于对称．
（4）若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；
D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；
C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减．
故选：C．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有．
所以函数一定是增函数．
故选：C
例3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数在上是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于选项A，在上无意义，不符合题意；
对于选项B，在上是增函数，不符合题意；
对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；
对于选项D，在上是增函数，不符合题意．
故选：C．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并证明．
【解析】（1）由为定义在上奇函数可知，解得．
经检验，此时对任意的都有
故．
（2）由递增，可知在上为减函数，
证明如下：
对于任意实数，，不妨设，
则．
∵单调递增，且，
∴即，，，
∴，∴，
故在上为减函数．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知．
（1）证明：在（2，+∞）单调递增；
（2）解不等式：．
【解析】（1）∀x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则 ，
∵x1，x2∈[2，+∞），则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，
∴0，即，
∴在[2，+∞）单调递增．
（2）由，即∈[2，+∞），
∵在[2，+∞）单调递增，要使，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为．
变式3．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知，且
（1）求实数的值；
（2）判断此函数的奇偶性并证明；
（3）判断此函数在的单调性（无需证明）．
【解析】（1）由，解得
（2）为奇函数．
证明：由（1）得，则，为奇函数
（3）∵，∴在上单调递增
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】错令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为．
故选：A．
错因：
没有考虑函数的定义域．
正
由可得或，故函数的定义域为．
令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为．
故选：D
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递减，
所以 ，
解得，
所以a的取值范围是，
故选：A
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．
【答案】
【解析】时，单调递增，；
时，单调递减，．
所以的最大值为．
故答案为：．
例8．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）函数在上的值域为________．
【答案】
【解析】在上为增函数，
则在上的最小值为，最大值为，
即．
故答案为：．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】当，即时，在上单调递增，所以，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以；
综上：函数的最大值为1
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．－
【答案】B
【解析】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B．
【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】（－∞，0]
【解析】当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；
当a≠0时，则，综上得a≤0．
故答案为：（－∞，0]
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】①时，在R上单调递减
∴满足条件；
②时，
对称轴为，解得．
由①②得，故的取值范围是．
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】函数在是减函数，在是增函数，
若函数在区间是增函数，则．
故答案为：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例13．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔
B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；
C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；
D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确．
故选：D．
例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
对于，，是上的减函数，不合题意；
对于，是定义域是且为增函数，符合题意；
对于，，定义域是，不合题意；
对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B．
【点睛】
本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
当时，由，
当时，由，因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，因此当时，有，
当时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为，所以，即，因此．
故选：B
【方法技巧与总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间（同增异减）．
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系．
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例16．（2023·全国·高三专题练习）函数．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）解不等式．
【解析】（1）
任取，令
则
∵则，可得
∴即
∴函数在上递增．
（2）的定义域为
∵即
∴为定义在上的奇函数．
（3）即
∵函数在上递增
∴即或．
例17．（2023春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，四个函数定义域都是
在中，，是奇函数；
在中，，是偶函数；
在中，，是偶函数；
在中，，
∴既不是奇函数，也不是偶函数；
故选：D．
例18．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．C．y=|x|D．
【答案】D
【解析】，都是奇函数，排除A，B．
，都是偶函数，在上递增，在递减，
故选：D．
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性．
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（2023·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
【答案】1
【解析】当时，，
当时，，故，
而，故即，
故答案为：1．
例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数是偶函数，则________．
【答案】
【解析】由题意知：，同乘以得，故，
故答案为：
例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于轴对称，则常数 _______．
【答案】
【解析】可知函数为偶函数，定义域为R，则，即，解得，
则，显然满足题意，则．
故答案为：．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
【答案】4
【解析】因为为定义域上的奇函数，
，
所以恒成立解得．
故答案为：4．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为__．
【答案】
【解析】函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 ．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________．
【答案】
【解析】∵函数在区间上的偶函数
∴，
∴即
【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．
【答案】
【解析】，，即，
又为奇函数，，
，，．
故答案为：．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________．
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，则有，
设，有，
则，
又由函数为奇函数，则，
则．
故答案为：
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【答案】
【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
变式10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________．
【答案】
【解析】由题意得：，即①，②，②-①得：，解得：．
故答案为：
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】时，，，∴，
故选：C．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故选：C
【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
题型九：已知奇函数+M
例25．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
为定义在上的奇函数，，
即，．
故选：D．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若，则（ ）
A．2B．1C．－2D．－5
【答案】B
【解析】设，
则，
所以是奇函数．
因为，
所以，
则f（－a）＝1．
故选：B
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数，，，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（ ）
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
【答案】B
【解析】∵函数为奇函数，且，
∴为偶数，
故选：B．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=2+的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（ ）
A．2B．4C．2+D．4+
【答案】B
【解析】设，
所以，
所以函数为奇函数．
设函数为奇函数的最大值为N，最小值为n，
则N+n=0．
由题得
所以．
故选B
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
例28．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，解得．
故选：C．
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为．
故答案为：
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．
故选：D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，
则，解得．
故选：D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，则或．
故选：D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
【方法技巧与总结】
画图，数形结合．
题型十一：函数的对称性与周期性
例31．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-3
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选：B．
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（ ）
A．0B．1
C．6D．216
【答案】C
【解析】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，，则，故
故选：C
例33．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于函数为上的奇函数，满足对任意的都有，
则，
，
因此，．
故选：C．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，．当时，为增函数，
所以，，因此，．
故选：D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，，
，又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；
故选：A
变式19．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2
C．D．是奇函数
【答案】AD
【解析】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；
因为关于直线对称，即，所以，
所以函数的周期，故B项错误；
，故C项错误；
，所以是奇函数，故D项正确．
故选：AD．
【方法技巧与总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
题型十二：函数性质的综合
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________．
【答案】
【解析】解：是上的奇函数，
又，
，所以是周期函数，且周期为4
．
故答案为：2
例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______．
【答案】
【解析】由①知的图象关于直线对称，由②知为偶函数，所以，故为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为．
故答案为：（答案不唯一，只要符合条件即可）
例36．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】A选项，因为为偶函数，所以，
因为为奇函数，所以，
令得：，解得：，所以
令得：，即，所以，故A正确；
B选项，令得：，即，
因为，则，所以，所以，故B正确；
C选项，因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
，所以，
即，所以，
所以的周期为4，，故C正确；
D选项，因为，
所以令得：，解得：，
令中得：，故D错误．
故选：ABC
变式20．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【答案】BD
【解析】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确．
故选：BD．
【方法技巧与总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小．
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数在上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为在上是增函数，且，
所以，
又为偶函数，所以，
则，
故选：B．
2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A，根据一次函数的性质，易知函数既是减函数，又是奇函数，故A正确；
对于B，根据正弦函数的性质，易知函数是奇函数，非减函数，故B错误；
对于C，根据对数函数的性质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故C错误；
对于D，根据指数函数的性质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故D错误.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
【答案】D
【解析】设函数的图象上任意一点，则，
关于直线的对称点为．
又函数中，当时，，
所以在的图象上．
故函数与函数的图象关于直线对称，
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得.
故选：C
5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知是奇函数，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
解得，所以，
此时是奇函数，
所以.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；
对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】，
，
，又，
.
.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
【答案】C
【解析】由函数的解析式知定义域为，
设，
显然在上是增函数，在上是增函数，
由复合函数的单调性可知在上是增函数，
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，，则时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为是上的偶函数，当时，，则.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的周期为3的函数，当时，，
则.
故选：D.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】AD
【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，．易得，故是奇函数，A正确；
，故是偶函数，B错误；
，故是奇函数，C错误；
，故是偶函数，D正确．
故选：AD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【解析】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
13．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B． C． D．
【答案】AC
【解析】易得四个函数定义域均为R，对于A，令，则，且在上单调递增，A正确；
对于B，令，，B错误；
对于C，令，，且在上单调递增，C正确；
对于D，令，， D错误.
故选：AC.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
【答案】ABC
【解析】由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
所以函数的周期为，所以A正确；
由，即，所以，且，
又由，
所以，所以B正确；
由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确；
由在上有，
所以函数在上有5个零点，所以D错误.
故选：ABC.
15．（2023·全国·高三专题练习）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
三、填空题
16．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．
【答案】
【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，
因为当时，，
所以，
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵为上的偶函数，∴，
又，∴用替换，得，
∴，∴的周期为4，
则的一个解析式可以为
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
【答案】(1，＋∞)
【解析】由题意，函数满足，解得或，
即函数的定义域为，
令，
则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ；
故答案为： .
19．（2023·上海·高三专题练习）已知是奇函数，且当时，若，则_______.
【答案】
【解析】因为是奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得.
故答案为：
20．（2023·河南信阳·高三统考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．
【答案】3
【解析】函数和互为反函数，则函数和关于对称，
将与联立求得交点为，
由直线分别与函数和的图象交于点为，，，，
则点，和，的中点坐标为，
则，即，
故答案为：3
21．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.
【答案】
【解析】由题意，函数满足，
化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为为奇函数，
所以，
因为，即，
所以.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则_________.
【答案】
【解析】由已知：函数定义域为R， ， ，
则 ，
故答案为： .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【解析】因为在R上的函数满足，且，
令，有，
又，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以.
故答案为：．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则__．
【答案】#
【解析】因为函数是奇函数，对任意的，都有，
且当时，
所以.
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)
①的图像关于直线对称；
②的图像关于点对称；
③的最小正周期为4；
④为偶函数．
【答案】①③④
【解析】因为，所以的图像关于直线对称，故①正确，②错误；
因为函数f(x)的图像关于直线对称，所以，
又，所以，
所以，故③正确；
因为且为偶函数，所以为偶函数，故④正确．
故答案为：①③④
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
【答案】3
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，故，
，故.
故答案为：3.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.
【答案】1
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
因为，
所以的周期为4，
因为当时，，
所以
，
故答案为：1
四、解答题
28．（2023·全国·高三专题练习）判断函数的奇偶性.
【解析】因为有意义，则满足，所以，所以的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．
29．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数满足：对任意都有成立
令，则，所以．
（2）由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，可得，
因为，所以
所以函数为奇函数.
（3）因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
因为是上的单调递增函数，所以，即，
即对恒成立，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以，即实数的取值范围是.
30．（2023·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
【解析】因为为偶函数，为奇函数，所以，，因为①，所以，所以②，由①②式消去，得.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．求时，函数的解析式；
【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
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