2024年高考数学第一轮复习艺术生仿真演练综合测试（二）（解析版）

2023年艺考生仿真演练综合测试（二）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则集合的子集的个数为（    ）

A．8 B．7 C．4 D．3

【答案】C

【解析】，

集合A的子集为：，，，，共4个.

故选：C.

2．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

虚部为.

故选：D.

3．已知单位向量，的夹角为，向量，且，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】由已知得，

单位向量，的夹角为，

，且，

所以，解得，

故选：C．

4．已知等差数列的前项和为，若且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，

所以，，所以，，

解得，因此，.

故选：D.

5．已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据渐近线与直线垂直可得渐近线方程为，

当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，

因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去，

当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，满足虚轴比实轴长，

所以，解得或（舍去），

所以.

故选：C．

6．已知事件，，的概率均不为，则的充要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A：因为，由，

只能得到，并不能得到，故A错误；

对于B：因为，

，

由，只能得到，

由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故B错误；

对于C：因为，，

又，所以，故C正确；

对于D：由于不能确定，，是否相互独立，

若，，相互独立，则，，

则由可得，

故由无法确定，故D错误；

故选：C

7．在四棱锥中，正方形所在平面与所在平面相互垂直，为上一点，且为正方形的中心，四棱锥体积的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则点到直线的距离的最大值为，即点到平面距离的最大值为.因为四棱锥体积的最大值为，所以，得.

因为，所以是三棱锥的外接球的一条直径，

故三棱锥的外接球半径为1，其表面积为.

故选:B.

8．已知函数，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由得，解得，

所以，函数的定义域为，

因为，

由于函数在上单调递减，函数在定义域上单调递增，

所以，根据复合函数的单调性得在上单调递减，

因为，，，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以，，

所以，由函数单调递减的性质得.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（    ）

A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平

B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%

C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%

D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数

【答案】AC

【解析】对于A：从折线统计图可知年开始城镇居民的恩格尔系数均低于，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A正确；

对于B：农村居民恩格尔系数只有、、这三年在之间，

其余年份均大于，且、这两年大于（等于），

故农村居民恩格尔系数的平均数高于，故B错误；

对于C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前位分别为、、、、，

因为，所以第百分位数为第位，即年的恩格尔系数，由图可知年的恩格尔系数高于，故C正确；

对于D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于，

故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D错误；

故选：AC

10．已知函数，则下列说法正确的有（    ）

A．的图象关于点中心对称

B．的图象关于直线对称

C．在上单调递减

D．将的图象向左平移个单位，可以得到的图象

【答案】AC

【解析】由可知，解得，所以函数的对称中心为，故A选项正确；

令 解得，所以函数的对称轴为，，故B选项错误；

令，解得，所以函数的单调递减区间为，故C选项正确；

将的图象向左平移个单位得，故D选项错误；

故选：AC

11．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（    ）

A．为奇函数 B．周期为2

C． D．是奇函数

【答案】AD

【解析】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；

因为关于直线对称，即，所以，

所以函数的周期，故B项错误；

，故C项错误；

，所以是奇函数，故D项正确.

故选：AD.

12．如图，在正方体中，点P是底面（含边界）内一动点，且平面，则下列选项正确的是（    ）

A． B．三棱锥的体积为定值

C．平面 D．异面直线与所成角的取值范围为

【答案】ABD

【解析】设正方体的边长为2，

以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

，

，

所以，

所以，①

设平面的一个法向量为：，

则，

令，

因为平面，所以，

即，

所以有①式，所以，即，故A正确，

由，则，所以可得在线段上（包含端点），

在正方体中，由，平面，平面，

所以平面，

所以动点到平面距离为定值，而为定值，

由椎体体积公式可得三菱锥的体积为定值，故B正确，

若平面，则

由，则

无解，故C错误，

设异面直线与所成角的为，

由，，

所以，

因为，

所以当时，，

当时，

当且时，

令，

则，此时，所以，即，

又，所以此时，

综上所述：异面直线与所成角的为，即.

故选项D正确，

故选：ABD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在的展开式中，的系数是__________．

【答案】

【解析】由题意可得的通项为，

令，

则的系数是，

故答案为：

14．已知二次函数满足条件：（1）的图象关于y轴对称；（2）曲线在处的导数为4，则的解析式可以是__________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】取，则，函数为偶函数，关于y轴对称；

，，满足条件.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______.

【答案】

【解析】由以及可知,故为等边三角形，所以 因此故，所以，

故答案为：

16．如图，在中，，且，则面积的最大值________.

【答案】

【解析】由于，

所以，

两边平方得,

所以

，

所以，当且仅当时等号成立.

，则为锐角，所以，

所以面积.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.

(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；

(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.

【解析】（1）由题意可知：，注意到，

取等差数列的公差，则，

令，解得，即24为第5项；

令，解得，即19.2为第7项；

故符合题意.

（2）可以，理由如下：

由（1）可知：，

设数列的前项和为，

∵，

故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.

18．（12分）

记的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)设的中点为，若，且，求的的面积．

【解析】（1）由已知得，，

由正弦定理可得，，

因为，

所以,

代入上式，整理得，

又因为，，

所以，

即,

又因为，

所以，

所以，

解得；

（2）在中，由余弦定理得，．

而，，所以，①

在中，由余弦定理得，，②

由①②两式消去a，得，

所以，

又，解得，．

所以的面积．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．

(1)若，求证：直线平面PAB；

(2)求二面角的余弦值．

【解析】（1）取PA的点Q，满足，连接MQ，QB，

因为，所以且，

又因为，且，点N为BC中点，即，且，

所以且，则四边形MQBN为平行四边形，

则，平面PAB，平面PAB，

所以直线平面PAB．

（2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

又N为BC的中点，则，

所以，，，，

设平面CPD的法向量为，

则，令，则，

设平面CPN的法向量为，

则，令，则，

所以，

由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为．

20．（12分）

“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.

(1)根据以上数据，填空下述列联表：

(2)根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?

(3)现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数的概率分布列及其数学期望.

参考公式：，其中为样本容量.

参考数据：

【解析】（1）列联表

（2）零假设为：学生选排球还是篮球与性别无关

由列联表可得

；

有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.

（3）按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人

，，

∴概率分布列为

数学期望.

21．（12分）

已知动圆经过定点，且与圆：内切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线､的斜率分别为､.

（i）求证：为定值；

（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

【解析】（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；

所以，，

则.

所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.

因此轨迹方程为.

（2）（i）设，，.

由题可知，，如下图所示：

则，，

而，于是，

所以，

又，则，

因此为定值.

（ii）设直线的方程为，，.

由，得，

所以.

由（i）可知，，即，

化简得，解得或（舍去），

所以直线的方程为，

因此直线经过定点.

22．（12分）

已知函数．

(1)若存在使得成立，求a的取值范围；

(2)设函数有两个极值点，且，求证：．

【解析】（1）由于，故转化为．

设，则.

设，则.

由于，解，解得.

解可得，，所以在上单调递增；

解可得，，所以在上单调递减.

故在处有极小值，也是最小值.

所以故在上总成立，所以为单调增函数.

又存在使得成立，只需即可，

所以，即a的取值范围是．

（2）由已知可得，定义域为，且.

由已知有两个极值点，

所以方程有两个相异根，则，且，

，，所以，.

所以，，

所以

.

令，则，设.

则，

所以在为减函数，

所以.

即．