高一数学期中备考专题2. 分式函数性质及应用

分式函数值域问题

一．基本原理

我们把（此处约定分母均不为零），统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数. 对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.

1．均值不等式与双钩函数方法

1.1：型函数的处理

对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，再利用双钩函数的性质求解.

1.2.型.

形如可通过换元将问题转化为，然后进行可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像，再求出值域，或者均值不等式.

1.3.：同时除以分子：→2的模型.

1.4.，这就转化成了3的类型.

2．判别式法：请见例题分析

3．导数法

二．典例分析

例1.

解：令  ，进而可求出值域：

例2.函数的最小值为________.

解析：解法1（均值不等式法）：令，则，，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为3.

解法2（判别式法）：将变形为，整理得：

①，将式①看出关于的一元二次方程，

其判别式，解得：或，因为，所以，，从而，故，

注意到当时，，所以函数的最小值为3.

例3.函数的最大值为________.

解析：设，则，，且，

当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.

小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：

① ：换元→分离常数→反比例函数模型

② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型

③ ：同时除以分子：→②的模型

④ ：分离常数→③的模型

三．习题演练

1．函数的值域（    ）

A． B．

C． D．

【详解】依题意,, 其中

的值域为, 故函数的值域为, 故选 D.

2．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【详解】由可得, 当时, 故

, 当且仅当时等号成立, 而恒成立, 故

, 故的值域为, 故选: C

3．已知函数，定义域为，则函数（    ）

A．有最小值1 B．有最大值1

C．有最小值3 D．有最大值3

【详解】，

，，

由基本不等式，，当且仅当时，即时等号成立，

∴，即，最大值为1.故选：B.

4．若函数的最大值为，最小值为，则（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0.5

【详解】由题意，，当时，；

当时,, 因为, 当且仅当时, 即时, 不等式取等号, 所以, 则在的值域为

,

当时,, 由基本不等式可知,, 即, 当且仅当时, 即时, 不等式取等号, 故, 则

在的值域为, 综上所述,在上的值域为, 从而. 故选: C.

5．函数的值域是      ．

【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，

所以，当时，；当时，，解得，

所以，，即函数的值域是，故答案为：

6．已知函数，则的值域为           ．

【详解】，

即；，；

当且仅当，即时，取最小值2；又最大值应在两个区间端点的某一处取到，；；．

所以．所以值域为．故答案为:

7．函数的值域是         .

【详解】由函数可知。所以，整理得：，当时，，符合；当时，则关于的一元二次方程在有根所以

整理得：且解得：，

综上得：.

8．函数的值域是_____________          .

【详解】函数的定义域为，，由于，所以，且，

所以且，所以函数的值域为.

故答案为：

9.求函数 的值域

解：设， 

  ，

10.求函数的值域

解：设

问题转化为求的值域.由均值不等式

当时取等号，即

11.函数的最小值为________.

解法1（均值不等式法）：由题意，，令

，则，，

且，

当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.

解法2（判别式法）：将变形为，整理得：

，当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，

其判别式，解得：，

注意到当时，，所以函数的最小值为.