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专题03 轴对称图形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）
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这是一份专题03 轴对称图形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版），文件包含专题03轴对称图形知识串讲+热考题型+真题训练原卷版docx、专题03轴对称图形知识串讲+热考题型+真题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
专题03 轴对称图形
【考点1】轴对称图形的相关概念
【考点2】轴对称再镜面对称中的应用
【考点3】利用轴对称的性质
【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质
【考点5】 再格点中作轴对称图形
【考点6】线段垂直平分线的性质及应用
【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图
【考点8】等腰三角形的性质
【考点9】等腰三角形的判定
【考点10】等腰三角形的判定与性质
【考点11】等边三角形的性质
【考点12】等边三角形的判定
【考点13】含30°角的直角三角形的性质
【考点14】将军饮马-最短路径问题
知识点1 轴对称图形
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.
注意：
1. 轴对称图形的对称轴是一条直线，
2. 轴对称图形是1个图形，
3. 有些对称图形的对称轴有无数条。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这
条线段的垂直平分线.
知识点2 轴对称性质
对称的性质：
①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.
②关于某直线对称的两个图形是全等形.
知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质
①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为.
②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为.
知识点4 画轴对称图形
（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点；
（2）同理分别作出其它关键点的对称点；
（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.
知识点5 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
知识点6 ：线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
知识点7： 等腰三角形的概念与性质
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
知识点8 等边三角形的概念与性质
2. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
知识点9 等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点10 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点11：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点12：将军饮马-最短路径问题
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【考点1】轴对称图形的相关概念
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后，慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．
故选：A．
【考点2】轴对称再镜面对称中的应用
3．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．
故选：C．
4．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 15：01 ．
【答案】15：01．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
【考点3】利用轴对称的性质
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故答案为：100°．
6．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，若∠1＝20°，则∠DEF的度数为 80° ．
【答案】80°．
【解答】解：∵将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，
∴∠BFE＝∠GFE，
∵∠1＝20°，
∴∠BFG＝180°﹣∠1＝160°，
∴∠BFE＝∠GFE＝＝80°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝80°．
故答案为：80°．
【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质
7．若点P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝﹣4；n＝5 B．m＝﹣4；n＝﹣5C．m＝4；n＝1 D．m＝4；n＝﹣1
【答案】A
【解答】解：∵点P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴m＝﹣4，n﹣3＝2，
解得m＝﹣4，n＝5，
故选：A．
8．平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣2）与点 （1，﹣2） 关于y轴对称．
【答案】（1，﹣2）．
【解答】解：平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣2）与点（1，﹣2）关于y轴对称．
故答案为：（1，﹣2）．
9．在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 （﹣3，1） ．
【答案】（﹣3，1）．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
10．点P（2，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为 （0，3） ．
【答案】（0，3）．
【解答】解：所求点的纵坐标为3，
横坐标为1﹣（2﹣1）＝0，
∴点（2，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【考点5】 再格点中作轴对称图形
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格的格点上，其坐标分别为：A（﹣4，4），B（﹣2，1），C（4，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A、C的对应点A1、C1的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）A1（﹣4，﹣4）；C1（4，﹣2）．
【解答】解：（1）作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接，则△A1B1C1即为所求作三角形，如图所示：
（2）点A、C的对应点坐标分别为：A1（﹣4，﹣4）；C1（4，﹣2）．
12．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（3）．
【解答】解：（1）如图所示即为所求图形．
（2）△A1B1C1即为所求图形，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（3）．
【考点6】线段垂直平分线的性质及应用
13．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．3 cm C．2cm D．1cm
【答案】B
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴BN＝AN，
∵BC+CN+BN＝7，
∴BC+AN+CN＝7，即BC+AC＝7，
∴BC＝3cm，
故选：B．
14．某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．22° B．27° C．32° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣42°）＝69°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝42°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．
故选：B．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝10，则△AEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+FC＝BE+EF+FC＝BC＝10．
故选：B．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
18．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．
（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）6；
（2）20°．
【解答】解：（1）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+EA＝6．
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（2）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADE，∠C＝∠EAC＝∠AED．
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝∠B+∠DAE+∠C＝100°，
∴∠B+∠C＝100°﹣∠DAE，
在△ADE中，∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（2∠B+2∠C）
∴∠DAE＝180°﹣2（100°﹣∠DAE）
∴∠DAE＝20°．
19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求证：BC＝BE．
【答案】（1）9cm；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵AC＝15cm，△BCE的周长＝24cm
∴BC＝24﹣15＝9（cm）；
（2）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
由三角形的外角性质得，∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠BEC＝∠C，
∴BC＝BE．
20．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，AD⊥BC于点D，BD＝DE，连接AE．
（1）若AE平分∠BAC，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为13cm，AC＝5cm，求CD的长．
【答案】（1）36°；
（2）4cm．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∵AD⊥BC于点D，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，
根据三角形内角和等于180°可得，
∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝5cm，
∴AB+BC＝8cm，
∴AB+BE+EC＝8cm，
即2DE+2EC＝8cm，
∴DE+EC＝4cm，
∴DC＝DE+EC＝4cm．
【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图
21．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N的距离分别相等（保留作图痕迹）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：点P就是所求的点．（2分）
如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分
22．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①以A为圆心，以任意长为半径画圆，分别交铁路a和公路b于点B、C；
②分别以B、C为圆心，以大于BC为半径画圆，两圆相交于点D，连接AD，则直线AD即为∠BAC的平分线
③连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，则直线EF即为线段MN的垂直平分线；
④直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点．
同法点O′也满足条件．
故答案为O或O′处．
【考点8】等腰三角形的性质
23．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．5
【答案】B
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，而2+2＜5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12，
故选：B．
24．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（ ）
A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°．
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE＝BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝75°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）＝67.5°．
故选：A．
25．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是（ ）度．
A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80°
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°时，则它的底角＝＝65°；
当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角＝180°﹣2×50°＝80°；
综上所述：它的顶角是50°或80°，
故选：D．
26．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．36° D．70°
【答案】C
【解答】解：设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，
∴∠A＝36°，
故选：C．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
28．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．则小意同学判断的依据是（ ）
A．等角对等边
B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：由作图可知，CE＝CD，
∵OE＝OD，
∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），
∴∠AOB＝90°．
故选：D．
29．已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°
【答案】C
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：C．
30．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，
求证：DF＝DE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
又∵D是BC中点，AB＝AC，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CED中，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DE＝DF
【考点9】等腰三角形的判定
31．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．3cm、3cm、4cm
C．1cm、3cm、1cm D．2cm、2cm、4cm
【答案】B
【解答】解：根据三角形的三边关系可知：
A.1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意；
B.3+3＞4，能构成三角形，而且是等腰三角形，符合题意；
C.1+1＜3，不能构成三角形，不符合题意；
D.2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
32．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则BC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：延长AD交BC于点E，如图，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，
∴AE＝4，
∵∠CAD＝∠C，
∴EC＝EA＝4，
∴BC＝BE+EC＝9；
故选：D．
33．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝6，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+FD+FE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝6+5＝11．
故选：B．
34．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3，则CD等于（ ）
A．3 B．4 C．1.5 D．2
【答案】A
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵CD∥OB，
∴∠C＝∠BOC，
∴∠C＝∠AOC，
∴CD＝OD＝3，
故选：A．
35．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 6 个．
【答案】6．
【解答】解：如图所示：
分两种种情况：
当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
当C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：6．
36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形有△BAP1，△BAP2，△BAP3，
以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP3，△ABP4，△ABP5，
以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形有△P6AB，
其中△ABP3是等边三角形，
∴符合条件的点的个数有6个，
故选：D．
【考点10】等腰三角形的判定与性质
37．已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴DF＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
由（1）得，DF＝FC，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF
【考点11】等边三角形的性质
38．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
39．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝135°，则∠2 的度数是（ ）
A．75° B．95° C．105° D．135°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
∵∠1＝∠A+∠AEF＝135°，
∴∠AEF＝135°﹣60°＝75°，
∴∠DEB＝∠AEF＝75°，
∵m∥n，
∴∠2+∠DEB＝180°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
40．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：∵点E，F是边BC上的三等分点，
∴BC＝3EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF，
∴△DEF的周长＝3EF＝BC＝6．
故选：C．
41．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，DF＝ED，
∴∠ADF+∠BDE＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
在△AFD和△BDE中，
，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴BD＝AF＝2，BE＝AD，
∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形，
∴AB＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3，
∴BE＝3，
故选：B．
42．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【答案】B
【解答】解：由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝40海里．
故选：B．
43．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠BFC＝∠AFG，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确．
故选：D．
【考点12】等边三角形的判定
44．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
45．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【答案】（1）30°；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∴∠C＝30°；
（2）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△AED为等边三角形．
46．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【答案】（1）当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【考点13】含30°角的直角三角形的性质
47．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×8＝4，
∵点P是BC边上的动点，
∴4＜AP＜8，
∴AP的值不可能是3.5．
故选：A．
48．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠A＝30°，BD＝2，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠BCD+∠B＝∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BC＝2BD＝2×2＝4．
故选：A．
【考点14】将军饮马-最短路径问题
49．如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC于M，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B、C关于AD对称，
∴BP＝CP，
根据垂线段最短得，
CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵S＝，
∴BM＝AD＝4，
即CP+EP的最小值等于4，
故选：A．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：B．
51．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
【答案】A
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC＝4，AB＝5
∴△APC周长最小为AC+AB＝9
故选：A．
52．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
【答案】B
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
53．如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【答案】B
【解答】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，
由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，
∴∠GOH＝2∠AOC，
∵∠AOC＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴GH＝OD，
∵DO＝m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．
一．选择题（共18小题）
1．在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
3．在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝60°，则△ABC的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
4．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解答】解：如图所示：原点是B点时，A，C关于y轴对称，
故选：B．
5．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【答案】C
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【答案】D
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
7．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：如图：
分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求；
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点C的个数是8，
故选：C．
8．已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．3
【答案】B
【解答】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，
解得：m＝3，n＝﹣2，
则m+n＝1．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴BE＝AE，
∵AE＝2，
∴BE＝2，
∵EC＝1，
∴BC＝BE+EC＝3．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【答案】B
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
11．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
12．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，最长边AB的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
又∵AB⊥AD，
∴∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴AD＝DC＝4，
∵AD＝4，∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝8，
∴BC＝BD+DC＝8+4＝12．
故选：C．
14．已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（ ）
A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD是底边BC上的高，
∴BD＝CD，AD平分∠BAC，
∴A、C、D都是正确的，一定成立，不符合题意，
B不一定成立，符合题意，
故选：B．
15．如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝15°，则∠2的大小为（ ）
A．25° B．55° C．45° D．35°
【答案】C
【解答】解：过点C作CD∥b，
∵直线a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD＝∠1＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣15°＝45°，
∴∠2＝∠BCD＝45°．
故选：C．
16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故选：A．
17．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．
18．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．120° B．60° C．30° D．90°
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，
∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣∠P1OP2＝180°﹣2∠AOB，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N
＝∠OP1P2+∠OP2P1
＝180°﹣2∠AOB
＝60°，
故选：B．
二．解答题（共7小题）
19．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ 2 ， ﹣4 ）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ 0 ， 2 ）．
【答案】（1）图形见解析，A1（2，﹣4）；
（2）；
（3）0，2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），
故答案为：2，﹣4；
（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图所示，点P即为所求，P（0，2），
故答案为：0，2．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
21．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝EC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF
∴BD＝EC
22．已知点P（2x﹣3，3﹣x）．
（1）若点A（﹣3，4）与点P的连线平行于x轴，求点P的坐标；
（2）若点P关于x轴的对称点落在第三象限，求x的取值范围；
（3）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P坐标．
【答案】（1）（﹣5，4）；
（2）；
（3）（1，1）或（﹣3，3）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，4）与点P（2x﹣3，3﹣x）的连线平行于x轴，
∴3﹣x＝4，
∴x＝﹣1，
∴P点坐标为（﹣5，4）；
（2）∵点P（2x﹣3，3﹣x）关于x轴的对称点为（2x﹣3，x﹣3）在第三象限，
∴，
解得，
∴；
（3）∵若点P（2x﹣3，3﹣x）到两坐标轴的距离相等，
∴2x﹣3＝3﹣x或2x﹣3＝﹣（3﹣x），
∴x＝2或x＝0，
∴P点坐标为（1，1）或（﹣3，3）．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A＝120°，∠2＝∠1，
∵∠BDC＝2∠1，
∴∠BDC＝2∠2，
∵∠BDC+∠2＝2∠2+∠2＝60°，
∴∠2＝20°，
∴∠BDC＝40°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝（180°﹣40°）＝70°．
24．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】（1）△BPQ是等边三角形；
（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，即t＝，
解得：t＝2；
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，
即6﹣t＝t，解得：t＝4，
答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
25．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．析著作权属所有，未经，不得复制发布日期：2023/10/7 14:26:23；用户：gaga；邮箱：18376708：18907713
专题03 轴对称图形
【考点1】轴对称图形的相关概念
【考点2】轴对称再镜面对称中的应用
【考点3】利用轴对称的性质
【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质
【考点5】 再格点中作轴对称图形
【考点6】线段垂直平分线的性质及应用
【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图
【考点8】等腰三角形的性质
【考点9】等腰三角形的判定
【考点10】等腰三角形的判定与性质
【考点11】等边三角形的性质
【考点12】等边三角形的判定
【考点13】含30°角的直角三角形的性质
【考点14】将军饮马-最短路径问题
知识点1 轴对称图形
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.
注意：
1. 轴对称图形的对称轴是一条直线，
2. 轴对称图形是1个图形，
3. 有些对称图形的对称轴有无数条。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这
条线段的垂直平分线.
知识点2 轴对称性质
对称的性质：
①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.
②关于某直线对称的两个图形是全等形.
知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质
①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为.
②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为.
知识点4 画轴对称图形
（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点；
（2）同理分别作出其它关键点的对称点；
（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.
知识点5 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
知识点6 ：线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
知识点7： 等腰三角形的概念与性质
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
知识点8 等边三角形的概念与性质
2. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
知识点9 等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点10 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点11：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点12：将军饮马-最短路径问题
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【考点1】轴对称图形的相关概念
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后，慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．
故选：A．
【考点2】轴对称再镜面对称中的应用
3．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．
故选：C．
4．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 15：01 ．
【答案】15：01．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
【考点3】利用轴对称的性质
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故答案为：100°．
6．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，若∠1＝20°，则∠DEF的度数为 80° ．
【答案】80°．
【解答】解：∵将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，
∴∠BFE＝∠GFE，
∵∠1＝20°，
∴∠BFG＝180°﹣∠1＝160°，
∴∠BFE＝∠GFE＝＝80°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝80°．
故答案为：80°．
【考点4】关于坐标轴对称的点的坐标性质
7．若点P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝﹣4；n＝5 B．m＝﹣4；n＝﹣5C．m＝4；n＝1 D．m＝4；n＝﹣1
【答案】A
【解答】解：∵点P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴m＝﹣4，n﹣3＝2，
解得m＝﹣4，n＝5，
故选：A．
8．平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣2）与点 （1，﹣2） 关于y轴对称．
【答案】（1，﹣2）．
【解答】解：平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣2）与点（1，﹣2）关于y轴对称．
故答案为：（1，﹣2）．
9．在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 （﹣3，1） ．
【答案】（﹣3，1）．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
10．点P（2，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为 （0，3） ．
【答案】（0，3）．
【解答】解：所求点的纵坐标为3，
横坐标为1﹣（2﹣1）＝0，
∴点（2，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【考点5】 再格点中作轴对称图形
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格的格点上，其坐标分别为：A（﹣4，4），B（﹣2，1），C（4，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A、C的对应点A1、C1的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）A1（﹣4，﹣4）；C1（4，﹣2）．
【解答】解：（1）作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接，则△A1B1C1即为所求作三角形，如图所示：
（2）点A、C的对应点坐标分别为：A1（﹣4，﹣4）；C1（4，﹣2）．
12．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（3）．
【解答】解：（1）如图所示即为所求图形．
（2）△A1B1C1即为所求图形，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（3）．
【考点6】线段垂直平分线的性质及应用
13．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．3 cm C．2cm D．1cm
【答案】B
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴BN＝AN，
∵BC+CN+BN＝7，
∴BC+AN+CN＝7，即BC+AC＝7，
∴BC＝3cm，
故选：B．
14．某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．22° B．27° C．32° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣42°）＝69°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝42°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝69°﹣42°＝27°．
故选：B．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若BC＝10，则△AEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+FC＝BE+EF+FC＝BC＝10．
故选：B．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
18．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．
（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）6；
（2）20°．
【解答】解：（1）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+EA＝6．
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（2）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADE，∠C＝∠EAC＝∠AED．
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝∠B+∠DAE+∠C＝100°，
∴∠B+∠C＝100°﹣∠DAE，
在△ADE中，∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（2∠B+2∠C）
∴∠DAE＝180°﹣2（100°﹣∠DAE）
∴∠DAE＝20°．
19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求证：BC＝BE．
【答案】（1）9cm；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵AC＝15cm，△BCE的周长＝24cm
∴BC＝24﹣15＝9（cm）；
（2）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
由三角形的外角性质得，∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠BEC＝∠C，
∴BC＝BE．
20．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，AD⊥BC于点D，BD＝DE，连接AE．
（1）若AE平分∠BAC，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为13cm，AC＝5cm，求CD的长．
【答案】（1）36°；
（2）4cm．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∵AD⊥BC于点D，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，
根据三角形内角和等于180°可得，
∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝5cm，
∴AB+BC＝8cm，
∴AB+BE+EC＝8cm，
即2DE+2EC＝8cm，
∴DE+EC＝4cm，
∴DC＝DE+EC＝4cm．
【考点7】线段垂直平分线和角平分线的作图
21．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N的距离分别相等（保留作图痕迹）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：点P就是所求的点．（2分）
如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分
22．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①以A为圆心，以任意长为半径画圆，分别交铁路a和公路b于点B、C；
②分别以B、C为圆心，以大于BC为半径画圆，两圆相交于点D，连接AD，则直线AD即为∠BAC的平分线
③连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，则直线EF即为线段MN的垂直平分线；
④直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点．
同法点O′也满足条件．
故答案为O或O′处．
【考点8】等腰三角形的性质
23．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．5
【答案】B
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，而2+2＜5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12，
故选：B．
24．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（ ）
A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°．
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE＝BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝75°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）＝67.5°．
故选：A．
25．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是（ ）度．
A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80°
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°时，则它的底角＝＝65°；
当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角＝180°﹣2×50°＝80°；
综上所述：它的顶角是50°或80°，
故选：D．
26．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．36° D．70°
【答案】C
【解答】解：设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，
∴∠A＝36°，
故选：C．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
28．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．则小意同学判断的依据是（ ）
A．等角对等边
B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：由作图可知，CE＝CD，
∵OE＝OD，
∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），
∴∠AOB＝90°．
故选：D．
29．已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°
【答案】C
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：C．
30．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，
求证：DF＝DE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
又∵D是BC中点，AB＝AC，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CED中，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DE＝DF
【考点9】等腰三角形的判定
31．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．3cm、3cm、4cm
C．1cm、3cm、1cm D．2cm、2cm、4cm
【答案】B
【解答】解：根据三角形的三边关系可知：
A.1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意；
B.3+3＞4，能构成三角形，而且是等腰三角形，符合题意；
C.1+1＜3，不能构成三角形，不符合题意；
D.2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
32．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则BC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：延长AD交BC于点E，如图，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，
∴AE＝4，
∵∠CAD＝∠C，
∴EC＝EA＝4，
∴BC＝BE+EC＝9；
故选：D．
33．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝6，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+FD+FE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝6+5＝11．
故选：B．
34．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3，则CD等于（ ）
A．3 B．4 C．1.5 D．2
【答案】A
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵CD∥OB，
∴∠C＝∠BOC，
∴∠C＝∠AOC，
∴CD＝OD＝3，
故选：A．
35．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 6 个．
【答案】6．
【解答】解：如图所示：
分两种种情况：
当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
当C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：6．
36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形有△BAP1，△BAP2，△BAP3，
以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP3，△ABP4，△ABP5，
以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形有△P6AB，
其中△ABP3是等边三角形，
∴符合条件的点的个数有6个，
故选：D．
【考点10】等腰三角形的判定与性质
37．已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴DF＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
由（1）得，DF＝FC，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF
【考点11】等边三角形的性质
38．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
39．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝135°，则∠2 的度数是（ ）
A．75° B．95° C．105° D．135°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
∵∠1＝∠A+∠AEF＝135°，
∴∠AEF＝135°﹣60°＝75°，
∴∠DEB＝∠AEF＝75°，
∵m∥n，
∴∠2+∠DEB＝180°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
40．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：∵点E，F是边BC上的三等分点，
∴BC＝3EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF，
∴△DEF的周长＝3EF＝BC＝6．
故选：C．
41．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，DF＝ED，
∴∠ADF+∠BDE＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
在△AFD和△BDE中，
，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴BD＝AF＝2，BE＝AD，
∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形，
∴AB＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3，
∴BE＝3，
故选：B．
42．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【答案】B
【解答】解：由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝40海里．
故选：B．
43．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠BFC＝∠AFG，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确．
故选：D．
【考点12】等边三角形的判定
44．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
45．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【答案】（1）30°；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∴∠C＝30°；
（2）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△AED为等边三角形．
46．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【答案】（1）当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【考点13】含30°角的直角三角形的性质
47．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×8＝4，
∵点P是BC边上的动点，
∴4＜AP＜8，
∴AP的值不可能是3.5．
故选：A．
48．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠A＝30°，BD＝2，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠BCD+∠B＝∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BC＝2BD＝2×2＝4．
故选：A．
【考点14】将军饮马-最短路径问题
49．如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC于M，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B、C关于AD对称，
∴BP＝CP，
根据垂线段最短得，
CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵S＝，
∴BM＝AD＝4，
即CP+EP的最小值等于4，
故选：A．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：B．
51．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
【答案】A
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC＝4，AB＝5
∴△APC周长最小为AC+AB＝9
故选：A．
52．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
【答案】B
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
53．如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【答案】B
【解答】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，
由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，
∴∠GOH＝2∠AOC，
∵∠AOC＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴GH＝OD，
∵DO＝m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．
一．选择题（共18小题）
1．在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
3．在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝60°，则△ABC的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
4．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解答】解：如图所示：原点是B点时，A，C关于y轴对称，
故选：B．
5．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【答案】C
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【答案】D
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
7．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：如图：
分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求；
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点C的个数是8，
故选：C．
8．已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．3
【答案】B
【解答】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，
解得：m＝3，n＝﹣2，
则m+n＝1．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴BE＝AE，
∵AE＝2，
∴BE＝2，
∵EC＝1，
∴BC＝BE+EC＝3．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【答案】B
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
11．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
12．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，最长边AB的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
又∵AB⊥AD，
∴∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴AD＝DC＝4，
∵AD＝4，∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝8，
∴BC＝BD+DC＝8+4＝12．
故选：C．
14．已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（ ）
A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD是底边BC上的高，
∴BD＝CD，AD平分∠BAC，
∴A、C、D都是正确的，一定成立，不符合题意，
B不一定成立，符合题意，
故选：B．
15．如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝15°，则∠2的大小为（ ）
A．25° B．55° C．45° D．35°
【答案】C
【解答】解：过点C作CD∥b，
∵直线a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD＝∠1＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣15°＝45°，
∴∠2＝∠BCD＝45°．
故选：C．
16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故选：A．
17．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．
18．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．120° B．60° C．30° D．90°
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，
∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣∠P1OP2＝180°﹣2∠AOB，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N
＝∠OP1P2+∠OP2P1
＝180°﹣2∠AOB
＝60°，
故选：B．
二．解答题（共7小题）
19．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ 2 ， ﹣4 ）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ 0 ， 2 ）．
【答案】（1）图形见解析，A1（2，﹣4）；
（2）；
（3）0，2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），
故答案为：2，﹣4；
（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图所示，点P即为所求，P（0，2），
故答案为：0，2．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
21．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝EC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF
∴BD＝EC
22．已知点P（2x﹣3，3﹣x）．
（1）若点A（﹣3，4）与点P的连线平行于x轴，求点P的坐标；
（2）若点P关于x轴的对称点落在第三象限，求x的取值范围；
（3）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P坐标．
【答案】（1）（﹣5，4）；
（2）；
（3）（1，1）或（﹣3，3）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，4）与点P（2x﹣3，3﹣x）的连线平行于x轴，
∴3﹣x＝4，
∴x＝﹣1，
∴P点坐标为（﹣5，4）；
（2）∵点P（2x﹣3，3﹣x）关于x轴的对称点为（2x﹣3，x﹣3）在第三象限，
∴，
解得，
∴；
（3）∵若点P（2x﹣3，3﹣x）到两坐标轴的距离相等，
∴2x﹣3＝3﹣x或2x﹣3＝﹣（3﹣x），
∴x＝2或x＝0，
∴P点坐标为（1，1）或（﹣3，3）．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A＝120°，∠2＝∠1，
∵∠BDC＝2∠1，
∴∠BDC＝2∠2，
∵∠BDC+∠2＝2∠2+∠2＝60°，
∴∠2＝20°，
∴∠BDC＝40°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝（180°﹣40°）＝70°．
24．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】（1）△BPQ是等边三角形；
（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，即t＝，
解得：t＝2；
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，
即6﹣t＝t，解得：t＝4，
答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
25．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．析著作权属所有，未经，不得复制发布日期：2023/10/7 14:26:23；用户：gaga；邮箱：18376708：18907713
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