2022-2023学年广东省汕头市金信中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析)

2022-2023学年广东省汕头市金信中学八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若，则下列不等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3.在数轴上表示不等式的解集，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.下列各式从左到右，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

6.若是关于的一元一次不等式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.若是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.如图，已知，是平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，点是的中点，，，平分，下列结论：；；；四个结论中成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若，则______填“、”或“”号

12.如图，已知，，边的垂直平分线交，于点、若的周长为，则的周长为______．

13.商店购进一批文具盒，进价每个元，零售价每个元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于，那么该文具盒实际价格最多可打______折销售．

14.如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是______ ．

15.如图，中，，，，点是直线上一动点，连接，以为边，在的右侧作等腰直角三角形，且，当点落在某一边的垂直平分线上时，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解不等式：
解不等式：；
解不等式组：．

17.本小题分
为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应与该市的三个城镇中心图中以，，表示的距离相等请用尺规作图画出体育中心的位置．

18.本小题分
求不等式组：的非负整数解．

19.本小题分

如图，在中，平分，平分若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？

20.本小题分
某服装店因为换季更新，采购了一批新服装，有、两种款式共件，花费了元，已知种款式单价是元件，种款式的单价是元件．
种款式的服装采购了______件，种款式的服装采购了______件．
若种款式售价是元件，种款式的售价是元件．如果另一个服装店也想要采购这两种款式的服装共件，且采购的服装全部售出后所获利润至少元，那么种款式的服装至少采购多少件？

21.本小题分
如图所示，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为 ，解答下列问题：
当点到达点时，与的位置关系如何？请说明理由．
在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由．

22.本小题分
如图在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴负半轴上一个动点不与原点重合，以线段为一边在其右侧作等边三角形．
求点的坐标； 
在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小：如改变，请说明理由； 
连接，当时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、两边都减，不等号的方向不变，故A符合题意；
B、两边都除以，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都加，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D不符合题意；
故选：
根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长；
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长．
综上所述，三角形的周长为或．
故选：．
分是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】
解：，
，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解，正确．
故选D．
根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．

5.【答案】 

【解析】解：两条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的下方，故不等式的解集为．
故选：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集．
本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．

6.【答案】 

【解析】解：是关于的一元一次不等式，
，
，
故选：．
根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可．
此题考查了一元一次不等式的定义，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值．

7.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，
，
解得．
故选D．
本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍．
本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．

8.【答案】 

【解析】解：本题可观察数轴向右画又是实心圆，因此是．
故选C．
不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．

9.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
，
，
在中，，
是平分线上一点，，，
．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：过作于，如图，

，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
点是的中点，
，故错误；
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，故正确；
，故正确．
因此正确的有，
故选：．
过作于，可得，运用全等三角形的判定可得≌，再运用全等三角形的性质可得，；运用点是的中点即可判断是否正确；运用全等三角形的判定可得≌，再运用全等三角形的性质即可判断是否正确；运用即可判断是否正确．
本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到≌侧重考查知识点的理解、应用能力．学生在日常学习中应从以下个方向【逻辑推理】【直观想象】【数学运算】培养对知识点的理解、应用能力．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质解答即可．
【解答】
解：不等式两边乘以，根据不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变可得：
．
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】解：边的垂直平分线交，于点、，
，
的周长为，
，
，
的周长为：．
故答案为：．
由边的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由的周长为，即可得，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

13.【答案】 

【解析】解：设可以打折出售此商品，由题意得：，
解得：，
答：该文具盒实际价格最多可打折，
故答案为：
由题意可知：利润率为时，获得的利润为元；若打折该商品获得的利润该商品的标价进价，列出不等式，解得的值即可．
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

14.【答案】 

【解析】解：连接．

垂直平分，
，
．
，，
．
平分，
，
，
．
在和中，，，
≌，
，
．
与关于对称，
，，
，
，
故答案为：．
仔细审题，可连接，根据角平分线的性质中垂线的性质不难得到；接下来根据全等三角形的判定易得≌，结合全等三角形的性质可得的度数；最后根据折叠变换的性质得出，由等边对等角以及三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．

15.【答案】或 

【解析】解：设，
当点在的垂直平分线上时，如图，
过点作于点，过点作于点，作于点，连接，
则，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
≌，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
在中，，
点在的垂直平分线上，
，
，
解得：，
；
当点在的垂直平分线上时，如图，
过点作于点，过点作交的延长线于点，
设是的中点，连接，
则，
由知：是等腰直角三角形，，
在中，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
解得：或舍去，
；
由知，≌，，
即点到的距离为，
，
的垂直平分线与平行且距离为，
故点不可能在的垂直平分线上；
综上所述，或，
故答案为：或．
设，分三种情况：当点在的垂直平分线上时，如图，过点作于点，过点作于点，作于点，连接，可证得≌，运用勾股定理可得：，，建立方程求解即可得出答案；当点在的垂直平分线上时，如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得≌，再根据，建立方程求解即可得出答案；由知：≌，，即点到的距离为，再由的垂直平分线与平行且距离为，故点不可能在的垂直平分线上．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，综合性较强，有一定难度，运用分类讨论思想是解题关键．

16.【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得；
所以不等式的解集为：；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
故该不等式组的解集为． 

【解析】根据解不等式的基本步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可获得答案；
分别求解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式及解不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和不等式组的方法和步骤是解题关键．

17.【答案】解：如下图：

点即为所求． 

【解析】分别作线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为处．
本题考查了作图的应用与设计，掌握线段的垂直平分线的性质是解决问题的关键．

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
即所有非负整数解为，，，，． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，确定出不等式组的解集，进而求出所有的非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19.【答案】解：．
理由：，分别是，的平分线，
，．
又，
，，
，，
即，，
． 

【解析】由为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，再由，等量代换可得证．
此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．

20.【答案】   

【解析】解：设种款式的服装采购了件、种款式的服装采购了件，
根据题意得：，
解得：．
答：种款式的服装采购了件、种款式的服装采购了件．
故答案为：，；
设种款式的服装采购件，则种款式的服装采购件，
则，
解得：，
为正整数，
的最小值为．
答：种款式的服装至少采购件．
设种款式的服装采购了件、种款式的服装采购了件，根据“、两种款式共件，花费了元”列方程组求解可得；
设种款式的服装采购件，则种款式的服装采购件，根据“采购的服装全部售出后所获利润至少元”列不等式，解之可得．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键．

21.【答案】解：当点到达点时，与垂直，即为直角三角形．
理由是：
，当点到达点时，，
点为的中点．
等边三角形三线合一的性质．
假设在点与点的运动过程中，能成为等边三角形，
，
，
解得．
当时，是个等边三角形． 

【解析】此题考查的是等边三角形的性质和判定，读懂题意是关键．
根据等边三角形性质结合点和点的运动速度可知当点到达点时，点运动到的中点，根据等边三角形三线合一的性质可得答案；
假设能成为等边三角形，根据等边三角形边长相等得到关于的方程，求出方程的解即可得出结论．

22.【答案】解：如图，过点作轴于点，
为等边三角形，且，
，，
，而，
，，
点的坐标为；

，始终不变．理由如下：
、均为等边三角形，
、、，
，
在与中，，
≌，
；

如图，点在轴负半轴上，点在点的下方，
，，．
又，可求得，
由可知，≌，
，
此时的坐标为． 

【解析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用三角形全等的性质解决问题是本题的关键．
如图，作辅助线；证明，，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
证明≌，得到，即可解决问题；
根据点在的负半轴上，再根据全等三角形的性质即可得出结果